微积分习题精解(4).pdf

1 1 2 2 x ey y x o 图 4 1 12图 4 1 12 1 习题 4 1 解答 习题 4 1 解答 1 一只小虫子在 1 小时之内的爬行速度可按如下速度计算 t tv 1 1 其中时间t以小时为单位 速度 tv以米 小时为单位 试估算这只小虫子在 这 1 小时之内爬行的距离 使得估算距离与实际距离的误差不超过 0 1 米 解 解 设测量速度的时间间隔为h 由于小虫子在 1 小时内速度的终值和初 值之差为5 0 01 1 11 1 米 小时 于是总距离s的最大误差为 h 5 0 因此要使估算误差小于 0 1 需 1 05 0 h 解得2 0 h小时 即每隔12602 0 分钟测算一次速度 即能满足要求 得到的最大距离为 74563 02 0 8 01 1 6 01 1 4 01 1 2 01 1 1 米 最小距离为 64563 02 0 11 1 8 01 1 6 01 1 4 01 1 2 01 1 米 2 估计图 4 1 12 所示阴影部分的面积 并进一步分析采用什么方法计算 才能使估计值的精度达到任意要求 解解 将区间 0 1 分成若干小区间 利用小矩形面积的和作为所求阴影部分 面积的估计值 下表 4 1 3 列出了将区间 0 1 进行 n 等分时的面积的近似值 n 2 5 10 20 50 最大值 0 94125 0 89295 0 87479 0 86533 0 85954 最小值 0 74451 0 81425 0 85545 0 84566 0 85167 由上可知 只要分割的小区间的个数足够大 就能得到任意精度的面积 的近似值 2 3 分别利用定积分的定义及几何意义两种方法计算 2 1 12 dxx 解解 方法一方法一 利用定积分的定义计算 由于积分值是唯一的 且它与积分区间的分割方式 点 i 的选取方法都 没有关系 因此为了计算的方便 对区间 2 1 进行特殊的分割 即将积分区 间 2 1 进行n等分 选取第i个小区间 1ii xx 的右 或左 端点作为 i 然 后对积分和求极限 第第 1 步步 将 2 1 分成n个等长的小区间 1 1 1 n i n i 2 1 ni 则每个小区间 i x 的长度为 n 1 第第 2 步步 取各个小区间的右端点为 i 2 1 ni 即 n i i 1 从而 1 1 2 n i f i 则 xf在区间 1 0 上相应的积分和为 3 2 22 3 2 1 2 1 32 11 32 111 n n n nn n n i nnn i xfS n i n i n i iin 第第 3 步步 求极限 43 2 22 limlim n n S n n n 综上知 4 12 2 1 dxx 方法二方法二 利用定积分的几何意义 如图所示 所求定积分为图中阴影部分的面积 即等于梯形的面积 4 1 53 2 1 12 2 1 dxx 4 甲 乙二人参加某次赛车比赛 他们从同一地点沿同一路线同时出发 比赛规则是在规定的时间内 谁行驶的路程最长谁就获胜 图 4 1 13 记录了 他们在比赛过程中赛车的速度变化情况 其中 1 tv表示甲赛车在t时刻的速 度 2 tv表示乙赛车在t时刻的速度 若比赛时间为 1 小时 他们二人谁会 获胜 如果比赛时间为 2 5 小时 又是谁获胜 1 3 2 12 xy y x o 5 3 解解 由于在某段时间内行驶的 路程等于速度函数关于时间的定积 分 又依据定积分的几何意义可知 所行驶的距离实际上等于由速度曲 线在时间段上围成的曲边梯形的面 积 因此由图可知若比赛时间为 1 小时 甲获胜 若比赛时间为 2 5 小 时 则乙获胜 习题 4 2 解答 习题 4 2 解答 1 1 若 xf是区间 ba上的非负连续函数 且 xf不恒为零 则是否一 定有0 b a dxxf 解解 依题设点 0 x为区间 ba上函数值不等于 0 的点 即0 0 xf 不妨 设0 0 xf 由 xf在 ba上的连续性知 lim 0 0 xfxf xx 运用极限的保号 性 在 ba中必存在包含 0 x的某区间 dc 使得在此区间内 xf与 0 xf同 号 于是由定积分对积分区间的可加性知 0 d c b d d c c a b a dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf 2 2 计算 1 0 1 2dxe x 解解 原式eedxedxedx xx 2 1 222222 1 0 1 0 1 0 3 3 用几何知识计算 2 0 1 dxx 解解 原式 2 1 1 0 1 1 dxxdxx1 2 1 2 1 4 4 求c的值 使 1 0 2 22 dxcxcex最小 并求其最小值 