高等数学解题过程中的变通性思维.pdf

第 23 卷第 6期 Vol 23 No 6 滨州学院学报 Journal of Binzhou University 2007 年 12月 Dec 2007 高等数学解题过程中的变通性思维 收稿日期 2007 05 10 作者简介 窦 慧 1974 女 山东惠民人 讲师 主要从事高等数学教学 泛函微分方程研究 窦 慧 滨州学院 数学与信息科学系 山东 滨州 256603 摘 要 通过对一题多变的求解与思考 引发学生在解题过程中加深对高等数学变通性思维 能力的训练与培养 关键词 高等数学 解题 变通性思维 中图分类号 O 172 文献标识码 A 文章编号 1673 2618 2007 06 0074 03 变通性思维是数学创造性思维的重要部分 在高等数学教学过程中 更要注重创造性思维能力的训 练 通过一题多变 训练思维的变通性 流畅性 独特性 培养学生的习惯性发散思维能力 引发学生一题多 变 不断追求新知 从而达到培养创新能力的目标 在高等数学定积分应用的教学过程中 对平面图形的面积和旋转体体积的计算 通过一题多变 既训 练了学生的变通性思维 又对基础知识的理解和巩固起到了良好的作用 1 问题原型 例 1 2005年考研真题 1 过坐标原点作曲线 y ln x 的切线 该切线与曲线y ln x 及x 轴围成 平面图形 D 1 求 D 的面积 A 2 求 D 绕直线x e 旋转一周所得旋转体的体积 V 解 1 设切点坐标为 x0 ln x0 则 y x x0 1 x0 ln x0 x0 得 x0 e 所以切线方程为 y 1 e x 所 以 A 1 0 e y ey dy e y 1 0 e y2 2 1 0 e 2 1 2 设 y 1 e x x e x 轴所围图形绕直线 x e 旋转一周所得旋转体的体积为 V1 y ln x x e x 轴所围图形绕直线x e 旋转一周所得旋转体的体积为 V2 则 V V1 V2 1 0 r12dy 1 0 r22dy 1 0 e ey 2 dy 1 0 e e y 2dy 5 6 e2 2e 1 2 注 求旋转体体积的关键是求旋转半径 r 而求旋转半径 r 的关键是明确旋转轴 2 问题变型 一 本部分着重讨论旋转轴的变化及推广 旋转轴分别为x 轴 与x 轴平行的直线 y 轴及与y 轴平行的直 线 平面图形绕它们旋转所得旋转体体积的求法 1 平面图形绕 x 轴旋转 旋转半径 r 为平面图形的边界曲线到x 轴的距离 例 2 把抛物线 y 2 4ax a 0 及直线 x x0 x0 0 所围成的图形绕 x 轴旋转 计算所得旋转 第 6 期窦 慧 高等数学解题过程中的变通性思维 体的体积 解 该体积即为曲线 y 4ax x x0及 x 轴所围的图形绕 x 轴旋转所得 因此体积为 V x0 0 r2dx x0 0 y 2 dx x0 0 4ax dx 2a x02 2 平面图形绕与 x 轴平行的直线y y0旋转 旋转半径 r 为平面图形的边界曲线到直线y y0的 距离 例3 过坐标原点作曲线 y ln x 的切线 该切线与曲线y ln x 及x 轴围成平面图形D 求D 绕直 线 y 1 旋转一周所得旋转体的体积 V 解 由例1 得该体积即为由曲线y ln x 直线 y 1 e x 及x 轴所围的图形绕y 1 旋转所得 设 y 1 e x y 1 y 轴及x e所围的图形绕y 1旋转所得旋转体的体积为 V1 x 轴 y 轴 x 1 及y 1所围的图形绕 y 1 旋转所得旋转体积为 V2 y ln x x 1 x e 及 y 1 所围的图形绕 y 1旋转所得旋转体的体积为 V3 则 V V1 V2 V3 e 0 x e 1 2dx 1 0 0 1 2 dx e 1 ln x 1 2 dx 1 3 e 3 平面图形绕 y 轴旋转 旋转半径 r 为平面图形的边界曲线到y 轴的距离 例 4 求由抛物线 y x 2 x y2 围成的图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积 解 y x 2 x y 2 x 1 y 1 所以两抛物线交于 1 1 设 y x 2 y 轴及y 1所围图形绕 y 轴旋转所得 旋转体的体积为 V1 x y 2 y 轴及y 1 所围图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为 