武汉科技大学_信号与系统习题精解第1章.pdf

1 第第 1 1 章章 信号信号及信号的时域分析及信号的时域分析 1 1本章要点 本章在时域范围内讨论信号的分类和信号的基本运算 通过本章的学习 读者应该了解 信号的各种分类 定义及相关波形 了解各类常用信号及其性质 掌握几种奇异信号的特性 及运算方法 了解和掌握信号的基本运算方法 深刻理解卷积与输入 输出信号和系统之间 的物理关系及其性质 为后续课程打下牢固的基础 1 信号的分类 1 连续信号与离散信号 一个信号 如果在连续时间范围内 除有限个间断点外 有定义 就称该信号在此区间 内为连续时间信号 简称连续信号 仅在离散时间点上有定义的信号称为离散时间信号 简 称离散信号 2 确定信号与随机信号 确定信号是指能够以确定的时间函数表示的信号 即给定某一时间值 就能得到一个确 定的信号值 随机信号是时间的随机函数 即给定某一时间值 其函数值并不确定的信号 3 周期信号与非周期信号 对于连续信号 tf 若存在0 T 使得 tfrTtf r为整数 则称 tf为周 期信号 对于离散信号 nf 若存在大于零的整数N 使得 nfrNnf r为整 数 则称 nf为周期信号 不满足周期信号定义的信号称为非周期信号 几个周期信号相加而成的信号的周期问题 几个周期信号相加 所产生的信号可能是周期信号 也可能是非周期信号 这主要取决 于几个周期信号的周期之间是否存在最小公倍数 0 T 以周期分别为 1 T 2 T 角频率分别为 21 的两个信号相加产生的信号 tf为例 如果 2 1 1 2 2 1 n n T T 有理数 21 n n均为整数 则 tf为周期信号 其周期 0 T为 2 2 1 122110 22 nnTnTnT 1 1 离散正 余 弦信号的周期问题 时域连续的正 余 弦信号一定是周期信号 但时域离散的正 余 弦信号不一定是周 期信号 要求周期 N 为正整数 例如 n 5 2 sin为周期信号 周期 N 为 5 n 5 2 sin为非周 期信号 因为 5不是整数 4 能量信号与功率信号 2 归一化能量为有限值 归一化功率为零的信号为能量信号 即满足 W0 0 P 归一化功率为有限值 归一化能量为无限大的信号为功率信号 即满足 W P0 一般 周期信号为功率信号 5 实信号与复信号 在各时刻t 或n 上的信号幅值为实数的信号为实信号 信号幅值为复数的信号称为 复信号 2 常用连续信号及其性质 1 单位阶跃信号用 tu表示 定义为 00 01 t t tu 1 2 2 单位冲激信号用 t 表示 其狄拉克 Dirac 定义为 0 0 1 tt dtt 1 3 冲激信号的性质 1 筛选性 0 tfttf 1 4 000 tttftttf 1 5 2 取样性 0 0 0 fdttfdttfdtttf 1 6 000000 tfdttttfdttttfdttttf 1 7 3 尺度变换 t a at 1 1 8 t aa at 11 1 9 以及 at 的 n 阶导数为 t aa at n n n 11 1 10 4 奇偶性 利用式 1 10 来分析 t 的奇偶性是比较方便的 令1 a 得 tt n n n 1 1 11 3 n为偶数时 有 4 2 0 ntt nn 1 12 n为奇数时 有 5 3 1 ntt nn 1 13 这样 得到 tt 1 14 tt 1 15 即 t 是偶函数 而 t 是奇函数 5 t 与 tu互为微分与积分的关系 t dtu 1 16 tu dt d t 1 17 6 复合函数形式的冲激信号 对于形如 tf 的冲激信号 若 0 tf有m个互不相等的实根 如果 0 tf有重 根 tf 没有意义 则有 n i i i tt tf tf 1 1 1 18 3 单位冲激偶函数 1 单位冲激偶函数的定义 单位冲激偶函数可通过对矩形脉冲求一阶导数再取极限引出其定义 脉宽为 幅度为 1 的矩形脉冲为 2 2 1 tututf 其导数为 2 2 1 tttf 波形如图 1 1 所示 图 1 1 对矩形脉冲求导的波形 t0 1 1 2 2 tf 4 可见 tf 是一正一负两个强度均为 1 的冲激信号 lim 0 ttf 称为单位冲激偶函数 2 单位冲激偶函数的性质 因为 t 是奇函数 所以 0 dtt 1 19 t td 1 20 0 0 tftfttf 1 21 推广 有 00000 tttftttftttf 1 22 0 fdtttf 1 23 推广 有 0 1 n n n fdtttf 1 