解解 设 1 0 1 0 2 1 0 1 0 2 22 22 dxcxdxcdxedxcxcecf xx 因此1221 22 eccccecf 由二次函数的性质知 当1 c 时 1 0 2 22 dxcxcecf x 的值最小 最小值为2 e 图 4 1 13图 4 1 13 1 1 tv v t o2 5 2 tv 4 5 5 在统计学中常常要研究标准正态分布的密度函数 2 2 2 1 x ey 其图象如图 4 2 10 所示 下表给出了在曲线 2 2 2 1 x ey 下方从 0 到b 对 不同的b 围成的曲边梯形的面积 利用表中的已知信息及标准正态分布密度函数的性质 试计算 1 dxe x 3 1 2 2 2 1 2 dxe x 4 2 2 2 2 1 解解 由定积分对积分区间的可加性知 1 dxedxedxe xxx 3 0 2 0 1 2 3 1 2 222 2 1 2 1 2 1 dxedxe xx 3 0 2 1 0 2 22 2 1 2 1 0 4987 0 3413 0 1574 2 dxedxedxe xxx 4 0 2 0 2 2 4 2 2 222 2 1 2 1 2 1 dxedxe xx 4 0 2 2 0 2 22 2 1 2 1 对称性 0 4772 0 5000 0 9772 6 6 不用计算积分 比较下列各积分值的大小 1 4 3 lnxdx 4 3 2 lndxx 2 0 2 sin xdx 2 0 sin xdx 解解 1 因为当43 x时 2 lnlnxx 由性质 4 2 6 知 2 2 2 1 x ey y bx o 图 4 2 10图 4 2 10 b x dxe 0 2 2 2 1 b 1 2 3 4 0 3413 0 4772 0 4987 0 5000 5 4 3 ln xdx 4 3 2 lndxx 2 由于 0 2 sin xdx0 所以 0 2 sin xdx 2 0 sin xdx 7 7 利用定积分的性质估计下列积分值 1 2 1 43 2 dxxx 2 3 3 3 arctan xdxx 解解 1 函数 43 2xx 在区间 2 1 的最大值与最小值分别为 16 27 及 0 所以 16 27 2 0 2 1 43 dxxx 2 由性质 4 2 6 知 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3arctanarctan 3 3 arctanxdxxdxxxdx 两边分别积分即可得 9 4 arctan 9 2 3 3 3 xdxx 8 8 设函数 xf在 ba上连续 且恒大于 0 求 b a n n dxxfx lim 2 解解 由于函数 xf在 ba上连续 因此设 xf在 ba上的最大值和最 小值分别为 m 与 M 再利用性质 4 2 6 得 n b a n b a n b a nn M ab dxxMdxxfxdxxmm ab 3 3 33 222 33 所以 3 lim 3 lim 3 lim 3 3333 2 3333 ab m ab dxxfxm abab n n b a n n n n 故 b a n n dxxfx lim 2 3 33 ab 9 9 设函数 xf在 ba上连续 在 ba内可导 且Mxf M为 常数 0 af 证明 2 abMdxxf b a 证明证明 在区间 xa上对 xf应用拉格朗日中值定理得存在 xa axMaxfafxfxf 所以运用推论 4 2 1 有 6 2 abMdxabMdxaxMdxxf b a b a b a 10 10 求极限 an nn dx x x 1 sinlim 解解 利用积分中值定理有 1 sin 1 sinadx x x an n ann 应用重要极限得 an nn dx x x 1 sinlimaa 1 sinlim 习题 4 3 解答 习题 4 3 解答 1 1 利用牛顿 莱布尼兹公式计算下列定积分 1 1 3x dx 2 3 1 2 1x dx 3 0 sin3xdx 4 4 2 x dx 5 1 1 dxxx 6 0 1 1dx e x 解 解 1 因为 x x 1 ln 所以 1 3x dx 3ln ln 1 3 x 2 因为 2 1 1 arctan x x 所以 3 1 2 1x dx 3 1 arctan x 12 7 3 因为 xxsin3cos3 所以 0 sin3xdx 0 cos3x6 4 因为 x x 1 2 所以 4 2 x dx 4 2 2x224 7 5 因为 23 3 1 xx 所以 1 0 2 0 1 2 1 1 dxxdxxdxxx0 3 1 3 1 1 0 3 0 1 3 xx 6 