近代博弈论的开山鼻祖——天才数学家纳什.pdf

中学生数 学 2 0 1 5 年 8月上 第 5 1 9期 高中 论 的 开 山 鼻 祖 天 才 上海 市 城市科 技 学校 2 O 1 6 2 O 邵红 能 纳 什 的 传 奇 经 历 被 人 们 津 津 乐 道 在 幼 年 他 便 展 露 出在 数 学 b 面 的 天 赋 刚2 0岁 出 头 就 获 得 普 林 斯 顿 大 学 数 学 博 士 学 位 少 年 成 名 却 在 巅 峰 时 期 患 上 了 精 神 分 裂 症 从 此 与 病 魔 展 Y t 了 长 达 数 十 年 的 斗 争 在 妻 子 不 离 不 弃 的 陪 伴 下 纳 什 终 于 奇 迹 般 地 逐 渐 康 复 并 于 1 9 9 4年 获 得 诺 贝 尔 经 济 学 奖 纳 什 现 为 普 林 斯 顿 大 学 数 学 系 教 授 美 国 科 学 院 院 士 其 主 要 研 究 领 域 为 博 弈 理 论 同 时 在 代 数 簇 理 论 黎 曼 几 何 抛 物 和 椭 圆 型 方 程 上 取 得 了 一 些 突 破 纳 什 写 的 文 章 不 多 仅 仅 几 篇 但 已经 足 够 了 因 为 都 是 精 品 中 的精 品 1 9 2 8年 6月 l 3 日约 翰 纳 什 J o h n F Na s h 出 生 于 在 美 国 西 弗 吉 尼 亚 州 的 一 个 中 产 家 庭 父 亲 是 阿 巴 拉 契 亚 电 力 现 为 美 国 电 力 公 司 的 工 程 师 母 亲 同 样 受 过 良 好 教 育 做 过 教 师 因 此 纳 什 从 小 生 活 在 一 个 充 满 爱 心 的 温 暖 家 庭 纳 什 的 才 华 在 小 学 四 年 级 就 显 露 出 来 不 过 他 的 数 学 成 绩 只 有 B一 纳 什 的 老 师 告 诉 他 的 母 亲 说 他 不 怎 么 懂 得 做 功 课 但 母 亲 很 清 楚 孩 子 已 经 找 到 自 己 的 方 式 去 解 决 问 题 更 多 的 例 子 随 之 而 来 特 别 是 高 中 阶 段 当 老 师 好 不 容 易 才 作 出 一 个 勉 强 的 冗 长 的 证 明 纳 什 却 只 用 两 三 步 就 能 解 决 问 题 中 学 毕 业 后 纳 什 进 入 了 匹 兹 堡 的 卡 耐 基 梅 隆 大 学 学 习 之 后 又 进 入 卡 耐 基 技 术 学 院 化 学 工 程 系 1 9 4 8年 大 三 的 纳 什 同 时 被 美 国 顶 尖 级 高 校 哈 佛 普 林 斯 顿 芝 加 哥 和 密 执 安 大 学 录 取 而 普 林 斯 顿 大 学 则 表 现 得 更 加 热 情 当 数 学 系 主 任 莱 夫 谢 茨 感 到 纳 什 的 犹 豫 时 就 立 即 写 信 敦 促 他 选 择 普 林 斯 顿 这 促 使 纳 什 接 受 了 一 份1 1 5 0美 元 的 奖 学 金 由 于 这 一 笔 优 厚 的 奖 学 金 以及 与 家 乡 较 近 的 地 理 位 置 纳 什 选 择 了普 林 斯 顿 来 到 爱 因 斯 坦 当 时 生 活 的 地 方 在 此 纳 什 显 露 出 对 拓 扑 代 数 几 何 博 弈 论 和 逻 辑 学 的 浓 厚 兴 趣 在 普 林 斯 顿 大 学 读 博 士 时 纳 什 凭 借 一 篇 关 于 非 合 作 博 弈 的 博 士 论 文 和 其 他 相 关 文 章 确 立 了他 博 弈 论 大 师 的 地 位 1 2 O世 纪 5 o年 代 末 纳 什 已是 闻 名 世 界 的 科 学 家 了 特 别 在 经 济 博 弈 论 领 域 他 做 出 了 划 时 代 的 贡 献 纳 什 均 衡 的 概 念 在 非 合 作 博 弈 理 论 中 起 着 核 心 的 作 用 后 续 的 研 究 者 对 博 弈 论 的 贡 献 都 是 建 立 在 这 一 概 念 之 上 的 1 9 5 0年 纳 什 获 得 美 国 普 林 斯 顿 高 等 研 究 院 的 博 士 学 位 他 那 篇 仅 仅 2 7 页 的 博 士 论 文 中 有 