武汉科技大学_信号与系统习题精解第3章.pdf

57 第第 3 3 3 3 章章 时域连续信号的复频域分析时域连续信号的复频域分析 3 13 13 13 1学习要点学习要点 1 拉普拉斯变换的定义 st F sf t edt 3 1 1 2 j st j f tF s e ds j 3 2 式 3 1 和 3 2 称为双边拉普拉斯变换对或复傅里叶变换对 0 st F sf t edt 3 3 1 2 j st j f tF s e ds u t j 3 4 式 3 3 和 3 4 称为单边拉普拉斯变换对 通常用下列符号分别表示 即 F sL f t 3 5 f t 1 L F s 3 6 也可用双箭头表示 f tF s 复变函数 F s称为 f t的象函数 时间函数 f t称为 F s的原函数 Laplace 变换则建立了连续信号时域和复频域 s域 间的联系 2 拉普拉斯变换的收敛域 对于单边信号 f t 当 t时 若存在一个 0 值使得 0 时 t f t e 的极限 等于零 则 t f t e 在 0 的全部范围内满足绝对可积 Laplace 变换存在 这一关系可 表示为 lim 0 t t f t e 0 3 7 0 与 f t的特性有关 它给出了 Laplace 变换存在的条件 一般而言 F s的收敛域 如图 3 1 所示 在以 为横坐标 j 为纵坐标的s平面上 这一区域称为 Laplace 积分的 收敛域或象函数 F s的收敛域 横坐标 0 称为收敛坐标 直线 0 称为收敛轴 而双 边 Laplace 变换可以看成两个单边 Laplace 变换的叠加 其收敛域一般有两个有限边界 一 58 个边界决定于0 t时的 1 f t 是收敛域的左边界 用 表示 另一个边界决定于0 有公共收敛域 双边 Laplace 变 换存在 反之 双边 Laplace 变换就不存在 j 0 O 收 敛 域 图 3 1 单边 Laplace 变换收敛域 一般而言 1 凡是定义在有限区间上的能量信号 不管 取何值 都能使信号的 Laplace 变换 存在 其收敛域为整个s平面 2 如果信号是等幅信号或等幅振荡信号 如阶跃信号 正弦信号 只要乘以衰减因 子 t e 0 就可以使之收敛 因此其收敛域为s右半平面 3 对于任何随时间成正比的t的正幂次信号 其增长速度比指数信号要慢得多 对 其乘以衰减因子 t e 0 也可收敛 因此其收敛域也是s右半平面 4 对于指数信号 at f te u t 在s平面的 a区域可收敛 而对于一些比指数 阶函数增长快的非指数阶函数 如 t t u t 2 t e u t信号 不存在相应的衰减因子 t e 故其 Laplace 变换不存在 3 常用信号的 Laplace 变换 表 3 1 常用信号的 Laplace 变换 序号单边信号 f tLaplace 变换 F s收敛域 1 t 1Re s 2 n t 1 2 n sn Re s 3 u t 1 s Re 0s 59 4 at eu t 1 sa Re sa 5 n t u t n为正整数 1 n n s Re 0s 6 at teu t 2 1 sa Re sa 7 nat t eu t 1 n n sa Re sa 8 jt eu t 1 sj Re 0s 9 sin t u t 22 s Re 0s 10cos t u t 22 s s Re 0s 11sin at et u t 22 sa Re sa 12cos at et u t 22 sa sa Re sa 4 拉普拉斯变换的基本性质 表 3 2 单边拉普拉斯变换的性质 序 号 名称结论 1 线性 11221122 a f ta f ta F sa F s 2 尺度变换 1 s f atF aa 0a 3 时移 0 00 st f tttteF s 4 复频移 0 0 s t f t eF ss 5 时域卷积 1212 f tf tF s F s 60 6 复频域卷积 1212 1 2 f tf tF sF s j 7 时域微分 0 df t sF sf dt 12 1 0 0 0 n nnnn n dft s F ssfsff dt 8 时域积分 1 1 0 t fF s ftfd ss 1 1 1 0 n nm nn m m F s ftf ss 1 2 n 9 复频域微分 dF s tf t ds n n n d F s tf t ds 10 复频域积分 s f t Fd t 11 初值定理 0 0 lim lim ts ff tsF s 12 终值定理 0 lim lim ts ff tsF s 6 拉普拉斯反变换 1 查表法 表 3 3 单边 Laplace 变换表 序号 F s 0f t t 11 t 2 1 2 n sn n t 