数学建模——经验公式与施肥效果分析的数学模型.pdf

1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 理论研究 李园庭 漆志鹏 胡结梅 经验公式与施肥效果分析的数学模型5 3 李园庭 漆志鹏 胡结梅 经验公式与施肥效果分析的数学模型 南昌航空大学 江西 南昌 330063 关键词 数据拟合 数学建模 经验公式 施肥效果分析 摘 要 本文利用数据拟合等方法讨论了一个数学建模问题 施肥效果分析 给出了两种模型 每种模型又都讨论了产量模 型和效益模型 中图分类号 O221 1 文献标识码 A 文章编号 1001 4926 2008 03 0005 07 Empirical formula and mathematicalmodeling for the problem of fertilizer effect analysis L I Yuan ting Q I Zhi peng HU Jie mei Nanchang Hangkong University Nanchang330063 China Key words data fitting mathematicalmodeling empirical formula fertilizer effect analysis Abstract The paper discusses a mathematical modeling problem fertilizer effect analysis Two models are given in each of which yield model and benefitsmodel are discussed 数据拟合方法 1 在数学建模问题中常常有着重 要的应用 根据实验数据来求出实际问题中变量之 间的经验公式 1 2 然后再根据经验公式来讨论模型 的最优解 是许多数学建模问题中的一种重要方法 下面就利用这种方法来讨论一个数学建模问题 3 4 某地区作物生长所需的营养素主要是氮 N 磷 P 钾 K 某作物研究所在该地区对土豆与 生菜做了一定数量的实验 实验数据可参见文献 3 其中ha表示公顷 t表示吨 kg表示公斤 当 一个营养素的施肥量变化时 总将另两个营养素的 施肥量保持在第七个水平上 如对土豆产量关于N 的施肥量做实验时 P与K的施肥量分别取为 196kg ha与372kg ha 我们来分析施肥量与产量之间的关系 并对所 得结果从应用价值与如何改进等方面作出估价 首先 将题中的数据用MAT LAB软件 5 作出图形 3 收稿日期 2007 11 20 修回日期 2008 07 04 基金项目 南昌航空大学省级教改课题 JXJG 07 7 9 作者简介 李园庭 1962 男 南昌航空大学数学与信息科学学院副教授 研究方向 偏微分方程 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 2008年9月 第22卷 第3期 理论研究 李园庭 漆志鹏 胡结梅 经验公式与施肥效果分析的数学模型6 从图上可看出 N P K的取值范围不一样 可 以将它们的取值范围转化成区间 0 1 这样它们 的变化范围就都一样了 转化后的数据图形如下 1模型的建立及求解 要分析施肥量与产量之间的关系 首先要建立 施肥量与产量之间的函数关系 可以用数据拟合的 方法来建立这种函数关系 这又需要确定拟合的函 数的形式 即所谓经验公式 施肥量与产量之间的函数可以是每一种肥料的 施用量与产量的关系 也可以是三种肥料共同的施 用量与产量的关系 按一般常识 N P K是作物生 长的三种基本肥料要素 它们用量的多少将直接影 响农作物的产量 这种对作物产量的 影响 通常 是这三种肥料的共同影响 而不应是单一某一种肥 料对作物产量的 影响 但每一种肥料的用量对 于不同的作物产量的影响效果又有不同 例如 N 肥的施用量对有些农作物产量的影响是 当N肥施 用量较少时 随着N肥用量的增加 农作物的产量 会增加 到一定用量后产量达到最大 然后 当N肥 用量继续增加时 