2 第二章 应力和应变.doc

第二章 应力和应变地震波传播的任何定量的描述，都要求其能表述固体介质的内力和变形的特征。现在我们对后面几章所需要的应力、应变理论的有关部分作简要的复习。虽然我们把这章作为独立的分析，但不对许多方程进行推导，读者想进一步了解其细节，可查阅连续介质力学的教科书。三维介质的变形称为应变，介质不同部分之间的内力称为应力。应力和应变不是独立存在的，它们通过描述弹性固体性质的本构关系相联系。2.1 应力的表述应力张量2.1.1应力表示考虑一个在静力平衡状态下，均匀弹性介质里一个任意取向的无限小平面。平面的取向可以用这个平面的单位法向矢量来规定。在方向的一侧施加在此面单位面积上的力叫做牵引力，用矢量表示。在相反方向的另一侧施加在此面上的力与其大小相等，方向相反，即。t在垂直于平面方向的分量叫做法应力，平行于平面方向的分量叫做剪应力。在流体的情况下，没有剪应力，这里P是压强。上面的表示这是一个平面上的应力状况，为表示固体内部任意平面上的应力状态，应力张量在笛卡尔坐标系（图2.1）里可以用作用于平面的牵引力来定义： （2.1）在右式的表示中，第一个下角标表示面的法线方向，第二个下角标表示该面上应力在该坐标轴上的投影。图2.1 在笛卡尔坐标系里描述作用在无限小立方体面上的力的牵引力矢量。应力分量的符号规定如下：对于正应力，我们规定拉应力为正，压应力为负。对于剪应力，如果截面的外法线方向与坐标轴一致，则沿着坐标轴的正方向为正，反之为负；如果截面方向与外法线方向相反，则沿着坐标轴反方向为正。下面讨论下角标颠倒后与颠倒前的值的关系。我们考虑xz面上在y轴方向延伸单位长度1的小微元立方体，在z方向的边长为，在x方向的边长为，如图所示，右边的的外法线方向与x轴一致，因此沿z方向为正，而左边的的外法线方向与x轴相反，逆z方向为正。的分析与此分析类似。绕y轴的顺时针转动力矩为，逆时针旋转的力矩为，由于弹性体内部的微元不可能发生转动，因此两者必须相等，因此有。类似地有：。故应力张量是对称的，即： （2.2）应力张量只包含6个独立的要素，它们足以完全描述介质中一个给定点的应力状态。 2、任意一个面上的应力可以由应力张量表示 一点的九个应力分量如果能够完全确定一点的应力状态，则其必须能够表达通过该点的任意斜截面上的应力矢量。 为了说明这一问题，在O点用三个坐标面和一任意斜截面截取一个微分四面体单元，斜截面的法线方向矢量为n，它的三个方向余弦分别为l，m和n。 设斜截面上的应力为pn，i，j 和 k 分别为三个坐标轴方向的单位矢量，pn在坐标轴上的投影分别为px, py, pz。则应力矢量可以表示为 pn = pxi+ py j+ pz k设S为ABC的面积，则 OBC=lS, OCA=mS, OAB=nSABC的法线方向的单位矢量可表示为 n = l i+ m j + n k微分四面体在应力矢量和体积力作用下应满足平衡条件。由x方向的平衡，可得注意，取负是因为外法线方向与作用面的方向相反。将公式代入上式，有 从而 同理 如果采用张量记号，则上述公式可以表示为 上式给出了物体内一点的9个应力分量和通过同一点的各个微分面上的应力之间的关系。这一关系式表明，只要有了应力分量，就能够确定一点任意截面的应力矢量，或者正应力和切应力。因此应力分量可以确定一点的应力状态。任一个取向由定义的平面，一个侧面作用于另一个侧面的牵引力为应力张量与的乘积，即： （2.3）这可以通过对由垂直于的平面和平面所围限的四面体（柯西四面体）面上的力求和作出说明。简单地说，应力张量是给出相对于法向矢量的牵引力矢量t的线性算子，从这个意义上来说，应力张量与任何特定的坐标系无关。在地震学中，我们几乎总是把应力张量写成笛卡尔几何学里的一个的矩阵。注意到对称的要求，应力张量的独立参数由9个减少为6个，呈现为最一般形式的二阶张量（标量为零阶张量，矢量为一阶张量，等等）。应力张量通常随在物质里的位置而变化，它是作用在固体里每一点的无限小的面上的力的度量。应力只给出了这些面由一边作用于另一边的力的度量，计量标准是单位面积上的力。