新概念型问题.doc

新概念型问题一、中考专题诠释所谓“新概念”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新概念例1 （2012永州）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列例如数列1，3，9，19，33，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，是一个二阶等差数列那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，的第五个数应是 21考点二：运算题型中的新概念例2 （2012菏泽）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，概念=ad-bc，上述记号就叫做2阶行列式若=8，则x= 2考点三：探索题型中的新概念例3 （2012南京）如图，A、B是O上的两个定点，P是O上的动点（P不与A、B重合）、我们称APB是O上关于点A、B的滑动角（1）已知APB是O上关于点A、B的滑动角，若AB是O的直径，则APB= ；若O的半径是1，AB=，求APB的度数；（2）已知O2是O1外一点，以O2为圆心作一个圆与O1相交于A、B两点，APB是O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交O2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索APB与MAN、ANB之间的数量关系考点四：开放题型中的新概念例4 （2012北京）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下概念：若|x1-x2|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|；若|x1-x2|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1-y2|例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1-3|2-5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）（1）已知点A（-，0），B为y轴上的一个动点，若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知C是直线y=x+3上的一个动点，如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标考点五：阅读材料题型中的新概念例5 （2012常州）平面上有两条直线AB、CD相交于点O，且BOD=150（如图），现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”：（1）点O的“距离坐标”为（0，0）；（2）在直线CD上，且到直线AB的距离为p（p0）的点的“距离坐标”为（p，0）；在直线AB上，且到直线CD的距离为q（q0）的点的“距离坐标”为（0，q）；（3）到直线AB、CD的距离分别为p，q（p0，q0）的点的“距离坐标”为（p，q）设M为此平面上的点，其“距离坐标”为（m，n），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：（1）画出图形（保留画图痕迹）：满足m=1，且n=0的点M的集合；满足m=n的点M的集合；（2）若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上，求m与n所满足的关系式（说明：图中OI长为一个单位长）四、中考真题演练一、选择题1（2012六盘水）概念：f（a，b）=（b，a），g（m，n）=（-m，-n）例如f（2，3）=（3，2），g（-1，-4）=（1，4）则gf（-5，6）等于（）A（-6，5）B（-5，-6）C（6，-5）D（-5，6）2 （2012湘潭）文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，若输入 ，则输出的结果为（）A5B6C7D8点评：本题考查的是实数的运算，根据题意得出输出数的式子是解答此题的关键3 （2012丽水）小明用棋子摆放图形来研究数的规律图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，称为三角形数类似地，图2中的4，8，12，16，称为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A2010B2012C2014D2016二、填空题4（2012常德）规定用符号m表示一个实数m的整数部分，例如：=0，3.14=3按此规定的值为 5（2012随州）概念：平面内的直线与相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线、的距离分别为a、b，则称有序非实数对（a，b）是点M的“距离坐标”，根据上述概念，距离坐标为（2，3）的点的个数是（）A2B1C4D36（2012荆门）新概念：a，b为一次函数y=ax+b（a0，a，b为实数）的“关联数”若“关联数”1，m-2的一次函数是正比例函数，则关于x的方程 +=1的解为 x=37（2012自贡）如图，ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是 48 （2012泉州）在ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的ABC的相似线，简记为P（lx）（x为自然数）（1）如图，A=90，B=C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的ABC的相似线（其中l1BC，l2AC），此外，还有 1条；（2）如图，C=90，B=30，当 = 时，P（lx）截得的三角形面积为ABC面积的三、解答题9（2012铜仁地区）如图，概念：在直角三角形ABC中，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，记作ctan，即ctan= = ，根据上述角的余切概念，解下列问题：（1）ctan30= ；（2）如图，已知tanA=，其中A为锐角，试求ctanA的值10（2012无锡）对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1-x2|+|y1-y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）（1）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；（2）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离试求点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离11（2012厦门）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3）、B（6，3），连接AB如果点P在直线y=x-1上，且点P到直线AB的距离小于1，那么称点P是线段AB的“临近点”（1）判断点C（）是否是线段AB的“临近点”，并说明理由；（2）若点Q（m，n）是线段AB的“临近点”，求m的取值范围12（2012兰州）如图，概念：若双曲线y=（k0）与它的其中一条对称轴y=x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线y=（k0）的对径（1）求双曲线y= 