农作物的产量反而会降低 这从 上面的土豆和生菜产量与N肥用量的数据图上也 可以看到这样的规律 而在一定的范围内 P肥和 K肥的用量对农作物产量的影响将随着其用量的增 加而一直增加 只是当P肥和K肥的用量较少时 随 着其用量的增加 农作物产量增加较快 而当P肥和 K肥的用量较多时 随着其用量的增加 农作物产量 增加不大 从上面的土豆和生菜产量与P肥或K肥 用量的数据图上可以看到这样的规律 具有这种特 点的函数关系在数学上用二次多项式就能较好地反 映出来 当然也可以考虑用分段函数来描述 为简 单起见 下面在拟合这些函数时都用二次多项式 在实验数据中 K肥料施用量与生菜产量的实 验数据波动性较大 这种产量与肥料的施用量的关 系在农作物中是很少出现的现象 如果从数据图形 的整体来看 其实K肥料施用量与生菜产量的实验 数据的特点还是与上面所说的情况相似的 其波动 性可看作是实验误差 要利用实验数据来拟合出这些函数关系 显然 如果实验数据越多 数据分布越合理 则拟合的效果 就越好 这样拟合出来的函数 其所反映出来的规 律就越符合实际情况 例如 应当给出充分多的数 据 且这些数据应当是在N P K三种肥料的不同用 量下的产量数据 又比如 应该有这样的数据 当 N P K三种肥料中某两种肥料限制在不同的固定 值时 相应地 第三种肥料取不同值时的产量数据 这样才有可能反映出N P K三种肥料在对农作物 产量的共同影响时的相互影响的规律 但事实上 这里所给出的实验数据非常有限 而且很不均匀 所 以用现有的数据来拟合N P K的施用量与产量之 间的函数关系 并根据这些函数的性质所推断出的 施肥量与产量之间的关系 其可信性是有限的 另外 拟合每一种肥料的施用量与产量的函数 时 其余两种肥料的用量都是限制在一个数值上的 其结果通常也只能得到 当相应的另两肥料的用量 在所限制的数值下的情况 虽然我们得到的结果可能有一定的局限性 但 这里所用到的方法却是处理这类问题的常用方法 从建立模型的角度来说 还是值得讨论的 如果要 想得到更精确的结果 只需要有更多的产量与施肥 量实验数据 再用本文中给出的模型讨论即可 下面首先建立产量与施肥量的函数关系 再利 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 理论研究 李园庭 漆志鹏 胡结梅 经验公式与施肥效果分析的数学模型7 用这些函数来讨论施肥效果 产量与施肥量的函数关系 有两种方式 一种是 对三种肥料施用量与产量分别来拟合相应的函数 这需要拟合三个函数 每个函数都是一元函数 这种 做法可以使拟合的效果较好 另一种是考虑三种肥 料共同对产量的影响 这只需要拟合出一个函数 这 是一个三元函数 且由于数据量偏少且不均匀等的 原因 拟合效果要差一些 但这是讨论肥料施用量与 产量的全局最优解所必须的 下面分别来讨论 1 1 模型1 对三种肥料的用量与土豆和生菜产 量分别拟合相应的函数 讨论一种肥料的用量与产量的关系时 其它两 种肥料的用量都固定在第7种水平 三种肥料的用 量分别是 土豆n 0 7 0 5499 p 0 7 k 0 7 0 5714 生菜n 1 7 0 57149 p 1 7 0 5708 k 1 7 0 5714 先考虑土豆与每一种肥料用量的函数关系 我 们利用所给数据来拟合这些函数关系 如果假设土豆产量与三种肥料 N P K的用量 之间的函数关系分别是 w11 f1 n w12 f2 p w13 f3 k 这些函数的形式 按照上面的讨论 都用二次多 项式 下面是利用实验数据拟合的结果 当P K固定在第7种水平 即p 0 7 k 0 7 0 5714 时 函数w11 f1 n 拟合的结果是 w11 f1 n 75 3222n 2 92 8574n 14 7416 n 0 1 当N K固定在第7种水平 即n 0 7 0 5499 k 0 7 0 5714时 函数w12 f2 p 拟合的结果是 w12 f2 p 16 1179p 2 24 5678p 32 9241 p 0 1 当N P固定在第7种水平 即n 0 7 0 5499 p 0 7 