24 00 tfdttttf 1 25 1 00 tfdttttf nnn 1 26 4 斜坡信号 单位斜坡信号用 tr表示 其定义为 00 0 t tt ttutr 1 27 tr与 tu之间的关系为 dutr t 1 28 tutr dt d 1 29 5 符号函数 tsgn 符号函数用 tsgn表示 其定义为 5 01 00 01 sgn t t t t 1 30 6 取样信号 取样信号用 tSa表示 其定义为 t t t tSa sin 1 31 取样信号有如下性质 1 1 sin lim 0 t t t 1 32 2 3 2 1 0 kkSa 1 33 3 dt t tsin 1 34 3 常用离散信号及其性质 1 单位序列 n 单位序列用 n 表示 其定义为 00 01 n n n 1 35 单位序列性质 1 0 nfnnf 1 36 2 000 nnnfnnnf 1 37 2 单位阶跃序列 nu 单位阶跃序列用 nu表示 其定义为 00 01 n n nu 1 38 若将 nu移位 0 n 得 6 t 信号 0 ttf 是将原信号沿正t轴平移 0 t时间 而 0 ttf 是将原信号沿负t轴平移 0 t时 间 3 信号的尺度变换与反转 将信号 tf的横坐标的尺寸展宽或压缩称为信号的尺度变换 可用变量at a为非零 常数 替代原信号 tf的自变量t 得到信号 atf 如果a为正数 当1 a时 atf是将 tf以原点为基准 横轴压缩到原来的 a 1 倍 当10 n 信号 0 nnf 是将 nf序列沿正n轴 平移 0 n个单位 称为 nf的超前序列 0 nnf 是将 nf序列沿负n轴平移 0 n个单位 称为 nf的延迟序列 4 序列 nf的尺度变换 mnf 当1 m时 mnf是 nf序列每隔m点取一 点形成的 相当于时间轴n压缩了m倍 当1 m时 mnf是 nf序列每两点之间插 入m个零 相当于时间轴n扩展了m倍 当1 m时 nf 是将 nf序列绕纵轴作 0 180 反转 称为 nf的反转序列 5 序列差分 一阶前向差分 nfnfnf 1 1 69 二阶前向差分 nfnfnfnfnfnfnf 1221 2 1 70 一阶后向差分 1 nfnfnf 1 71 二阶后向差分 2121 2 nfnfnfnfnfnfnf 1 72 6 序列求和 i ifnf 1 73 几个典型的累加和 1 nui n i 1 74 2 nuniu n i 1 1 75 3 nunniiu n i 1 2 1 1 76 11 4 1 1 1 1 anu a a iua n n i i 1 77 7 序列的时域分解 1 序列的脉冲分解 任意离散序列 nf可用单位序列及其移位序列表示 即 0 1 1 2 2 nfnfnfnf 1 1 inifnf i inif 1 78 可见任意离散序列在时域可表示为 in 的线性组合 2 序列的奇偶分解 对于无限长序列 用 nfe表示共轭对称序列 有 nfnf ee 1 79 用 nfo表示共轭反对称序列 有 nfnf oo 1 80 一般序列都可用共轭对称序列和共轭反对称序列之和表示 即 nfnfnf oe 1 81 所以 2 1 nfnfnfe 1 82 2 1 nfnfnfo 1 83 对于有限长序列 用 nfep表示有限长共轭对称序列 有 nNfnf epe 10 Nn 1 84 用 nfop表示有限长共轭反对称序列 有 nNfnf opop 10 Nn 1 85 任何有限长序列都可表示成共轭对称序列和共轭反对称序列之和表示 即 nfnfnf opep 10 Nn 1 86 所以 2 1 nNfnfnfep 1 87 2 1 nNfnfnfop 1 88 如图 1 4 所示 12 0 123456 2 3 4 5 6 7 8 0123456 0 1 2 3 4 5 0123456 4 2 0 2 4 1 原 序 列 共 轭 对 称 序 列 共 轭 反 对 称 序 列 图 1 4 有限长序列及其共轭对称 共轭反对称序列 8 卷积和 1 卷积和的定义 一般而言 两个序列 1 nf与 2 nf的卷积和定义为 2121 nfnfinfifnf i 1 89 如果 1 nf与 2 nf均为因果序列 则有 n i infifnfnf 0 2121 1 90 4 卷积和的性质 离散信号的卷积和运算服从交换律 结合律和分配律 即 1221 nfnfnfnf 1 91 321321 nfnfnfnfnfnf 1 92 3121321 