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浅谈如何把函数的性质呈现在图象上浙江省湖州中学 顾钰萍华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合是高中数学的重要方法之一。函数的图象作为函数性质的充分体现，更是与函数本身的性态密不可分。解函数题时，如何有效地把已有的信息呈现在图象上，对函数其他性质的了解和探究是很重要的。函数这一章是高中数学第一册第二章的内容，这已经充分说明了函数的重要性，有了函数这个知识基础，学生才能很好的去学习数列、三角函数、极限、导数等章节的内容。在初、高中教材中明确给出了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的图象和性质，利用这些知识学生已经可以解决大部分问题。但是随着新课改在教学中的全面实施，一些开放性的题目越来越多的出现在我们的教学和练习中。学生遇到的有一些函数是从来没有遇到过的，几乎无法准确地画出其图象，但如果能把函数的定义域、奇偶性，周期性等性质正确地体现在学生自己假设的图象上，那么即使图象比较粗糙，对解题无疑也是一种很大的帮助。xy30-3比如这样一个例题：已知函数是定义在上的奇函数且，在上是增函数，求使得的的取值范围。 本题难度不大，如果学生对函数性质有很深刻的理解，那么不用画图象也可以解决。但是如果能够把函数的这些性质呈现在图象上，那整个题目的意思就更加清晰可见了。分析：由题意，函数在上是奇函数且在上是增函数，故函数在也是增函数，且，则函数的大致图象如右图所示。故使得的的取值范围是。类似能够体现函数图象优越性的题目处处可见，再如这样一个例题：函数是定义在上的偶函数，已知且在上函数的解析式为，若函数在区间上的反函数为，求。本题难倒了不少成绩相对来说还算是比较好的学生，主要原因不在于题目本身的难度有多大，而是题目给出的信息太多，学生一时不知道怎么把这些信息整合起来。但事实上，我们只要一步一步的把这些信息呈现在图象上，那思路就很清晰了。分析：由题意，我们可以先画出函数在上的图象，这是指数函数图象的一部分。又因为，所以函数的周期是4，那么就能画出函数在上的图象。另外函数是定义在上的偶函数，所以函数的图象是关于轴对称的，这样在上的函数图象也就能画出来了。那么在上使得函数值为32的自变量的值也就能够求得了。其实很多学生都明白函数图象的作用有多大，只是苦恼于不能准确地把函数的图象表示出来，比如1998年全国高考数学第(10)题：H0Vh向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是下列哪一个： 本题是在学生只学过柱体和锥体的体积的认知基础上提出的，如果一定要通过先求出注水量关于水深的函数解析式来画出函数的图象的话，那对很多学生来说难度就太大了，一般学生只能求出第四个水瓶的相关解析式。如果得不到函数的解析式，我们研究一下能不能通过对以下几个方面的考察来刻画函数的图象：（1） 函数的定义域；（2） 函数的单调性；（3） 注水量关于水深变化的快慢程度（即注水量关于水深的导数的变化趋势。）分析：易知四个水瓶对应函数的定义域均为，而且都是单调递增的，唯一不同的是注水量关于水深变化的快慢程度。由水瓶的形状，我们可以发现第一个水瓶当越大时变化越快，也就是说越大对应的值越大，所以函数对应的曲线在点处的切线的斜率随的增大而增大。故函数图象如图所示：H0Vh同理，第二个水瓶对应的函数曲线在点处的切线的斜率随的增大而减小，但始终大于0。第三个水瓶对应的函数曲线在点处的切线的斜率随的增大先减小后增大，但始终大于0。而第四个水瓶对应的函数则是关于的正比例函数。故函数图象分别如下：H0VhH0VhH0Vh（注：本题各水瓶底面积之间没有必然关系，故它们的值域之间也没有必然关系）中学课本上介绍的简单函数毕竟是有限的，遇到不太熟悉的函数时只能用描点作图法画出一些简单函数的图象。一般说来，这样的图象比较粗糙，很难确切的反映函数的性态。以一个高三学生的认知水平为基础，我们可以来总结一下作函数图象的一般程序：（1） 求函数的定义域；（2） 考察函数的奇偶性、单调性；（3） 求函数的某些特殊点，如与两个坐标的交点，不可导点等；（4） 确定函数的单调区间，极值点，凸性区间等；（5） 考察渐近线；（6） 综合以上讨论结果画出函数的图象。这里难度稍大的也就是函数的凸性区间的考察，其实学生在解题时已遇到过这样的题目，并非单纯的只是高等数学的知识。比如上面有关水瓶注水的问题就是一个考察凸性区间的问题。0yx简单地说，如果函数是在区间上可导的增函数，且是增函数，则称其为凸的增函数，图象如下：如果函数是在区间上可导的增函数，且是减函数，则称其为凹的增函数；如果函数是在区间上可导的减函数，且是增函数，则称其为凸的减函数；如果函数是在区间上可导的减函数，且是减函数，则称其为凹的减函数。0yx0yx0yx以函数的图象为例：xy0-1分析：函数的定义域为，。故和是函数的增区间，是函数的减区间。是极大值点，0是极小值点。其中是凹增区间，是凸增区间，是凹减区间，是凸减区间。且。则我们可以作出其图象大致如下： 画出了函数的图象，那么对其它的一些问题就可以通过对图象的考察来解决了。在研究函数性质时，我们不是非得画出函数的图象才能解决问题，但如果能按照函数已知的性质画出函数的图象，那对函数性质的进一步研