然而，可能有其他力（如重力）。这些力称为体力，计量标准是每单位体积或单位质量上的力。2.1.3坐标变换如果一处的应力状态为，而其他元素为零，将其旋转45度后的应力状态为 不同坐标系下的应力状态表示一点的应力分量不仅随着变形体中点的位置在改变，而且即使在同一点，由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不一样。假设已知在坐标系Oxyz中，弹性体中的某点的应力状态表示为：则对于新的坐标系Oxyz，这点的各应力分量是多少就是本小节讨论的问题。设新旧坐标系的方向余弦表如下：xyz根据（2.3）可知，沿的应力可以表示为：此应力有三个分量，将其再投影到方向即得到在新坐标系中的各分量,将应力矢量与点乘即可得到： 所以由上面的分析可知一个斜面上的正应力可以表示为：其剪应力为：2.1.4主应力和应力主轴对任何应力张量，总是可以找到一个方向，使得在垂直于的面上，没有剪应力，也就是说，沿方向，在这种情况下： （2.4）这里I是单位矩阵，是标量（不要把这些值同后面将讨论的拉梅参数相混淆）。这是一个本征值问题，只有 （2.5）才有非零解。由于是对称的，是实数，所以本征值也是实数。的左端为的三次多项式，在线性代数中为矩阵的特征多项式。令其等于零，得到三个本征值的解。将这三个解分别代入（2.5）就可以得到相应于三个本正值的本征矢量为，它们是正交的，在弹性力学中称这三个方向为应力主轴。垂直于应力主轴的平面叫做主平面。我们通过相似性变换，把旋转到 的坐标系里： （2.6）这里是旋转的应力张量，是主应力（与本征值相等），N是本征矢量矩阵： （2.7）为归一化到单位长度的正交的本征矢量。 在MATLAB中矩阵的本征值和本征向量的求法为：X,D=eig(sigma);其中sigma为三维应力矩阵，X为三个本征向量，D为本征值矩阵。得到本征向量和本征值后，你可以采用X*sigma*X得到的结果验证是否是向量矩阵。如果，那么应力场处于流体静压状态，没有任何取向的面有剪应力。在流体的情况下，应力张量可写成： （2.8）这里P是压强。 对于垂直应力不变的应力状态,其水平方向不同的应力状态可以表示为：，其主应力方程可以表示为，或者展开为，解这个方程可得到三个主应力为：及2.1.1 应力值应力以单位面积上的力为计量单位，在国际单位制（SI）中的单位是：回顾一下，达因。另一个普遍采用的力的单位是巴：如表2.1用参考模型PREM（Dziewonski和Anderson，1981）所给出的值所示，在地球里压力随深度快速增大。在400公里的深度，压力达到13.4Gpa，在核幔边界达136Gpa，在内核边界达329 Gpa。与此对比，月球中心的压力仅为4.8 Gpa，相当于在地球150公里深度所达到的值（Latham等人，1969），这是由于月球的质量小得多。表2.1 地球内部压力与深度的关系深度（公里）区 域压力（Gpa）0-24地 壳0-0.624-400上地幔0.6-13.4400-670过渡区13.4-23.8670-2891下地幔23.8-135.82891-5150外 核135.8-328.95150-6371内 核328.9-363.9这些压力是地球内部的流体静压力。深部的剪切应力值小得多，包括与地幔对流有关的应力和由地震波传播所产生的动态应力。静态应力可能存在于地壳上部脆性部分。测量地壳剪应力是现代研究的课题。应力的量级是有争议的问题，地壳应力可能在100巴和1000巴（10-100 Mpa）之间，在接近活动断层的区域，应力有降低的趋势（活动断层的作用降低了应力）。2.2 应变张量2.2.1 位移场表示现在让我们来考虑怎样描述连续介质里点的位置的变化。任何一点与参考时间的相对位置都可以用一个矢量场来描述，即位移场为： （2.9）这里r是现在的位置，是参考点的位置。位移场是一个重要的概念，在这本书中经常涉及到。它是位置变化的绝对度量。与此相对照，应变是位移场相对变化的局部度量，即位移场空间梯度的度量。应变与材料的变形或形状的变化有关，而与位置的绝对变化无关。