0 5714时 函数w13 f3 k 拟合的结果是 w13 f3 k 29 6463k 2 48 8088k 24 4144 k 0 1 类似地 如果假设生菜与三种肥料N P K之间 的函数关系分别是 w21 g1 n w22 g2 p w23 g3 k 这些函数利用原始数据拟合的结果如下 当P K固定在第7种水平 即p 1 7 0 5708 k 1 7 0 5714时 函数w21 g1 n 拟合的结果是 w21 g1 n 36 5944n 2 39 7175n 10 294 n 0 1 当N K固定在第7种水平 即n 1 7 0 57149 k 1 7 0 5714时 函数w22 g2 p 拟合的结果是 w22 g2 p 25 6089p 2 41 5218p 6 88196 p 0 1 当N P固定在第7种水平 即n 1 7 0 57149 p 1 7 0 5708时 函数w23 g3 k 拟合的结果是 w23 g3 k 0 304688k 2 3 33018k 16 2329 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 2008年9月 第22卷 第3期 理论研究 李园庭 漆志鹏 胡结梅 经验公式与施肥效果分析的数学模型8 k 0 1 如果用上面求出的拟合函数来表示相应的产量 与施肥量的函数关系 从拟合曲线的图形来看 只有 产量与N肥的用量函数有唯一极大值点 其它函数都 不具有这一性质 其规律是 P N的施用量越多 产量 都会增加 如果只从增加产量的角度 就应尽量多施 这两种肥料 但多施肥的同时也会增加购买肥料的费 用 从经济的角度来看 并不一定合算 应综合考虑产 量和施肥的成本因素 以单位面积上的收益 即农作 物的销售收入与施肥的费用之差 为目标函数 以单 位面积的收益最大为最优准则 来确定最优解 1 1 1产量模型 考虑当0 n p k 1时的产量模型 如果只是 追求高产 则只要求出上面拟合出来的函数w1i fi 和w2i g i 1 2 3 的最大值即可 产量 模型的求解可以用微分法求解 也以用MATLAB软 件很容易求出 且只要求N对产量的最大值 因为P 和K的用量取最大值时 相应地土豆和生菜的产量 最大 利用MATLAB软件求解的结果是 当P K固定在第7种水平 即p k p 0 7 k 0 7 0 5714 而N的用量为n1 0 6164 即N的施用 量是290 3244 kg ha 时 土豆的产量最大 最大值 是43 3603 t ha 当P K固定在第7种水平 即p p 1 7 0 5708 k k 1 7 0 5714 而N的用量为n2 0 5427 即N的 施用量是212 7384 kg ha 时 生菜的产量最大 最 大值是21 0062 t ha 1 1 2效益模型 当施用肥料所带来的收入比用于购买肥料的费 用多时 就应该施肥 否则就不应该多施肥 设土豆 和生菜的售价分别是a1和a2 元 t N P和K的售 价分别为b1 b2 b3 元 kg 首先讨论N肥施用量的效益模型 当N肥的用 量是 n kg ha 时 土豆和生菜的产量分别是w1 f1 n 和w2 g1 n 土豆施用肥料的费用是h1 b1n p 0 7b2 k 0 7b3 元 ha 生菜施用肥料的费用是 h2 b1n p 1 7b2 k 1 7b3 元 ha 单位面积上的土豆和生菜因施N肥所增加的收 益分别是 m1 a1 f1 n f1 0 h1 a1 75 3222n 2 92 8574 n b 1n p 0 7b2 k 0 7b3 m2 a2 g1 n g1 0 h2 a2 36 5944n 2 39 7175 n b 1n p 1 7b2 k 1 7b3 于是效益模型就归结为要确定N肥的施用量n 使得收益m1 m2达到最大 利用微分法不难求得最优解是 当n n1 92 8574a1 b1 150 6444a1 时 土豆的最大收 益是 m 3 1 a1 75 3222n 2 1 92 8574n1 b1n1 p 0 7b2 k 0 7b3 元 ha 当n n2 39 