一 个 重 要 发 现 这 就 是 后 来 被 称 为 纳 什 均 衡 的 博 弈 理 论 纳 什 均 衡 的 诞 生 标 志 着 博 弈 论 的 新 时 代 开 始 1 1 9 5 0年 纳 什 把 自 己 的 研 究 成 果 撰 写 成 题 为 非 合 作 博 弈 的 长 篇 博 士 论 文 当 年 1 1 月 刊 登 在 美 国 全 国科 学 院 每 月 公 报 上 立 即 引 起 轰 动 纳 什 均 衡 首 先 是 指 个 人 理 性 与 集 体 理 性 的 冲 突 各 人 追 求 利 己 行 为 而 导 致 的 最 终 结 局 也 是 对 所 有 人 都 不 利 的 结 局 其 次 纳 什 均 衡 是 一 种 非 合 作 博 弈 均 衡 在 现 实 中 非 合 作 的 情 况 要 比合 作 情 况 普 遍 纳 什 均 衡 的 提 出 和 不 断 完 善 为 博 弈 论 广 泛 应 用 于 经 济 学 管 理 学 社 会 学 政 治 学 军 事 科 学 等 领 域 奠 定 了 坚 实 的 理 论 基 础 生 活 中 常 见 的 价 格 战 博 弈 污 染 博 弈 贸 易 自 由 与 壁 垒 这 三 种 现 象 可 以 用 来 清 晰 直 观 地 理 解 纳 什 均 衡 纳 什 是 一 个 天 才 数 学 家 他 的 主 要 贡 献 是 在 普 林 斯 顿 读 博 士 学 位 时 做 出 的 然 而 他 的 天 才 发 现 非 合 作 博 弈 的 均 衡 即 纳 什 均 衡 并 不 是 一 帆 风 顺 的 1 9 4 8年 纳 什 来 到 普 林 斯 顿 大 学 那 一 年 他 不 到2 O岁 当 时 普 林 斯 顿 可 谓 人 杰 地 灵 大 师 如 云 爱 因斯 坦 冯 诺 依 曼 列 夫 谢 茨 数 学 系 主 任 等 全 都 在 这 里 其 实 博 弈 论 的 主 体 架 构 是 由 冯 诺 依 曼 所 创 立 的 早 在 2 0世 纪 初 塞 梅 Z e r me l o 鲍 罗 B o r e 1 和 冯 诺 伊 曼 已经 开 始 研 究 博 弈 的 准 确 的 数 学 表 达 直 到 1 9 3 9年 冯 诺 依 曼 遇 到 经 济 学 家 奥 斯 卡 摩 网址 Z X S S c b p t c n k i n e t 2 9 电 子 邮 箱 zxss ch inajou rna1 net cn 6 中学生数学 2 0 1 5年 8月上 第 5 1 9 期 高中 根 斯 特 恩 并 与 其 合 作 才 使 博 弈 论 进 入 广 阔 的 经 济 学 领 域 什 么 是 纳 什 均 衡 博 弈 性 质 的 问 题 研 究 可 以 追 溯 到 1 9世 纪 甚 至 更 早 2 0 0 0多 年 前 中 国著 名 军 事 家 孙 武 的 后 代 孙 膑 利 用 博 弈 论 方 法 帮 助 田 忌 赛 马 取 胜 属 于 早 期 的 博 弈 论 其 特 点 是 零 星 的 片 断 的 偶 然 性 大 不 系 统 1 9 4 4年 冯 诺 依 曼 与 奥 斯 卡 摩 根 斯 特 恩 合 著 的 巨作 博 弈 论 与 经 济 行 为 出 版 标 志 着 现 代 系 统 博 弈 理 论 的初 步 形 成 其 中 合 作 型 博 弈 在 2 O世 纪 5 0年 代 达 到 了 巅 峰 期 然 而 其 局 限 性 也 日 益 暴 露 出 来 这 表 现 在 它 过 于 抽 象 应 用 范 围 极 有 限 在 很 长 时 间 里 人 们 对 博 弈 论 的 研 究 知 之 甚 少 它 只 是 少 数 数 学 家 的 专 利 正 是 在 这 个 时 候 非 合 作 博 弈 纳 什 均 衡 应 运 而 生 了 它 标 志 着 博 弈 论 的 新 时 代 的 到 来 纳 什 当 时研 究 的 博 弈 论 正 是 一 门 以 各 种 博 弈 为 研 究 对 象 的应 用 数 学 分 支 1 9 5 0年 后 纳 什 的 两 篇 关 于 非 合 作 博 弈 论 的 重 要 论 文 彻 底 改 变 了 人 们 对 竞 争 和 市 