概率论 随机变量的数字特征.pdf

谢土生编2010 12 1 Ch4随机变量的数字特征 Ch5极限定理 三 计算题 1 解 记YXZ 则0 YEXEYXEZE 1 1 2 YDXDYXDZD 1 0 NZ 0 22 2 1 2 2 dzezdzzzZEYXE z 2 解 球的体积 3 23 4 X V X的概率密度为 其他0 1110 1011 1 x xf 所以 11 10 3 3 3 8 1547 23 4 23 4 dxxdxxf x VE 3 解 3 1 2 1 3 1 YEXEZE 6 XY YDXDYXCOV 所以 3 6 2 1 3 1 24 4 1 3 9 1 2 3 2 2 1 3 1 22 22 YX COVYDXDZD 4 解 记 X 100 个索赔户中属被盗索赔户的户数 则 2 0 100 bX 所求概率为 8 02 0100 2 010030 8 02 0100 2 0100 8 02 0100 2 010014 3014 XPXP 00003 0 99 9 60 1 1 40 1 1 pnp np pnp npX P 2 记 Y 保险公司利润 则XXY 1404011018 且40100140140 140 npXEEYE 7 解 9 8 3 1 3 3 3 2 2 XEXPXEXXEP 8 解 1 0 25 5 2 5 5 2 2 XEXP 9 解 记 X 被使用的终端个数 则 2 0 120 bX 120 n 2 0 p 所求的概率为 1 50 1 1 30 5030 pnp np pnp npX pnp np PXP 16 0 84 0 1 1 1 30 30 1 谢土生编2010 12 3 2 问题为求 x使95 0 200 xXP 6 1 1 200 1 pnp np x pnp npX P 18096006 1 1 200 x pnp np x 12 解 设检查n个产品 查到的次品数为X 则 05 0 nbX 且9 0 10 k k k k XPXP 5 4 1 400 320 1 16 161920 16 16 1 22 16 1 k k X P 2119 07881 01 8 0 1 14 解 记 X 某厂产品的寿命 则依题意有 4 XE 2 4 XD 售出的产品一年内损坏的概率 XYXYY XYY Z 5001000 1000 16 解 记 X 一年内死亡的人数 则 pnbX 60006 010000 nppn7227 7 1 pnp 1 保险公司没有利润的概率 120 1 10000121000 XPXP 0 7227 7 60 1 1 120 1 1 pnp np pnp npX P 2 记 Y 保险公司利润 则XXY100012000010001000012 600001000120000 1000120000 npXEEYE 元 60 600001000120000 60000 XPXPYP 2 1 0 1 60 1 pnp np pnp npX P 17 解 依题意有 00 0 10 1 10 1 x xe xfX记 Y 一件商品的收款 则 1 0 1 0 10 1 1 10 1 1 1500 edxeXPYP x 2 01 0 2000 eeYP 3 02 0 2500 eeYP 3 0 3000 eYP 所以 3 03 02 02 01 01 0 3000 2500 2000 1 1500 eeeeeeYE 15 2732 5001500 3 02 01 0 eee 谢土生编2010 12 5 18 解 依题意有所求为 0 YXP 因为 03 0 40 22 2 NX 04 0 5 22 2 NY 所以 05 0 1 0 2 NYX 故9772 0 2 05 0 1 0 0 05 0 1 0 0 YX PYXP 19 解 记 X 保险公司的收益 设顾客交b元 则 pbXP 1 pabXP 依题意apabpbXE 10 1 令 求得 10 pab 20 解 记 A 设备需要调整 i A 第i个部件需要调整 1 496 07 08 09 01 1 321321 AAAPAAAPAP 2 记 X 需要调整的部件数 个部件不需要调整第 个部件需要调整第 i i Xi 0 1 则 3 1i i XX 3 2 1 iAPXE ii 6 03 02 01 0 3 1 i i XEXE 21 解 依题意得 222 222 2 0 1 ayx ayx a yxfYX 1 a 所以 21 22 22 22 22 axxa a dy a dyyxfxf xa xa X 同理 2 22 2 ayya a yfY a a X dxxa a xdxxfxXE0 2 22 2 同理 0 YE 从而 222 cov ayx dyxfxyYEXEXYEYX a rdrrrd a 0 2 0 2 0sincos 2 所以0 cov YDXD YX XY 即X与Y不相关 又易见 yfxfyxf YX 即X与Y不相互独立 证完 谢土生编2010 12 7 2 设 1 0 2 XYNX 则X与Y不相关 但不相互独立 证明 0 XE cov XXEYEXEXYEYX 0 2 1 2 2 dxexx x 0 cov YDXD YX XY 所以X与Y不相关 另一方面 考虑 0 a易见1 aXPaXP 从而 aXaXPaXPaXPaXP 00 0 x xe k x xfX x k 试用切贝谢夫不等式证明 1 1 20 k k kXP 证明 00 11 x k x k de k x dxe k x dxxxfXE 00 1 0 1 1 1 kdxe k x k k x de k x e x kk x k x 同理 0 2 22 1 2 kkdxe k x dxxfxXE x k 所以1 1 1 2 22 kkkkXEXEXD 11 1 1 1 1 1 1 1 20 2 k k kk XD kkXPkXP证完 7