7475a2 b 73 1888a2 时 生菜的最大收益是 m 3 2 a2 36 5944n 2 2 39 7175n2 b1n2 p 1 7b2 k 1 7b3 元 ha 同样 对于单位面积上的土豆和生菜因施P肥 或K肥所增加的收益也可以类似地讨论 此处就只 对于单位面积上的土豆和生菜因施P肥所增加的收 益进行讨论 收益函数分别是 m 1 a1 f2 p f2 0 h 1 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 理论研究 李园庭 漆志鹏 胡结梅 经验公式与施肥效果分析的数学模型9 a1 16 1179p 2 24 5678p n 0 7b1 pb2 k 0 7b3 m 2 a2 g2 p g2 0 h 2 a2 25 6089p 2 41 5218p n 1 7b1 pb2 k 1 7b3 利用微分法不难求得最优解是 当p p1 24 5678a1 b2 32 2358a1 时 土豆的最大收益是 m 3 1 a1 f2 p 1 f2 0 h 1 a1 16 1179p 2 1 24 5678p1 n 0 7b1 p1b2 k 0 7b3 元 ha 当p p2 39 7175a2 b2 73 1888a2 时 生菜的最大收益是 m 3 2 a2 g2 p 2 g2 0 h 2 a2 25 6089p 2 2 41 5218p2 n 1 7b1 p2b2 k 1 7b3 元 ha 1 2模型2 将土豆和生菜的产量都看成是N P 和K的三元函数 设w1 f n p k 和w2 g n p k 分别是土 豆和生菜的产量与三种肥料的施肥量之间的函数 这里用2次多项式来拟合这两个函数 下面是用 MATLAB软件求得的结果 利用实验数据在求拟合 函数w1 f n p k 和w2 g n p k 时 发现只出 现n p k及其乘幂项 而没有n p k交叉相乘的项 w1 f n p k 12 82 89 60n 28 79p 47 82k 72 26n 2 20 04p 2 28 73k 2 w2 g n p k 7 496 36 57n 31 24p 16 78k 33 67n 2 16 06p 2 12 79k 2 其中0 n p k 1 拟合效果如下图所示 1 2 1产量模型 易知 产量模型可归结为求函数w1 f n p k 和w2 g n p k 的 最 大 值 用 微 分 法 或 用 MATLAB软件可以求出结果是 当N P和K的取值分别是n 0 62 p 0 72 k 0 83时 土豆的产量最大 最大值是45 1938 t ha 当N P和K的取值分别是n 0 54 p 0 97 k 0 66时 生菜的产量最大 最大值是23 1291 t ha 1 2 2效益模型 同模型1 当施用肥料所带来的收入比用于购 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 2008年9月 第22卷 第3期 理论研究 李园庭 漆志鹏 胡结梅 经验公式与施肥效果分析的数学模型10 买肥料的费用多时 就应该施肥 否则就不应该多施 肥 设土豆和生菜的售价分别是a1和a2 元 t N P 和K的售价分别中b1 b2 b3 元 kg 当N P和K的 用量分别是n p k kg ha 时 土豆和生菜的产量分 别是w1 f n p k 和w2 g n p k 而购买肥料 的费用是h b1n b2p b3 k 元 ha 于是单位面 积上的土豆和生菜因施肥所增加的收益分别是 m1 f n p k f 0 0 0 a1 h f n p k f 0 0 0 a1 b1n b2p b3 k m2 g n p k g 0 0 0 a2 h g n p k g 0 0 0 a2 b1n b2p b3 k 模型归结为 确定n p k的值 使上面两个函数 分别达到最大值 用微分法可求得最优解分别是 当N P和K的取值分别是n1 89 60a1 b1 144 52a1 p1 28 79a1 b2 40 08a1 k1 47 82a b3 57 46a1 时 