因为 11 xx ee 所以 0 1 1dx e x 0 1 1x e1 e 2 2 x dttf 1 与 x dttf 0 仅相差一个常数 这种说法对吗 解解 这种说法正确 因为 01 xfdttf dx d dttf dx d xx 所以它们是同一函数 xf的两不同的原函数 仅相差一个常数 3 3 假设函数 xf在区间 ba上有原函数 那么 xf在区间 ba上一 定可积吗 试举例说明 解解 不一定可积 例如函数 0 0 10 1 cos 21 sin2 22 x x x x x x xf 在 1 0 上有原函数 0 0 10 1 sin 2 2 x x x x xF 但 xf在 1 0 上无界 因而在 1 0 上不可积 4 4 求下列积分上限函数的导数 1 x dttx 1 sin1 2 2 1 sin x dt t t x 3 1 3 x tdt tex 4 x x dttfx sin cos 2 1 其中 tf在 上可微 5 x tdtxx 0 22 sec 2 2 x 解解 1 xxsin1 8 2 x x x x x x 2 2 2 sin2 2 sin 3 33 523 33 xx exxexx 4 sin cos1 cos sin1 22 xxfxxfx xxfxxfsin sin cos cos 5 xxtdtxx x 22 0 2 secsec2 xxxx 22 sectan2 5 5 求下列函数的极限 1 dtt x x x 0 2 0 cos 2 1 lim 2 dtetx x t x 0 3 0 1 csclim 解解 1 2 cos lim 2 cos limcos 2 1 lim 2 0 0 2 00 2 0 x x dtt dtt x x x x x x2 1 2 xx ex x dtet dtetx x x x t x x t x cossin3 1 lim sin 1 lim 1 csclim 2 0 3 0 00 3 03 1 6 6 求函数 x dtttxF 1 4 在 5 1 上的最大值与最小值 解解 令0 4 xxxF 则40 xx或 又因 3 2 2 3 1 4 1 1 1 23 1 1 ttdtttF 3 5 2 3 1 4 0 0 1 23 0 1 ttdtttF 92 3 1 4 4 4 1 23 4 1 ttdtttF 3 20 2 3 1 4 5 5 1 23 5 1 ttdtttF 所以最大值 3 5 0 F 最小值为9 4 F 7 7 函数xy 2 sin 2 1 xy2cos 4 1 xy 2 cos 2 1 是同一函数的 原函数吗 如果是 是哪一函数的原函数 解解 是同一函数的原函数 因为三个函数的导数都等于x2sin 2 1 所以它 9 们是x2sin 2 1 的原函数 8 8 设 xf在 上可导 且0 x f 讨论函数 x dttftxxF 0 2 在 上的单调性 解解 首先对 xF求导数 0 2 2 0 000 xffxxxfxf xxxfdttf xxfxxfdttfdtttfdttfxxF x xxx 应用积分中值定理 由于0 x f 所以 fxf 因此0 x F 故 xf在 上 是增函数 9 9 若 xF和 xG是 xf在区间I上的两个不同原函数 则它们的图 象永不相交 这种说法正确吗 解解 正确 因为同一函数的两个不同原函数之间必相差一个常数 可通过 平移一条曲线得到另一条曲线 所以它们的图象永不相交 10 10 如图 4 3 4 中所示的曲线表示函数 xf的图象 试画出 xf的原函 数 xF可能的图象 并标出 654321 xxxxxx 找出 xF的单调区间 极 值点及拐点 解解 图 4 3 5 中曲线为原函数 xF图象 只画了 1 条 可看出 3 x 5 x为 xF的递增区间 53 xx为 xF的递减区间 3 x为 xF的极大 值点 5 x为 xF的极小值点 4 x为 xF的拐点 图 4 3 4图 4 3 4 x x1 1 o y x f x6 x5 x4 x3 x2 10 习题 4 4 解答 习题 4 4 解答 1 1 比较不定积分与定积分这两个概念 解解 不定积分是一簇函数的集合 而定积分是一个数 不定积分与积分 变量有关 而定积分与积分变量的选择无关 微积分基本定理将这两个概念 有机地联系在一起 使得求被积函数的不定积分成为定积分计算的关键所在 2 2 已知某曲线上任一点的切线斜率为 3 x 且曲线经过 8 2 求此曲 线的方程 解解 设所求的曲线方程为 xf 由导数的几何意义可知 3 xxf 因此 Cxdxxxf 43 4 1 又因为曲线经过 8 2 所以C 4 2 4 1 8 解得4 C 故所求曲线方 程为4 4 14 