的对径（2）若双曲线y=（k0）的对径是10，求k的值（3）仿照上述概念，概念双曲线y= （k0）的对径13（2012绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心举例：如图1，若PA=PB，则点P为ABC的准外心应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求APB的度数探究：已知ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长14（2012嘉兴）将ABC绕点A按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的n倍，得ABC，即如图，我们将这种变换记为，n（1）如图，对ABC作变换60，得ABC，则SABC：SABC= 3；直线BC与直线BC所夹的锐角为 60度；（2）如图，ABC中，BAC=30，ACB=90，对ABC作变换，n得ABC，使点B、C、C在同一直线上，且四边形ABBC为矩形，求和n的值；（3）如图，ABC中，AB=AC，BAC=36，BC=l，对ABC作变换，n得ABC，使点B、C、B在同一直线上，且四边形ABBC为平行四边形，求和n的值15（2012台州）概念：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点（1）根据上述概念，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是 2；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）为 ； （2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；点D的坐标为（0，2），m0，n0，作MNx轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由专题讲座二：新概念型问题参考答案四、中考真题演练一、选择题1A2B3D解：3，6，9，12，称为三角形数，三角数都是3的倍数，4，8，12，16，称为正方形数，正方形数都是4的倍数，既是三角形数又是正方形数的是12的倍数，201012=1676，201212=1678，201412=16710，201612=168，2016既是三角形数又是正方形数故选D二、填空题44解：34，3+1+14+1，4+15，+1=4，故答案为：45C解：如图所示，所求的点有4个，故选C6x=3解：根据题意可得：y=x+m-2，“关联数”1，m-2的一次函数是正比例函数，m-2=0，解得：m=2，则关于x的方程+=1变为+=1，解得：x=3，检验：把x=3代入最简公分母2（x-1）=40，故x=3是原分式方程的解，故答案为：x=374解：弧CD的长是=，弧DE的长是：=，弧EF的长是：=2，则曲线CDEF的长是：+2=4故答案是：48（1）1；（2）或或解：（1）存在另外 1 条相似线如图1所示，过点P作l3BC交AC于Q，则APQABC；故答案为：1；（2）设P（lx）截得的三角形面积为S，S=SABC，则相似比为1：2如图2所示，共有4条相似线：第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1AC，=；第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2AC，=；第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，=；第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，=故答案为：或或三、解答题9解：（1）RtABC中，=30，BC=AB，AC=AB，ctan30=故答案为：；（2）tanA=，设BC=3，AC=4，则AB=5，ctanA=10解：（1）由题意，得|x|+|y|=1，所有符合条件的点P组成的图形如图所示。（2）d（M，Q）=|x-2|+|y-1|=|x-2|+|x+2-1|=|x-2|+|x+1|，又x可取一切实数，|x-2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和-1所对应的点的距离之和，其最小值为3点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离为3。11解：（1）点C（）是线段AB的“临近点”理由是：点P到直线AB的距离小于1，A、B的纵坐标都是3，ABx轴，3-1=2，3+1=4，当纵坐标y在2y4范围内时，点是线段AB的“临近点”，点C的坐标是（），y=2，且小于4，C（）在直线y=x-1上，点C（）是线段AB的“临近点”（2）由（1）知：线段AB的“临近点”的纵坐标的范围是2y4，把y=2代入y=x-1得：x=3，把y=4代入y=x-1得：x=5，3x5，点Q（m，n）是线段AB的“临近点”，m的取值范围是3m512解：过A点作ACx轴于C，如图，（1）解方程组，得， A点坐标为（1，1），B点坐标为（-1，-1），OC=AC=1，OA=OC=，AB=2OA=2，双曲线y=的对径是2；（2）双曲线的对径为10，即AB=10，OA=5，OA=OC=AC，OC=AC=5，点A坐标为（5，5），把A（5，5）代入双曲线y=（k0）得k=55=25，即k的值为25；（3）若双曲线y=（k0）与它的其中一条对称轴y=-x相交于A、B两点，则线段AB的长称为双曲线y=（k0）的对径13解：若PB=PC，连接PB，则PCB=PBC，CD为等边三角形的高，AD=BD，PCB=30，PBD=PBC=30，PD=DB=AB，与已知PD=AB矛盾，PBPC，若PA=PC，连接PA，同理可得PAPC，若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，APD=45，故APB=90；探究：解：BC=5，AB=3，AC=4，若PB=PC，设PA=x，则x2+32=（4-x）2，x=，即PA=，若PA=PC，则PA=2，若PA=PB，由图知，在RtPAB中，不可能故PA=2或14解：（1）根据题意得：ABCABC，SABC：SABC=（）2=（）2=3，B=B，ANB=BNM，BMB=BAB=60；故答案为：3，60；（2）四边形 ABBC是矩形，BAC=90=CAC=BAC-BAC=90-30=60在 RtABC 中，ABB=90，BAB=60，ABB=30，n=2；（3）四边形ABBC是平行四边形，ACBB，又BAC=36，=CAC=ACB=72BBA=BAC=36，而B=B，ABCBBA，AB：BB=CB：AB，AB2=CBBB=CB（BC+CB），而CB=AC=AB=BC，BC=1，AB2=1（1+AB），AB=，AB0，n=15解：（1）当m=2，n=2时，如题图1，线段BC与线段OA的距离等于平行线之间的距离，即为2；当m=5，n=2时，B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，如答图1，过点B作BNx轴于点N，则AN=1，BN=2，在RtABN中，由勾股定理得：AB=（2）如答图2所示，当点B落在A上时，m的取值范围为2m6： 当