土豆的产量最 大 最大值是m 3 1 f n1 p1 k1 f 0 0 0 a1 b1n1 b2p1 b3k1 t ha 当N P和K的取值分别是n2 36 57a2 b1 67 34a2 p2 31 24a2 b2 32 12a2 k2 16 78a2 b3 25 58a2 时 生菜的产量 最大 最大值是m 3 2 g n2 p2 k2 g 0 0 0 a2 b1n2 b2p2 b3k2 t ha 2 模型的检验与改进 为了检验效益模型的求解结果 需要知道土豆 和生菜的销售价 还要知道肥料N P K的销售价 不同的N肥价格相差较大 例如 按照当前的市 场价格 碳酸氢铵平均价格为540 元 吨 尿素价 格为1760 元 吨 钾肥的价格也有1700 元 吨 至2420 元 吨 不等的情况 而P肥的价格大致为 400 元 吨 在以下讨论中 我们假设N肥价格为b1 1 76 元 kg P肥的价格为b2 0 4 元 kg K肥的 价格为b3 2 42 元 kg 又设土豆和生菜的批发 价分别为800 元 吨 和400 元 吨 对于模型1的效益模型 利用上面的数据 可求 得单位面积上的土豆和生菜施N肥的最优解结果分 别是 n1 0 6164 m 3 1 2 2892 10 4 元 和n2 0 5426 m 3 2 4 3081 10 3 元 同样 可求得单位面积上的土豆和生菜施P肥 的最优解结果分别是 p1 0 7621 m 3 1 7 4869 10 3 元 和p2 0 8107 m 3 2 6 7296 10 3 元 从求解的结果上可以看到 对于施N肥的效益 模型求解的结果与产量模型的求解结果差别不大 这是因为 在现有的实验数据范围内 肥料的成本相 对于总收益来说很小 例如每公顷面积施用N肥的 成本最多为471 1 76 1000元 相对于总收益来 说可忽略不计 因此 可以认为效益模型的结果与产 量模型的结果相同 这个求解的结果与农民对农作物施肥时的作法 是相符合的 事实上 农民在对农作物施肥时 都是 从考虑如何使农作物的产量达到最大来确定施肥量 的 在模型1中 讨论一种肥料的用量与产量的关 系时 其它两种肥料的用量都固定在第7种水平 模 型求解的结果较合理 但这只是当固定其中某两种 肥料的用量时 考虑施用第三种肥料的施用量的最 优解 而产量与肥料的施用量的全局最优解应当是 模型2的解 通常 对于用拟合方法得到的函数 只有当自变 量在包含实验数据点 这里指自变量部分 的某个 范围 例如 以实验数据点为顶点的所有多面体的 并集 内变化时 拟合函数才可能是较合理的 而对 于自变量在这个实验数据点的范围外变化时的函数 值则不一定合理 例如 模型2在拟合所得到的函数 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 理论研究 李园庭 漆志鹏 胡结梅 经验公式与施肥效果分析的数学模型11 w1 f n p k 12 82 89 60n 28 79p 47 82k 72 26n 2 20 04p 2 28 73k 2 w2 g n p k 7 496 36 57n 31 24p 16 78k 33 67n 2 16 06p 2 12 79k 2 中 常数项的值为负 这是不合理的 因为 f 0 0 0 和 g 0 0 0 表示不施肥时的产量 这些值都应当是 非负才合理 但因为原点 0 0 0 并不在实验数据 的范围内 因此拟合函数的这种情况是可以出现的 这时模型2中的效益模型就需要改进一下 这可以 用两种方法来处理 第一种方法 就是直接将函数f n p k 和g n p k 在原点 0 0 0 的某个小的邻域内的值改为0 即可 也就是分别用 f1 n p k max f n p k 0 g1 n p k max g n p k 0 代替原来的函数f n p k 和g n p k 这样处 理之后 模型2的最优解和最大收益的值不变 第二种方法 因为N P K三种肥料是农作物生 长的基本肥料要素 如果这三种肥料都不施用 农作 物的产量通常会很低 可近似地认为产量为0 因 此 在拟合函数f n p