xy 3 3 求下列不定积分 1 dx x xx3 33 2 dx xx x cossin 2cos 3 1 22 xx dx 4 dx x e x 1 3 5 dy y y 3 1 6 d cot 2 sin 22 解 解 1 dxxxxdx x xx 3 3 2 1 2 533 图 4 3 5图 4 3 5 x x1 1 o y x6 x5 x4 x3 x2 F x 11 Cxxx 6 2 1 7 22 2 7 2 dx xx xx dx xx x cossin sincos cossin 2cos 22 Cxx cossin 3 2222 1 1 x dx x dx xx dx Cx x arctan 1 4 dxxdxedx x e xx 2 3 3 1 C x e x 2 5 dyyy y dy y y 33 1 1 2 3 Cyyyy 3 2 3 3 1 ln 23 6 dd 1csc 2 cos1 cot 2 sin 222 C cot2sin 2 1 4 4 已知xxf 22 tan sin 求函数 xf 解 解 依题求得 x x xf 1 因此 Cxxdxdx x dx x x xf 1 ln 1 1 1 5 5 已知CxFdxxf 求不定积分 dxxxf sincos 解 解 因为 xdxfdxxxfsin sin sincos 所以由已知条件得 CxFxdxf sinsin sin 6 6 已知 x exf 求不定积分 dx x xf ln 解 解 Cxfxdxfdx x xf lnln ln ln C x 1 7 7 图 4 4 3 中曲线 B 表示某细菌的繁殖率 繁殖率以每小时的繁殖量为 单位 曲线 D 表示同一细菌的死亡率 以每小时死亡细菌的数量为单位 试讨论 1 就图中两曲线的形状 解释该细菌总量的变化规律 2 利用图象求出该细菌总量的净增长率 繁殖率 死亡率 达到最 大的时刻 3 利用图象求出细菌总量达到最大的时刻 12 解解 1 开始时繁殖率大于死亡率 细菌总量在逐渐增加 到达一定时 间 繁殖率与死亡率相等 细菌总量达到最大 随后繁殖率小于死亡率 细 菌总量逐步减小 2 由图象知 大约在5 7 t小时时该细菌总量的净增长率达到最 大 3 细菌总量达到最大的时刻为13 t 8 8 经济学中 我们经常考虑商品的需求量Q关于其价格p的变化规律 假设市场上某种商品的最大需求量为2000 即2000 0 Q 件 其需求量 关于价格的变化率 即边际需求 为 p pQ 2 1 2ln1000 请给出这种商品的需求量Q关于价格p的函数关系 并计算当此商品的价格 从1元涨到2元时 需求量减少了多少件 解 解 由不定积分的定义值 CdppQ p p 21000 2 1 2ln1000 又因2000 0 Q 所以CQ 1000 0 2000 即1000 C 故 121000 p pQ 需求量减少了 250121000121000 2 1 21 QQ 件 也可以用定积分计算需求量的减少量 250121000121000 2 1 2ln1000 21 2 1 dp p 件 9 9 描述污染程度大小的重要指标是排放污染物的总量的多少 已知某 25 20 10 15 5 o t 小时 每小时细菌繁殖或死亡的总量 B 图图 4 4 34 4 3 D 13 地区湖水在近期内严重污染 其污染的增长速度为 2 4 1 4 3 3 4 3 tttA 其中t以年为单位 污染物总量 tA以污染的适当单位来度量 假如最初时 的污染物总量为 27 个单位 计算16年后的污染物总量达到多少 你能为实 施治理湖污染提一些合理建议吗 解解 依题意污染物总量 tA可表示为 Ct tdt dtttdttAtA 3 4 1 4 1 2 4 1 2 4 1 4 3 3 3 3 3 3 4 3 由于27 0 A 代入可得0 C 所以 3 4 1 3 ttA 于是 125 316 16 3 4 1 A个单位 习题 4 5 解答 习题 4 5 解答 1 1 用换元法求下列不定积分 1 dt t tsin 2 dx x 2 4 1 3 dx xxx lnlnln 1 4 dx e x 1 1 5 dx x x 1 2 6 d cos1 1 7 dx xx 22 cos2sin 1 8 dx x x 4 1 9 dx xx xx 2 cos2 sin sin2cos 10 dx x x 2 2 1 1 arcsin 11 dxxx 3cos2sin 12 dxx 5 cos 13 dx x x sin1 sin 14 dx xx x 2 ln ln1 14 15 dx x x 21 16 dx xx 2 4 1 17 dx xx 1 1 2 18 dx