第4讲(2014-10-22).doc

第2章 插值法与最小二乘法 复习。 插值法研究用简单函数近似复杂函数，并要求两个函数在给定的某些点处函数值相等。一、多项式插值设函数在区间上有定义，且已知在点上的函数值。求次数不超过的多项式，使定理1 （插值多项式的存在唯一性）在次数不超过的多项式集合中，满足 的插值多项式存在且唯一。二、拉格朗日插值多项式已知在个节点上的函数值。求次数不超过的插值多项式，使它满足条件，。定义2： 次多项式称为节点上的次插值基函数。利用插值基函数，满足插值条件的插值多项式为上式称为拉格朗日插值多项式。 定理2 对任何，插值余项这里依赖于，并且。三、牛顿插值多项式1均差的概念定义 称为函数关于点的一阶均差，称为关于点的二阶均差，一般地，称为关于点的阶均差。均差的写法规律：分子中两个表达式所含的节点只有两个不同，而这两个不同的节点的差就是分母。2. 牛顿插值公式+余项根据插值多项式的唯一性定理，有，从而。继续。实际计算中，均差的计算可列表如下表：均差计算表一阶均差二阶均差三阶均差例 给出的函数表，求3次牛顿插值多项式，并由此求的近似值。一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差五阶均差0.400.550.650.800.901.050.410750.578150.696750.888111.026521.253821.116001.186001.275731.384101.515330.280000.358930.433480.524930.197330.213000.228630.031340.03126-0.00012解 因此。截断误差上述余项的估计中，4阶均差五、差分形式的牛顿插值多项式实践中，插值节点常采用等距节点。此时，如果引进适当的符号体系，将使牛顿插值多项式形式简化，计算简便。1差分的概念设函数在等距节点上的值为已知，这里为常数，称为步长。定义1 记号称为在处以为步长的一阶（向前）差分。符号称为向前差分算子。利用一阶差分可定义二阶差分为一般地，可定义阶差分为2差分的性质性质1 各阶差分均可用函数值表示。例如其中为二项式展开的系数。性质2 函数值可用各阶差分表示。例如性质3 均差和差分可互相表示。例如一般地，有，。3等距节点插值公式其余项为，向前差分表 例3 给定的函数表：01230.00.10.20.31.00000.995000.980070.955344560.40.50.60.921060.877580.82534用牛顿插值法计算的近似值，并估计误差。解：差分表如下： 1.0000-0.005000.99500 -0.00993-0.01493 0.000130.98007 -0.00980 0.00012-0.02473 0.00025 -0.000020.95534 -0.00955 0.00010 0.00001-0.03428 0.00035 -0.000010.92106 -0.00920 0.00009-0.04328 0.000440.87758 -0.00876-0.052240.82534本题中，。当时，。其中。4 埃米尔特插值如果插值条件中，不仅有函数值的信息，还有导数值（一阶、甚至高阶）的信息，这样的插值多项式叫做埃米尔特插值多项式。一、Taylor插值多项式设函数在处，为已知，求次数不超过的插值多项式，使容易知道，在处的Taylor展开式就是满足上述插值条件的多项式。其余项为实际上，Taylor插值是牛顿插值的极限形式。比较牛顿插值与拉格朗日插值的余项可知：故有其中。如果，利用，可定义阶重节点的均差在牛顿插值多项式中，令，即得点评：在科学或工程计算中，输入信息应尽量少。涉及到函数时，算法要避免使用高阶导数。因此，Taylor插值一般不用。二、两个典型的埃尔米特插值（一）三点三次埃尔米特插值求满足插值条件，的次数不超过3次的插值多项式及其余项。由于插值多项式经过点，故其形式为其中为待定系数，可由插值条件确定。两边求导数，即得。余项为：。（二）两点三次插值多项式考虑以为节点的埃尔米特插值多项式，要求满足这里有4个插值条件，所以是不超过三次的多项式。设其中为插值基函数。为了满足插值条件应有：；为了满足插值条件应有：；为了满足插值条件应有：；为了满足插值条件应有：。因此在处有二重根，在处有二重根，在处有二重根，在处有二重根。又在处有单根，故可设将代入上式，确定出，得同理可得。这样，区间上的三次Hermite插值多项式为：其余项【例1】 已知函数的有关数据如下-101-1010要求一不超过三次的Hermite插值多项式，使【解】这是一个三点三次埃尔米特插值问题。法1：待定系数法一。由于所以是的一个二重根，因此可设再由，得即有所以 法2：待定系数法二。由题设条件，有一阶均差二阶均差-1-10011设所求多项式为则由插值条件，得。所以。法3：带有重节点的牛顿型插值法。该方法的要点是：将已知导数值的节点作为重节点。一阶均差（或导数）二阶均差三阶均差-1-11（均差）00-10（导数）10011（均差）11由此得到牛顿型插值多项式：【课本16】 求一个次数不高于4次的多项式，使它满足【解】法1：用重节点牛顿插值公式。 构造如下带有重节点的均差表，重节点的均差用导数代替：一阶均差（或导数）二阶均差三阶均差四阶均差000（导数）0011（均差）-11101/41（导数）-1/211-1021故由Newton插值公式有法2：待定系数法。 因为故可假设由，得方程组解上述方程组有故所求多项式【例】求次数小于等于3的多项式，使其满足条件。【解】用重节点牛顿插值多项式法。构造如下带有重节点的均差表，重节点的均差用导数代替：一阶均差（或导数）二阶均差三阶均差001（导数）0001（均差）11112（导数）11故由Newton插值公式有下一节我们将说明，在实践中，一般不用高次插值多项式。5 分段低次插值一、高次多项式插值的Runge现象1901年，Carl David Tolm Runge在研究多项式插值的时候，意外地发现，有的情况下，并非取节点越多，多项式就越精确。更具体地说，根据区间上给出的节点作插值多项式，并非的次数越高逼近的效果就一定越好。Runge发现著名的例子是它的插值函数在两个端点处发生剧烈的波动，造成较大的误差。如图：灰色粗线在-1,1上的图象蓝色虚线过-1,1上的6个等距点所得到的5次多项式红色虚线过-1,1上的10个等距点所得到的9次多项式。下图是节点数逐渐增大的图像。可以看到，当次数变高时，插值多项式反而变得更不准确。这种现象称为Runge现象。因此，通常不用高次插值，而用低次插值，即采用分段低次插值函数近似给定的函数。二、分段线性Lagrange插值1插值条件所谓分段线性插值，就是用折线段将曲线上的点连接起来，用来近似曲线。设已知节点上的函数值. 记，求一分段线性函数满足：1）；2）；3）在每个小区间上是线性函数。2插值多项式的构造取相邻的两个节点形成插值子区间，做线性插值多项式令则有故称为的分段线性插值多项式。3误差估计下面估计分段线性插值多项式的误差界。由于当时，其中。记，则在区间上，有于是在上，有由此可见三、