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第九讲 矩阵微分方程一、矩阵的微分和积分1. 矩阵导数定义：若矩阵的每一个元素是变量t的可微函数，则称A(t)可微，其导数定义为 由此出发，函数可以定义高阶导数，类似地，又可以定义偏导数。2. 矩阵导数性质：若A(t),B(t)是两个可进行相应运算的可微矩阵，则（1）（2）（3）（4） (A与t无关)此处仅对加以证明证明： 又3. 矩阵积分定义：若矩阵的每个元素都是区间上的可积函数，则称A(t)在区间上可积，并定义A(t)在上的积分为 4. 矩阵积分性质（1）（2）（3）二、 一阶线性齐次常系数常微分方程组设有一阶线性齐次常系数常微分方程组式中t是自变量，是t的一元函数是常系数。令 ，则原方程组变成如下矩阵方程 其解为 对该解求导，可以验证 且t0时，表明x(t)确为方程的解，积分常数亦正确例：求解微分方程组， 初始条件为解：， 求出A的特征多项式， 定义待定系数的多项式 解方程 三、 一阶线性非齐次常系数常微分方程组 令方程组化为矩阵方程采用常数变易法求解之；齐次方程的解为，可设非齐次方程的解为，代入方程，得： 由积分性质(3)可验证c(t)是解。加上初始条件，有 说明:高阶常微分方程常常可以化为一阶常微分方程组来处理，如： 令，则可得 一般地，n阶常微分方程可以化为n个一阶常微分方程组成
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