e x 2 1 1 19 dx x x 1 1 20 dx x 32 1 1 解 解 1 tdtdt t t sin2 sin Ct cos2 2 2 2 1 1 2 1 4 1 22 x d x dx x C x 2 arctan 2 1 3 xd x xd xx dx xxx lnln lnln 1 ln lnlnln 1 lnlnln 1 Cx lnlnln 4 dx e e dx e ee dx e x x x xx x 1 1 1 1 1 1 Cex x 1ln 5 1 1 1 2 1 1 2 22 xd x dx x x Cx 1 2 6 ddd 2 sec 2 1 2 cos2 1 cos1 12 2 C 2 tan 7 xd x dx x x dx xx tan tan2 1 tan2 sec cos2sin 1 22 2 22 Cx cot2arctan 2 2 8 1 1 2 1 1 2 44 xd x dx x x Cx 2 arctan 2 1 9 cos2 sin cos2 sin 1 cos2 sin sin2cos 22 xxd xx dx xx xx C xx cos2sin 1 10 xdxdx x x arcsin1 arcsin 1 1 arcsin 2 2 2 Cxx arcsinarcsin 3 13 15 11 dxxxdxxx sin5 sin 2 1 3cos2sin Cxx 5cos 10 1 cos 2 1 12 xdxxdxdxxsin sin1 sincoscos 2245 Cxxx 52 sin 5 1 sin 3 2 sin 13 dxxxxdx x xx dx x x tansec tan sin1 sin1 sin sin1 sin2 2 dxxxx 1secsec tan 2 Cxxx tansec 14 ln ln 1 ln ln1 22 xxd xx dx xx x C xx ln 1 15 令 2 1 2 t x 则tdtdx 于是 Cttdt t tdt t t dx x x 2 1 6 1 2 1 2 1 21 3 22 Cxx 21 2 1 21 6 1 2 3 16 令 22 sin2 ttx 则tdtdxcos2 于是 dttdt t dtt tt dx xx csc 2 1 sin2 1 cos2 cossin4 1 4 1 2 Ctt cotcsc ln C x x 2 42 ln 2 1 17 令txsec 则tdttdxtansec 于是 Ctdttdtt tt dx xx tansec tansec 1 1 1 2 C x 1 arccos 18 令 1ln 2 12 tx 则dt t t dx 1 2 于是 C t t dt t dt t t t dx e x 1 1 ln 2 1 1 1 1 1 1 1 22 2 Cxee xx 212ln 2 122 19 令txsin 则tdtdxcos 于是 16 dttdtt t t dtt t t dx x x sin1 cos cos sin1 cos sin1 sin1 1 1 CxxCtt 2 1arcsincos 20 令txtan 则tdtdx 2 sec 于是 tdtdt t t dx x cos 1 tan sec 1 1 32 2 32 C x x Ct 1 sin 2 2 2 计算下列定积分 1 2ln 0 1dxex 2 9 1 1 1 dx x 3 1 2 3 511 1 dx x 4 0 2cos1dxx 5 dx xx x 2 1 4 1 1 arcsin 6 4 0 5 1 dxx 7 dx xx xx 1 1 24 32 sin 8 2 2 2sinsin xdxx 解 解 1 令 1ln 2 tx 则dt t t dx 1 2 2 于是 1 0 2 2 2ln 0 1 21dt t t dxex 1 0 arctan 2tt 2 2 2 令 2 tx 则tdtdx2 于是 3 1 9 1 1 2 1 1 dt t t dx x 3 1 1 ln 2tt2ln24 3 1 2 3 511 1 dx x 1 2 2 511 10 1 x 72 7 4 00 cos 22cos1dxxdxx 2 2 0 coscos2xdxxdx 22 5 2 1 4 1 2 arcsin 1 arcsin 2 1 4 1 xdx xx x2 144 5 17 6 4 1 5 1 0 5 4 0 5 1 1 1 dxxdxxdxx 3 365 7 此积分为对称区间上奇函数的定积分 故dx xx xx 1 1 24 32 sin 0 8 2 0 2 2 cos3 