nfnfnfnfnfnfnf 1 93 任一序列 nf与单位序列 n 的卷积和等于序列 nf本身 即 nfnfnnnf 1 94 11 nnfnnnf 1 95 若 21 nfnfnf 则 212211 nnnfnnfnnf 1 96 1 2精选例题 例 1 画出下列信号波形 1 dtf t 0 cos 2 1 4 4 k knunnunf 解 1 dtf t 0 cos 13 5 25 15 0 5 25 15 0 5 25 15 0 000 0 tututu ddd d ttt t 波形如例 1 解图 a 所示 2 1 4 4 k knunnunf 12 4 8 4 4 4 nunununnu 波形如例 1 解图 b 所示 t 2 5 1 5 01 50 5 0 52 5 1 t cos 2 5 1 5 0 5 00 5 1 5 2 5 1 1 1 1 1 1 t 0 5 1 5 2 5t t cos tf a 0123456789 1 01 11 2 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 3 5 n nf b 例 1 解图 例 2 判断下列信号是否为周期信号 若是周期信号 则确定其周期 T 1 2sin sin 31 1 tttf 2 5cos 2cos 2 tttf 3 64 3 sin2 3 nnf 解解 14 1 2 1 2 2 1 2 1 n n 因此 公共周期2 2 1 2 1 10 nT 基频Hz T f5 0 2 11 0 0 2 由于两个分量的频率比值 5 2 2 1 是无理数 因此无法找出公共周期 所以是非周期 的 3 按定义 周期序列 nf3应满足 Nnfnf 33 其中满足定义式的最小正整数N称 为序列的周期 欲使 nfnNnNnNnf 33 64 3 sin2 64 3 4 3 sin2 64 3 sin2 应该满足 2 4 3 N即 3 8 N N不是正整数 故 nf3不是周期序列 例3 判断下列信号哪些是能量信号 哪些是功率信号 1 t etf 1 2 t etf 2 3 4 2 3 2 nj enf 解解 1 JdtedtedteE tt T T t T 110 2 1 01 2 1 lim 0 2 0 2 2 1 0 1 P 所以 tf1是能量信号 2 dtedteE t T T t T 2 2 2 lim dte T P T T t T 2 2 2 1 lim 所以 tf2既非能量信号 又非功率信号 3 nf3是一个周期为4 N的复数周期信号 其功率为 Wenf N P n nj N n 44444 4 1 2 4 11 2 3 0 4 2 2 1 0 3 例 4计算 1 dt t t t 2sin 2 dttt 4 2 4 cos2 3 dtt 4 2 15 4 m mn 5 2 4 sin n n n 解 1 212 2 2sin 2 2sin dttdt t t tdt t t t 2 4 2 4 sin 4 2 4 cos1 4 cos2 4 2 t tdttt 3 dtt 1 2 因为对于形如 tf 的冲激信号 若 0 tf有m个互不相等的实根 有 n i i i tt tf tf 1 1 又 2 1 1 2 t t 所以 12 2 1 11 2 1 4 2 dtttdtt 4 nunumn m 1 5 22 4 sin nn n n 例5 已知信号的波形如例5图所示 分别画出 tf与 dt tdf 的波形 0 t 2 11 1 2 tf22 例 5 图 解 tftftftftftftf 2 2 1 2211121222横坐标扩展一倍反转左移 16 tf 的波形如例 5 解图 d 所示 0 t 2 3 1 1 2 tf2 0 t 2 3 1 2 tf2 0 t 46 1 2 tf 0 t 46 1 1 tf 1 1 4 a d b c 例 5 解图 例 6 计算下列各题的卷积 1 已知 ttutftuetf t 2 2 1 求 tftf 21 解 tuetede etudetutftftftf t t t t t 12 4 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 0 2 0 2 2 0 2 1 2 1 121 2 已知 2 1 21 tutfttutf 求 tftf 21 解法 1 11 2 1 2 1 1 2 1 2 10 1 1 tutddutf t tt 