3 1 s u t 4 0 b sa 0 at b e 61 5 22 s sin t 6 22 s s cos t 7 22 s sinh t 8 22 s s cosh t 9 22 s sin t et 10 22 s s cos t et 11 22 s sinh t et 12 22 s s cosh t et 13 1 n s 1 1 1 n t n 14 10 2 bsb s 01 b tb 15 10 2 bsb sa 011 at bba tb e 16 1 nsa 1 1 1 nat te n 17 10 22 bsb s sin t Aet 其中 01 j bbj Ae 18 10 bsb s sa 0 1 at bb b e aa 62 19 10 bsb ss 0101 tt bbbb ee 20 222 1 ss 3 1 sin tt 21 222 1 s 3 1 sin cos 2 ttt 22 222 s s 1 sin 2 tt 23 2 222 s s 1 sin cos 2 ttt 24 22 222 s s cos tt 25 1 1 sT e 0 n tnT 2 部分分式展开法 如果象函数 F s是s的有理分式 它可写为 1 110 1 110 mm mm nn n b sbsbsb F s sasa sa 3 8 式 3 8 中 各系数 0 1 0 1 ij a in bjm 均为实数 为简便且不失一般性 设 1 n a 若mn 可用多项式除法将象函数 F s分解为有理多项式 P s与有理真分式之 和 即 B s F sP s A s 3 9 式 3 9 中 B s的幂次小于 A s的幂次 例如 63 32 2 271063412 12 12 32 1 2 12 ssss F sss ssssss 由于 1 L 1 t 1 L st 故式 3 4 2 中多项式 P s的 Laplace 反变换由冲激 函数及其各阶导数组成 容易求得 下面讨论象函数为有理真分式的情况 部分分式展开的第一步是把分母 A s进行因式分解 第二步是根据极点的类型 分别 求取待定系数 下面分别讨论极点为单实根 共轭复根和多重根时待定系数的求解方法 1 0A s 的所有根均为单实根 如果方程 0A s 的所有n个单实根 12 n ppp 互不相等 那么根据代数理论 F s 可分解为以下形式 12 12 n n KKKB s F s A sspspsp 3 10 式 3 10 中 12 n K KK 为待定系数 可见 只要将待定系数 i K求出 由 1 L 1 i p t i e sp 并利用线性性质 可得 F s的原函数 12 12 1 ni n p tp tp tp t ni i f tK eK eK eK e u t 3 11 求待定系数 i K时 将式 3 10 两边各项同成以因子 i sp 再令 1 2 i sp in 等 式右边仅留下 i K项 有 i ii sp B s Ksp A s 3 12 2 0A s 具有共轭复根且无重复根 如果方程 0A s 具有共轭复根且无重复根 可比照 0A s 的所有根均为单实根的 情 形 来 进 行 Laplace 反 变 换 但 计 算 复 杂 简 便 实 用 的 方 法 是 将 二 项 式 因 子 22 4 sbscbc 3 19 jt F jf t edt 3 20 设拉普拉斯变换的收敛域为 0 Re s 依据收敛坐标 0 的值可分为以下三种情况 1 0 0 函数 f t的傅里叶变换不存在 2 0 0 求 1 1 t a t f tef a 的象函数 1 F s 2 2 at t f tef a 的象函数 2 F s 解 解 1 方法 1 先频移后尺度 1 t aa f tef tF sF s 11 1 aa t f tfF saF asaF as a 方法 2 先尺度后频移 bb t f tfF saF as a 11 11 1 t a bb f tef tF sF saF a saF as aa 2 方法 1 先尺度后频移 aa t f tfF saF as a 2 2 atat aa t f tefef tF saaF a saaF asa a 方法 2 先频移后尺度 由于 2 2 t a at a tt f tefef aa 2 2 a t bb f tef tF sF sa 2 22 bb t f tfF saF asaF asa a 例例 2 2 2 2 计算例 2 图所示各信号的 Laplace 变换 67 o t 2 E 1 f t o t 12 1 2 f t 1 3 1 2 例 2 图 解 解 1 由 1 2 2 E f tu tu tu t 利用积分性质可得 22 1 22 12 1 