V 2 则所求体积为 V V1 V2 1 0 r1 2dy 1 0 r2 2dy 1 0ydy 1 0y 4dy 3 10 4 平面图形绕与y 轴平行的直线x x0旋转 旋转半径 r 为平面图形的边界曲线到直线x x0的 距离 例 1 就是这一类问题 3 问题变型 二 本部分讨论平面图形边界曲线方程含有参数 结合一元函数最值问题的求法 求旋转体体积的最值 问题 例 5 2000年考研真题 设曲线y ax 2 a 0 x 0 与 y 1 x 2 交于点 A 过坐标原点O 和A 的直线与曲线 y ax 2 围成平面图形D 问a为何值时 该图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积最大 最大 体积是多少 解 当 x 0时 由 y ax 2 y 1 x 2解得x 1 1 a y a 1 a 故直线 OA 的方程为y ax 1 a 所 以旋转体体积为 V 1 1 a 0 r12 r22 dx 1 1 a 0 a2x 2 1 a a2x 4 dx 2 15 a2 1 a 5 2 a 0 dV da a 4 a 15 1 a 7 2 a 0 令dV da 0 并由 a 0得唯一驻点 a 4 由题意知此旋转体在 a 4时体积取得最 大值 其最大值为 V 32 5 1 875 例 6 2002 年考研真题 设 D1是由抛物线 y 2x 2 和直线 x a x 2 及 y 0 所围成的平面区 75 滨州学院学报第 23卷 域 D2是由抛物线 y 2x 2 和直线 x a 及y 0 所围成的平面区域 其中 0 a 2 1 试求 D1绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 V1 D2绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积 V2 2 a 为何值时 V1 V2取得最大值 试求此最大值 解 1 V1 2 a 2x 2 dx 4 5 32 a 5 V 2 2a2 0 a 2dy 2a2 0 y 2 dy a 4 2 V V1 V2 4 5 32 a 5 a4 所以dV da 4 a 3 1 a 令dV da 0 在 0 2 内 a 1 且当 0 a 0 当 1 a 2 时 dV da 0 因此 a 1是极大值点 即最大值点 此时 V V1 V2取 得最大值 为129 5 例 7 2 设抛物线y ax 2 bx c通过点 0 0 且当 x 0 1 时 y 0 试确定a b c的值 使得 抛物线 y ax 2 bx c 与直线x 1 y 0所围图形的面积为 4 9 且使该图形绕 x 轴旋转而成的旋转体 的体积最小 解 由抛物线 y ax 2 bx c 过点 0 0 可得 c 0 抛物线 y ax 2 bx c与直线x 1 y 0 所围图形面积为 S 1 0 ax 2 bx dx a 3 b 2 4 9 所以 a 4 3 3 2 b 该图形绕 x 轴旋转而成 旋转体的体积为 V 1 0 ax 2 bx 2dx 30 b a 2 2 9 因此 当 b 2时 体积最小 此时a 5 3 抛物线 y 5 3 x 2 2x x 3 6 5x 在区间 0 1 上 此抛物线满足y 0 故所求解 a 5 3 b 2 c 0符合题目要求 注 求旋转体体积最值时 常用一元函数极值的必要条件和充分条件 用第一充分条件还是用第二充 分条件 要视题目而定 通过一题 对其进行变通 得到这类常见问题的解答 从而可以培养学生的创造性思维 巩固基础 知识 参 考 文 献 1 张天德 张全信 8 年考研 3 年模拟 M 北京 新华出版社 2006 2 同济大学应用数学系 高等数学 第 5版 M 北京 高等教育出版社 2002 Alternative Thingking in the Problem Solving on Higher Mathematics DOU Hui Dep artment of Mathematics and Inf ormation Science Binzhou University Binzhou 256603 China Abstract In this paper by a topic changeable solution and the ponderation we hope it ca