高中数学竞赛(00-06年)试题教师版——数列.doc

高中数学竞赛（00-06） 数列1 （00全国）给定正数p,q,a,b,c，其中pq，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx2-2ax+c=0 ( A )(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根2 （03全国）删去正整数数列1，2，3，中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2003项是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （ ）A2046 B2047 C2048 D2049解：注意到4522025，4622116，2026a202645a1981，2115a211545a2070而且在从第1981项到第2070项之间的90项中没有完全平方数又1981222003，a2003a1981+222026222048故选(C)3 （04天津）已知数列，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前项之和等于（A）（B）（C）（D） （ D ）4（2006年江苏）已知数列的通项公式，则的最大项是（ ） 5. （2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=(p1，p2，pn)，P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+pk(1kn)，若数列(p1，p2，p2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p1，p2，p2006)的“蔡查罗和”为 （ ）A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 10046(集训试题)已知数列an满足3an+1+an=4(n1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|的最小整数n是 ( ) A5 B6 C7 D87（2006年浙江省预赛）设为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如。记，则( ) (A) 20 (B) 4 (C) 42 (D) 145. 9. (2005全国)记集合将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（）A B C D9（00全国）等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是_.10（04全国）已知数列满足关系式，则的值是_。解：设即 故数列是公比为2的等比数列，.。11（05全国）将关于的多项式表为关于的多项式其中则.解：由题设知，和式中的各项构成首项为1，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式，得：令得取 有12（05天津）在数列an中，已知a12，an+an+11(nN+)若Sn为数列an的前n项和，那么，S2 0032S2 004S2 005的值是_解：3当n为偶数时，a1a21，a3a41，an1an1，则Sn，S20041002；当n为奇数时，a2a31，a4a51，an1an1，则Sna1，S20031003，S20051004；S2 0032S2 004S2 005313（2006年江苏）等比数列的首项为，公比设表示这个数列的前项的积，则当 时，有最大值14.(2005年浙江)已知数列，满足, 且， 则= 。15（2005四川）设为整数，集合中的数由小到大组成数列：，则 。16. 数列的各项为正数,其前n项和满足,则=_17.（00全国）设Sn=1+2+3+n,nN，求f(n)=的最大值.( 答案：50)18.（05全国）数列满足：证明：（1）对任意为正整数； (2)对任意为完全平方数。证：（1）由题设得且严格单调递增.将条件式变形得两边平方整理得-得由式及可知，对任意为正整数.10分（2）将两边配方，得由0（mod3）为正整数。 式成立.是完全平方数.20分19.（06天津）已知数列满足，其中是给定的实数，是正整数，试求的值，使得的值最小【解】令，。由题设，有，且5分。 于是，即（）10分又，则当的值最小时，应有，且即，15分由（）式，得 由于，且，解得，当时，的值最小 20分20.（2006陕西赛区预赛）已知,设,记。(1)求 的表达式; (2