2 1 2 ttf 134 2 1 1212 2 1 211 2 1 2 2 2 1 2 1 121 tutt tutttuttftftftf 解法 2 17 134 2 1 1111 2 1 11 2 1 11 2121 211 21111 211121 2 2 21 2 tutt tuttut tttt ttututtuttu ttuttuttutttu ttuttutttu tututut tututtuttutftf 3 已知 12 13 21 nunfnunf nn 求 nfnf 21 解 nu nu nunu nnunnunfnf nn nn nn nn 11 11 21 23 2 3 23 23 2 3 23 2 3 12 2 1 133 1 3习题精解 1 判断下列信号是否是周期的 如果是周期的 求出它的基频和公共周期 1 30sin 5sin 34 tttf 2 30cos 10cos tttf 3 20cos 10cos tttf 4 4 2cos 2 2cos tttf 解 1 6 1 30 5 2 1 2 1 n n 因此 公共周期 5 2 5 2 1 2 1 10 nT 18 基频Hz T f5 2 2 51 0 0 2 40cos20 cos5 0 30cos 10cos tttttf 2 1 40 20 2 1 2 1 n n 因此 公共周期snT 10 1 20 2 1 2 1 10 基频Hz T f10 1 0 0 3 由于两个分量的频率比值 20 10 2 1 是无理数 因此无法找出公共周期 所以是非周期 的 4 两个分量是同频率的 基频 0 f 1 Hz 因此 公共周期 0 1 f T s 2 指出并证明下列信号中哪些是功率信号 哪些是能量信号 哪些既不是功率信号也不是能 量信号 1 2 2 1 5 tututu 2 2 6 1 5 tututu 3 5 tue t 4 1 5 tue t 解 1 波形如题2解图 a 所示 显然是功率信号 tdtf T P T T T 2 2 1 lim1616361 1 lim 2 2 1 1 0 tdtdtd T T T W 2 波形如题2解图 b 所示 显然是能量信号 JdtdtE37161161 2 2 1 2 1 0 2 3 能量信号 1 0 10 1 lim 00 0 101025 T ttt T edtedteE J 4 功率信号 显然有1 PW 3 周期信号如题图3所示 试计算信号的功率 t tf 0 257 4 5 2 2 题 2 解图 a t tf 0 2 6 4 1 1 题 2 解图 b t tf 0 2 6 1 1 19 题3图 解 周期 T 7 一个周期的能量为 JdtdtE562431624 5 2 7 5 2 2 信号的功率为 8 7 56 T E P W 4 画出下列信号的波形 1 22 3 1 tttf 2 2 2 2 ttutf 3 2 2 3 ttutf 解 tftftf 321 的波形分别如题 4 解图 a b c 所示 1 0 1 5 tf1 t 2 0 2 tf2 t 2 2 0 2 tf3 t a c b 题 4 解图 5 完成下列信号的计算 1 3 24 2 t t 2 24 3 te t 3 2 3 2sin tt 4 4 2 ttue t 解 1 6 3 24 2 t t t 2 2 5 0 2 5 0 24 633 tetete tt 3 2 2 3 2 3 sin 2 3 2sin tttt 4 4 4 2 2 tettue t 6 求下列积分 1 dttt 3 4 2 2 6 3 2 4 4 dttt 3 6 3 2 42 2 4 6 dtttt 4 10 3sin dt t t t 解 1 5 3 94 3 4 2 dttdttt 2 0 4 4 6 3 2 dttt 因4 t不在积分范围 3 6 内 3 2 2 2 4 10 42 2 4 6 6 3 6 3 2 dtttdtttt 20 4 3 3 3 3sin 1010 dttSatdt t t t 1 3 3sin lim3 0 t t tSa t 7 画出题图7中的信号的一阶导数波形 t 1 tf 0 4 63 t 2 tf 0 2 2 4 463 t 3 tf 02 4 46 题7图 解 tftftf 3 2 1 的波形分别如题 7 解图 a b c 所示 2 4 t 0 4 6 3 t 0 63 2 2 4 4 4 2 4 t t 0 6 2 2 