sss EE F seee ss 2 2 f t是周期为 2 的 单边 周期函数 其第一周期的函数及变换为 2 1 2 u tu tu t 22 11 12 1 sss eee ss 因此 2 2 2 2 11 1 1 11 1 1 1 1 1 s s s ss s s F se se e see e se 例例 3 3 3 3 计算下列函数的单边 Laplace 反变换 1 32 1 2 1 ss F s ss 2 2 29 9 s ses F s s s 3 ln 9 s F s s 解 解 1 32 14513 22 2 1 1 1 12 sss F sss ssssss 2 2 3 tt f ttte u teu t 2 22222 292912 9 9 9 99 sss seseses F s s sss ssss 12 sin3 1 1 1cos3sin3 33 f ttu ttt u t 3 lnlnln 9 9 s F sss s 68 9 11 1 9 t F seu ttf t ss 9 1 1 t f teu t t 3 33 33 33 3习题精解习题精解 1 求下列函数的拉普拉斯变换并注明收敛区 1 1 1 t eut 32 2 21ttut 3 cos t etu t 2 4 t teu t 2 5 t teut 解 1 11 1 1 1 1 1 ss ss tuetue tt LL 收敛域为 0 max 4 3 34 34 23 64146 1 2 2 3 12 2 s ss sss sss tutt L 收敛域为0 22 3 cos coscossinsin cossin t t etu t ettu t s s L L 收敛域为 2 1 2 1 1 4 2 s s s tuet t L 收敛域为2 69 2 2 2 1 5 s tute t L 收敛域为2 2 利用拉普拉斯变换性质 求下列信号的拉普拉斯变换 sin 1 ttuttf 1 sin 2 tututtf 2 3 tututtf 2cos 4 33 tuttettf t 解 1 因为 2 1 sin 1 t s 利用复频域微分性质 有 222 12 sin 1 1 ds tt ds ss 即 22 2 1 s F s s 2 1 1 sin sin tutttutf 3 2 2 2 2 tututttutf ss e s e ss sF 22 22 211 4 因为 2 22 4 cos2 4 s tt s 2 4 3 t s 根据拉普拉斯变换时域频移性质 有 2 422 6 3 4 3 4 s F s ss 3 求下列函数的拉普拉斯反变换 1 1 1 2 s ee ss s e 1 1 2 2 1 3 s e s 解 1 111 1 2 s e s e s sF ss 222222 1 s e e ss sF s s 70 根据时延性质 2 将 sF整理成 sT e sF 1 1 周期形式 s s s e e e sF 2 1 1 1 1 又 1 1 1 tte s L 则 tf是第一周期单个函数为 1 tt 周期2 T的周期函数 所以 1 3 2 1 0 kt tttttf k k 3 因为 2 11 111 sss eee F sF sF s sss 由卷积定理知 11 tftftf 其中 1 1 1 1 tutusFtfL 所以 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 tuttutttu tuttuttutttu tutttutt tututututf 4 用部分分式法求下列函数的拉普拉斯反变换 2 1 24 1 2 ss ss sF 3 2 1 4 2 ss sF 9 93 3 2 ss s sF 134 102 4 2 ss s sF 解 1 由于 sF中2 nm 首先用长除法运算得 2 1 1 2 1 24 2 ss s ss ss sF 2 1 111 1 2 1 2 1 tuetuetue s e s e s tf ttt ss L 71 对真分式展开成部分分式 21 2 1 21 s k s k ss s sD sN 其中1 2 1 1 1 1 s s s s sD sN sk 2 1 2 2 2 2 s s s s sD sN sk 则原式为 2 2 1 1 1 ss sF 所以 2 2 tt f tteeu t 2 原式展开成部分分式 2 4 2 4 2 4 1 4 2 1 4 233 ssssss sF 所以 2222 4244 tttt f tet eteeu t 3 99 31 9 93 222 s s ssss s sF 1sin3cos3 f ttt u t 4 22222 3 2