例如，张应变是按照长度的相对变化来定义的。如果把一根100米长的细绳，一端固定，在另一端均匀地拉长到101米，那么沿细绳位移场从0变化到1米。依此，在绳的任何地方，应变场为0.01（1%）的常数。考虑离开参考位置一个小的距离的某一点的位移，对u的每一个分量作泰勒级数展开，有：写成矩阵形式得到： （2.10）这里，假定偏导数等很小，它们的乘积可以忽略。那么，根据无限小应变理论，我们就可以忽略展开式中的高阶项。庆幸的是在地震学中地球的应变几乎总是很小的，以致于这种近似是恰当的。我们可以通过把J 分成对称和反对称部分，把刚性旋转部分分离出来： （2.11）这里应变张量e是对称的，可表达为： （2.12）这里旋转张量是反对称的，可表达为： （2.13）读者可对作检验。2.2.2物理解释为简单起见，考虑平面的几何问题来讨论形变分量和位移之间的关系。如图，经过弹性体内的任意一点P，沿x轴和y轴的正方向取两个微小长度的线段PA=dx,PB=dy。假定弹性体受力后，P,A,B分别移到P,A,B。首先考察线段PA和PB的线应变，设P在x方向的位移为u，则A点在x方向的位移将是,在y方向的位移为；B点在x方向的位移将是,在y方向的位移为。则PA线段的线应变为其伸长增加量与其长度之比，为,同理，PB线段的线应变为。 对于上述二维情况，若以PA,PB看做是矩形的两个边，其面积为dxdy,则变形后的PA的长度为(忽略其他高阶小量)，PB的长度为(忽略其他高阶小量)，则小体积元的面积趋于零时，面积增量与原来面积的极限为： 同样的，对于三维情况，可以得到体积增量和原来体积之比的极限为： 因此（2-12）式对角线元素之和为为体应变。 在线性代数中表示为的迹。注意，膨胀是由位移场的散度给出的。 现在考察线段PA与PB之间的直角的改变，该改变量有两部分贡献：一部分为由y方向的位移v引起的，即x方向的线段PA的转角，另一部分为由x方向的位移u引起的，即y方向的线段PB的转角.由图的关系不难看出： 。在三维情况下也具有同样道理。因此e矩阵中的对角线元素为线应变，非对角线元素为线段偏转角度之和的一半（采用弧度表示）。 yFig 3参考上图，一个质点Py、z向逆时针方向扭转到Py、z，扭转角度为x，若其扭转半径为r，根据几何关系可得到：，其位移形变为将其分別对y及z微分且相加，得出同理得到和，这正是（2-13）式的几个元素另外，我们在高等数学中学过旋度的表示为因此表示了作为刚体的旋转，其中为以x轴为轴的旋转量，为以y轴为轴的旋转量，为以z轴为轴的旋转量。因此（2-13）就代表刚度的旋转。 下面以二维应变为例列举几种应变状态，以此可以理解不同应变状态下的变形。 图 二维情况下不同应变状态的变形举例2.3 本征值和本征向量在上式可以看到，像应力张量那样，应变张量是对称的，包含6个独立的参数。通过计算位移的取向,可以找到应变主轴，即： （2.18）这里的意义可以仿照应力张量的形式自然得知，在此不再赘述。在下节我们将发现用脚标符号有助于表达应变张量。方程（2.12）可写成： （2.20）这里假定i和j的顺序为1至3（按x,y,z的取向）。我们用了符号。2.2.1 应变值由于应变表示长度的变化除以长度，故应变是无量纲的。与远场地震波通过相联系的动态应变，基本上小于。2.3 线性的应力应变关系在弹性介质中，应力和应变通过应力应变的本构关系联系起来。应力张量和应变张量之间最一般的线性关系可以写成： （2.21）这里叫做弹性张量。在此，我们开始采用脚标符号求和的惯用做法。在乘积中任何重复的脚标都意味着求和是从脚标1到3。方程 （2.21）假定是完全弹性的，当应力作用，材料发生变形时，能量没有损失和衰减（有时，这些效应可由为复数来模拟）。在第六章之前，我们不考虑非弹性状态和衰减。应力张量是一个有81个（34）元素的四阶张量。