4 4 4 3 4 3 tf 1 tf 2 tf 3 a c b 题7解图 8 对于题8图中的信号 tf 为以下各式作图 1 3 tfty 2 22 tftx 3 22 tftg 4 15 0 tfth 5 tfe 偶分量 6 0 tf 奇分量 t tf 0 2 3 题8图 解 各波形如题8解图所示 21 1 2 10432 3 1 2 1043 2 3 1 2 10 432 31 2 10 432 3 1 2 10432 3 1 2 1043 2 3 2 22 22 1 8 11 1 t t tt t t 3 tf 22 tf tf22 15 0 tf tfe tfo 题8解图 9 周期信号如题9图所示 试计算信号的功率 t 0 2 1 2 5 tf 题9图 解 周期 T 7 5 1 5 1 tty 其能量为Jdttdty 3 35 5 1 5 15 2 5 2 2 5 2 5 2 2 信号的功率为 3 5 T E P W 10 用基本信号或阶跃信号表示题10图中的信号 并求出它们的能量 t 1t f 02 2 4 46 t 2t f 02 2 4 463 t 3t f 02 4 46 题10图 22 解 a 3 2 3 2 361 tGtGtf 可以看成三个矩形 能量为482421624 1 EJ b 3 2 3 2 162 tQtGtf 可以看成一个矩形和一个三角形相加 能量为67 3442 2 1 224 3 1 64 2 EJ c 3 2 3 6 133 tQtQtf 可以看成一个矩形和两个三角形相加 能量为 33 53416 3 1 216 3 E J 11 画出下列信号的波形 1 cos 1 tutf 2 2 2 2 2 tutu t tf 3 2 sin 3 tututtf 4 sgn 24 ttGtf 5 2 265 tQtGf 6 sin 2 6 ttutf 解 各信号的波形如题11解图所示 1 2 1 043 2 3 0 5 1 501 5 2 5 1 2 1 0 432 31 10 432 1 1 0 1 2 1 0432 3 1 11 1 t t t t tt 2 5 1 2 tf 3 tf 1 1 tf1 1 tf4 tf5 tf6 题11解图 23 12 求下列积分 1 dtttt 4 cos 2 t dttt 2 2 3 6 3 2 4 4 dttt 4 dttxt 2 解 a 1 4 cos dtttt b 2 2 2 2 tutudttt t c 8 4 4 6 3 2 dttt d 20 2 2 2 x xx dttxt 13 画出下列各信号的波形 1 1 1 nunnf 2 5 2 nununnf 3 nunf n 5 0 3 4 nunf n 2 4 解 各波形如题13解图所示 432 1 nf1 n1 2 3 4 432 1 nf2 n1 2 3 4 432 1 nf3 n 1 2 3 4 432 1 nf4 n1 2 2 题13解图 14 对于题14图中的信号 tf 为以下各式作图 a 3 1 tftf b 22 2 tftf c 22 3 tftf t tf 0 2 42 题14图 24 d 15 0 4 tftf e tfe 偶分量 f 0 tf 奇分量 解 各波形如题14解图所示 1 5 3 2 1 t tf1 13 2 1 t tf2 12 1 2 1 t tf3 2 1 0 2 2 1 t tf4 2 2 4 2 1 t t fe 42 2 4 2 1 t tfo 4 1 题14解图 15 求下列函数的卷积积分 tftf 21 1 tutftuetf t 2 3 1 2 tuetftf t3 21 3 tuetfttutf t 21 4 5 1 21 tutftutf 5 21 21 tututfttutf 现求解如下 1 tutftuetf t 2 3 1 解 tueededtuuetftf t t t 3 0 3 0 33 21 1 3 1 3 1 2 tuetftf t3 21 解 tutedededeetftf t t t t t t t3 0 3 0 3 0 33 21 25 3 tuetfttutf t 21 解 tuete detuetudetutftftftf t t t t t 1 11 0 00 1 2 1 121 4 5 1 21 tutftutf 解 6651 21 tuttututftf 5 21 21 tututfttutf 解 22 2 1 11 2 1