场 的 看 法 他 证 明 了 非 合 作 博 弈 及 其 均 衡 解 并 证 明 了 均 衡 解 的 存 在 性 从 而 揭 示 了 博 弈 均 衡 与 经 济 均 衡 的 内 在 联 系 纳 什 的 研 究 奠 定 了 现 代 非 合 作 博 弈 论 的基 石 后 来 的 博 弈 论 研 究 基 本 上 都 沿 着 这 条 主线 展 开 的 然 而 纳 什 天 才 的 发 现 却 遭 到 冯 诺 依 曼 的 断 然 否 定 在 此 之 前 他 还 受 到 爱 因 斯 坦 的 冷 遇 然 而 骨 子 里 挑 战 权 威 藐 视 权 威 的 本 性 使 纳 什 坚 持 了 自 己 的 观 点 终 成 一 代 大 师 要 不 是 3 O多 年 的 严 重 精 神 病 折 磨 恐 怕 他 早 已 站 在 诺 贝 尔 奖 的 领 奖 台 上 了 而 且 也 绝 不 会 与 其 他 人 分 享 这 一 殊 荣 纳 什 毕 竟 是 一 位 英 才 天 纵 的 非 凡 人 物 他 广 泛 涉 猎 数 学 王 国 的 每 一 个 分 支 如 拓 扑 学 代 数 几 何 学 逻 辑 学 博 弈 论 等 深 深 地 为 之 着 迷 他 经 常 显 示 出 与 众 不 同 的 自 信 和 自 负 充 满 咄 咄 逼 人 的 学 术 野 心 1 9 5 0年 夏 天 纳 什 忙 于 应 付 紧 张 的 考 试 他 的 博 弈 论 研 究 工 作 被 迫 中 断 感 到 这 是 莫 大 的 浪 费 殊 不 知 这 种 暂 时 的 放 弃 使 原 来 模 糊 杂 乱 和 无 绪 的 若 干 念 头 在 潜 意 识 的 持 续 思 考 下 逐 步 形 成 一 条 清 晰 的 脉 络 突 然 来 了 灵 感 这 一 年 的1 0月 他 骤 感 才 思 潮 涌 妙 笔 生 花 纳 什 认 为 只 有 学 习 数 学 才 能 令 他 重 新 发 现 自 己 他 被 财 富 周 刊 评 为 最 耀 眼 的 新 生 数 学 家 纳 什 的 行 事 原 则 是 正 确 地 提 出 问 题 然 后 找 到 唯 一 的 解 决 之 道 他 的 第 一 项 科 学 研 究 即 是 对 在 现 代 经 济 学 中 具 有 里 程 碑 意 义 的 博 弈 论 的 研 究 纳 什 没 有 因 为 获 得 了 诺 贝 尔 奖 就 放 弃 他 的研 究 在 诺 贝 尔 奖 得 主 自传 中 他 写 道 从 统 计 学 看 来 没 有 任 何 一 个 已 经 6 6岁 的 数 学 家 或 科 学 家 能 通 过 持 续 的 研 究 工 作 在 他 或 她 以 前 的 成 就 基 础 上 更 进 一 步 但 是 我 仍 然 继 续 努 力 尝 试 由于 出 现 了 长 达 2 5年 部 分 不 真 实 的思 维 相 当 于 提 供 了 某 种 假 期 我 的 情 况 可 能 并 不 符 合 常 规 因 此 我 希 望 通 过 目前 的 研 究 成 果 或 以 后 出 现 的 任 何 新 鲜 想 法 取 得 一 些 有 价 值 的 成 果 纳 什 以往 被 学 界 熟 知 是 因 博 弈 论 现 在 公 众 熟 知 纳 什 则 要 归 功 于 电 影 美 丽 心 灵 在 中 国 令 人 难 忘 的 是 纳 什 主 要 的 三 次 之 行 第 一 次 2 0 0 2年 8月 1 2 日下 午 诺 贝 尔 经 济 学 奖 博 弈 论 创 始 人 著 名 天 才 数 学 家 纳 什 到 达 中 国 北 京 参 加 第 2 4届 国 际 数 学 家 大 会 并 在 北 京 国 际 会 议 中 心 作 题 为 通 过 代 理 来 研 究 博 弈 中 的 合 作 的公 众 报 告 第 二 次 2 0 0 5年 6月 1 日 晚 诺 贝 尔 北 京 论 坛 在 故 宫 东 侧 菖 蒲 河 公 园 内 的 东 苑 戏 楼 闭 幕 热 闹 的 晚 宴 结 束 后 纳 什 没 有 搭 乘 主 办 方 安 排 的 专 车 而 是 一 个 人 夹 着 文 件 夹 走 出 了东 苑 戏 楼 他 像 一 