cos 2 1 22sinsin dxxxxdxx 3 2 3 3 用分部积分法计算积分 1 xdxx ln 2 2 xdx 3 sec 3 dxex x 2 3 4 dxx 2ln 2 5 dxxx arctan 6 dxx e 2 1 lncos 7 dxxe x 2 0 2 cos 8 dxx e e 1 ln 解 解 1 1 ln 3 1 ln 3 1 ln 3232 dx x xxxxdxxdxx ln 3 122 dxxxx Cxx 1ln3 9 13 2 xxdxxxxdxdxsectantansectansecsec 3 tansec lnsectansec secsectansec sec 1 sectansec sectantansec 3 3 2 2 xxxdxxx xdxxdxxx xdxxxx xdxxxx 解方程得 xdx 3 sec Cxxxx tansec lntan sec 2 1 3 因 223 22 2 1 dxexdxex xx 令 2 xu 于是 Ceuedeuduuedxex uuuux 2 1 2 1 2 1 2 3 Cxex 1 2 12 2 4 2ln 2ln 2ln 222 xxdxxdxx dx x x xx 2 2 2 2 2ln 18 C x xxx 2 arctan222 2ln 2 5 arctanarctan 2 1 arctan 2 1 arctan 222 xdxxxdxxdxxx 1 1 arctan 2 1 2 22 dx x xxx Cxxx 2 1 arctan 1 2 12 6 2 2 2 1 1 1 lncoslncoslncos e e e xxdxxdxx 22 11 lnsin1 1 lnsin1 ee xdxdx x xx 2 2 1 1 lnsinlnsin1 e e xxdxx 2 1 lncos 2 1 e xdx 解方程得 dxx e 2 1 lncos 1 2 2 1 7 dxxexexdedxxe xxxx 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 sin2sinsincos dxxee dxxexee xdee x xx x 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 cos42 cos4cos2 cos2 解方程得 dxxe x 2 0 2 cos 2 5 1 e 8 dxxdxxdxx e e e e 1 1 11 lnln ln e e xxxx 1 1 1 1 ln ln1 1 1 2 e 4 4 计算下列积分 19 1 dx xx xxx 1 1 343 22 23 2 dx x xx 1 1 2 3 3 dx xx x 52 2 2 4 dx xx 28 1 1 5 dx x xx 2 0 cos1 sin 6 dx xx x 1 0 24 3 14 1 解 解 1 将被积函数分解部分分式之和得 1 2 1 1 1 1 1 1 343 2222 23 x x x x xx xxx 所以 dx xx xxx 1 1 343 22 23 dx x x dx x dx x 1 2 1 1 1 1 22 Cx x x 1ln 1 1 1 ln 2 2 dx x xdx x xx 1 1 1 1 22 3 Cxx arctan 2 12 3 dx xx x dx xx x 52 222 52 2 22 dx x xxd xx 2 2 2 1 4 2 52 52 1 C x xx 2 1 arctan 52ln 2 4 288 8 288 7 28 1 1 1 1 xx dx dx xx x dx xx C xx 1 1ln 1 1 8 1 88 5 dx x x dx x x dx x xx 2 0 2 0 2 0 cos1 sin cos1cos1 sin cos1 cos1 1 2 cos2 2 0 2 0 2 xd x dx x x cos1 cos1 1 2 tan 2 0 2 0 xd x x dx 2 0 2 0 2 0 cos1ln 2 tan 2 tan xdx xx x 20 2 6 dx xx xxd dx xx x 1 0 24 4 1 0 24 3 14 14 4 1 14 1 24 5 习题 4 6 解答 习题 4 6 解答 1 1 利用定积分近似计算教学演示实验求定积分 1 0 2 sindxx的近似值 1 300 n 矩形法左和 2 900 n 梯形法 解解 利用定积分近似计算教学演示实验可求得 1 1 0 2 sindxx0 308866851 2 1 0 2 sindxx0 310268413 2 2 利用定积分近似计算教学演示实验求定积分 1 0 3cos dxx的近似值 1 100 n 梯形法 2 800 n 矩形法右和 解解 利用定积分近似计算教学演示实验可求得 1 1 0 3cos dxx0 619649302 2 1 0 3cos dxx0 619620182 习题 4 7 解答 习题 4 7 解答 1 1 证明关于 函数性质的公式 4 7 1 及 4 7 2 证明 证明 由分部积分法得 00 1 xtxt dexdxext 0 1 0 dxxedex txxt tt 当nt 时 有 1 12 1 1 1 1 n nn nnnnnn 21 2 2 利用 函数计算广义积分 0 2 dxe x 解 解 令 0 2 xxu 则du u dx 2 1 于是 0 1 2 1 00 2 1 2 1 2 dxexdu u edxe xux 2 1 2 1 3 3 利用广义积分的定义判别下列积分是否收敛 若收敛求出其积分值 1 3 2 1 1 dx x 2 0 dxxe x 3 dx ee xx 1 4 4 0 2 3 4 1 dx x 5 2 22 4 1 dx x 6 8 1 3 1 dx x 解 解 1 由无穷限积分的定义得 3 3 2 1 1 ln 2 1 1 1 x x dx x 2ln 2 1 所以 3 2 1 1 dx x 收敛 2 由无穷限积分的定义得 1 0000 xxxx edxexedxxe 所以 0 dxxe x 收敛 3 由无穷限积分的定义得 2 arctan 1 x xx edx ee 所以 dx ee xx 1 收敛 4 由瑕积分的定义得 4 0 4 0 2 3 4 2 4 1 x dx x 所以 4 0 2 3 4 1 dx x 发散 5 由瑕积分的定义得 22 2 2 2 22 2 arcsin 4 1x dx x 所以 2 22 4 1 dx x 收敛 6 由瑕积分的定义得 8 0 3 0 1 3 8 1 3 111 dx x dx x dx x 而 8 0 3 0 1 3 1 与 1 dx x dx x 均发散 故 8 1 3 1 dx x 发散 习题 4 8 解答 习题 4 8 解答 1 1 利用二重积分的几何意义求下列二重积分的值 1 D d 其中D xyx2 22 2 D dyx 22 9 其中D 9 22 yx 解 解 1 所求重积分的被积函数为 1 其值等于积分区域的面积 如图 4 8 1 即 的面积Dd D 2 所求重积分的值等于以原点为圆心 以 3 为半径的上半球体的体积 图 4 8 2 因此 D dyx 22 9 18 2 2 应用二重积分计算由 2 4xy 24 2 xxy所围成的平面图 形的面积 解 解 首先将积分区域D 图 4 8 3 y 2 x o 图图 4 8 1 3 3 3 x y z 图图 4 8 2 1 3 4 23 表示如下 22 424 31 xyxxxyxD 由直角坐标系下二重积分的计算公式得 3 64 246 3 1 2 4 24 3 1 2 2 dxxx dydxA x xx 3 3 交换累次积分的次序 1 88 2 2 1 2 x x x dyyxfdxdyyxfdx 2 x x dyyxfdx 22 0 解解 1 由已知二重积分画出积分 区域 图 4 8 4 并重新用不等式表示 为下列两个区域的并 yxyyyxD 41 1 yxyyxD 2 84 2 因此 88 2 2 1 2 x x x dyyxfdxdyyxfdx yy y dxyxfdydxyxfdy 2 8 4 4 1 2 积分区域如图 4 8 5 可表示为 下列两个区域的并 yx y yyxD 2 20 1 2 2 42 2 x y yyxD 因此 x x dyyxfdx 22 0 2 2 4 2 2 2 0 y y y dxyxfdydxyxfdy 4 4 计算下列二重积分 4 8 2 1 1 8 y x2 y x 图图 4 8 4 20 2 y 2x y x 4 图图 4 8 5 24 1 D dyx 2 D 由1 y 32 xy及xy 3围成 2 D d yx y 2 3 22 1 10 10 yxyxD 3 D y de 2 D 由xy 1 y及y轴围成 4 D dyx 22 D 222 ayx 0 a在第一象限部分 5 D d x y arctan D 由41 22 yx 0 y xy 围成 解解 1 积分区域如图 4 8 6 可表示为 yxyyyxD3 3 2 1 31 因此 D dyx 2 3 34 4 9 2 3 1 2 3 2 3 3 1 dyyydxyxdy y y 2 积分区域为矩形区域 如图 4 8 7