个 普 通 老 人 一 样 步 行 穿 过 菖 蒲 河 公 园 然 后 绕 到 南 河 沿 大 街 路 西 的 人 行 横 道 上 等 待 红 绿 灯 绿 灯 亮 起 老 人 隅 隅 独 行 的 背 影 在 暮 色 中 渐 行 渐 远 终 于 消 失 不 见 第 三 次 2 0 0 8年 1 3 日晚 上 约 翰 纳 什 在 青 岛 接 过 了 青 岛 大 学 校 长 徐 建 培 授 予 他 的 青 岛 大 学 名 誉 教 授 的 证 书 以 及 刻 有 纳 什 英 文 名 字 的 水 晶 印 章 要 了解 纳 什 的 贡 献 首 先 要 知 道 什 么 是 非 合 作 博 弈 问 题 博 弈 论 毕 竟 是 数 学 更 确 切 地 说 是 运 筹 学 的 一 个 分 支 谈 经 论 道 自然 少 不 了 数 学 语 言 外 行 人 看 来 只 是 一 大 堆 数 学 公 式 好 在 博 弈 论 关 心 的 是 日常 经 济 生 活 问 题 下转 第 3 1页 网址 z x s s c b p t c n k i n e t 3 0 电 子 邮 箱 zxss chinajourna1 n et cr1 1 6 中学生数学 2 0 1 5 年 8月上 第 5 1 9期 高中 一道数 学竞赛题的推广 江苏省兴化 中学 2 2 5 7 0 0 枨乃责 2 0 1 4年全 国高 中数 学联 赛 江 苏赛 区初 赛 试题 第 9题 设 集 合 S一 1 2 3 8 A B 是 S的 两个非 空 子集 且 A 中的最 大数 小 于 B 中的最小数 则这样的集合对 A B 的个数是 可以将这个题 目推广为 设集 合 S 1 2 3 N 2 A B 是 S 的两 个非 空 子集 且 A 中的最 大 数小于 B 中的最小数 则这样 的集合对 A B 的个数是 2 2 2 一 1 分 析与 证 明 当集 合 A 中的 最 大 元 素 为 k 1 愚 一1 时 集合 A 的其余元素可在 1 2 k 一1中任取若干个 也可以不取 所以集合 A共 有 C 一 C 一 C 2 一 C l 二 一2 个 此时 集合 B 的元 素只能在 k十1 k 2 咒中任取若干个 至少取 1 个 所 以集合 B 共 有 C 一 C 一 C 一 C 二 一2 一 一 1 个 所 以 当集合 A 中的最大元 素为 k时 集 合 对 A B 共 有 2 卜 2 一 一 1 一2 一 一 2 卜 对 当 k依次取 1 2 3 一1时 可分别得 到集合 对 A B 的个 数 所 以 厂 一 7 一1 2 一 一 2 2 2 2 一 一 一2 2 一 1 责审 李延林 上 接 第 3 0页 其 实 这 一 理 论 是 从 棋 弈 扑 克 和 战 争 等 带 有 竞 赛 对 抗 和 决 策 性 质 的 问 题 中 借 用 的 术 语 听 上 去 有 点 玄 奥 实 际 上 却 具 有 重 要 现 实 意 义 很 多 人 来 说 数 学 家 可 能 是 遥 不 可 及 的 存 在 他 们 醉 心 于那 个 由各 种 抽 象 符 号 组 成 的 世 界 而 似 乎 离 现 实 很 远 很 远 那 么 纳 什 属 于 数 学 家 的 一 面 又 是 如 何 呢 这 人 是 个 天 才 这 就 是 纳 什 的 硕 士 导 师 给 他 写 的 推 荐 信 只 有 一 句 话 的 推 荐 信 2 0世 纪 5 0年 代 美 国 麻 省 理 工 学 院 的 数 学 家 纽 曼 对 纳 什 有 这 样 的 评 价 其 他 人 通 常 会 在 山 上 寻 找 攀 登 顶 峰 的 道 路 纳 什 干 脆 爬 上 另 外 一 座 山 再 反 过 来 从 那 个 遥 远 的 山 峰 用 探 照 灯 照 射 这 座 山 7 0 8 0年 代 普 林 斯 顿 大 学 的 学 生 和 学 者 们 总 能 在 校 园 里 看 见 一 个 非 常 奇 特 消 瘦 而 沉 默 的 男 人 在 徘 徊 他 穿 着 紫 色 的 拖 鞋 偶 尔 在 黑 板 上 写 下 数 字 命 理 学 的 论 题 他 被 称 为 幽