应力和应变的对应弹性参数 e112233121323111111112211331112111311232222112222223322122213222333331133223333331233133323121211122212331212121312231313111322133313121313132323231123222333231223132323然而，由于应力张量和应变张量的对称性，它们各自只有六个分量，此时，Cijkl = Cjikl = Cijlk = Cjilk。因此如果不讨论预应力问题，应力分量和应变分量之间的表达式可以表示为： （2.22）上式只有36个弹性常数。可以证明，对于一个保守系统（即无能量损失）， (证明从略)。因此对于极端的各向异性介质，独立的弹性参数为21个，这些元素只有21个是独立的。这21个元素是确定弹性固体的最一般形式的应力应变关系所必须的。这样一种固体的性质可能随方向变化，如果是这样的话，就称这种介质是各向异性的。与此相反，各向同性的固体，所有方向的性质是相同的。对地球内部，大多数情况下，各向同性是合适的一级近似。但在一些地区观测到各向异性，这是现代研究的一个重要领域。如果我们作了各向同性的假定，独立参数减至2个:和，这些参数又叫做介质的拉梅参数。可见，。我们将看到，拉梅参数及介质的密度将最终确定介质的地震波速度。对各向同性固体，应力应变方程（2.21）为： （2.23）这里我们用合并的项。注意是e的对角线元素的和。用这方程，我们根据应变可直接写出应力张量： （2.24）这两个拉梅参数完全描述了各向同性固体里的线性的应力应变关系。叫做剪切模量，是介质抗剪切的度量。它的值是所作用的剪切应力与所导致的剪应变比率的一半，即（这里的2与应变张量的1/2有关）。另一个拉梅参数，没有简单的物理解释。各向同性固体的其他普遍使用的弹性参数中很多具有特定的物理意义。 2.4 弹性参数的物理意义及相互转换杨氏模量E：两端拉伸的柱体的张应力与张应变的比率，正应力和线应变之间满足胡克定律：所以E表示弹性材料抵抗拉张（或压缩）的能力，E越大说明弹性体越难变形。Possion比弹性体纵向伸长（或缩短）后，其横向也会有的变化，叫做Possion系数。式中负号表示纵向应变和横向应变方向相反，为保证为正而取的。Possion系数仅与材料本身的性质有关。实验表明，对于一切介质，介于0到0.5之间，对于地幔介质，常用0.25表示地幔的大部分，对于地球外核（液态），取为0.5.体积模量：在实际地球中，只受单向压力或拉力的情形很少，一般情况下是各个方向都受力，最常见的是液体静压力。弹性体在静压力P作用下提及变化，则有关系因此体变模量K为流体静压力与由其所导致的体积变化的比率，是介质不可压缩性的度量。应指出，体变模量K可以从杨氏模量E和Possion系数推导出来。设一个立方体边长为L，体积则为V=L3,在液体静压应力下，整个体积的相对变化率可由边长的相对变化率决定，即：，就任何一个方向而言，在这个方向上的压应力，使其长度改变而在与此方向垂直的另两个方向的压应力，又使其长度改变了，故总的效果是这三个方向压应力作用之和：，从而得出：，注意，为仅在单向压力作用下的长度的改变量，满足关系式：这样可得到：弹性系数之间的关系：单向拉伸实验：由胡克定律可得：三式相加得：代入上式第一式得：代入第二式或第三式得：各向均匀压缩试验：体变模量定义为：由广义胡克定律：三式相加得：与体变模量的定义比较可得 （2.26）在地震学中，我们主要涉及压缩（P）和剪切（S）波的速度。如后面第三章所指出，它们可由这些弹性常数和密度来计算：P波的速度表达为： （2.28）S波的速度表达为： （2.29）泊松比往往用来度量P波和S波速度的相对大小，表达为： （2.30）注意无量纲，在0-0.5之间变化，下限相当于流体的情况（）。对泊松固体，。多数地壳岩石，泊松比在0.25与0.30之间。 2.3.1 弹性模量的单位拉梅参数、扬氏模量、体积模量都有像应力那样的单位（帕斯卡）。回顾一下： 注意当其被密度除时，结果即为速度平方（适合于方程2.28和2.29）的单位。练习：1、 地壳中某点的应力状态在北东下坐标系中表示为：，单位MPa。求其三个主应力及其方向。2、 已知地壳中某点的主应力为=75bar, =50bar, =-50bar,一斜截面的法线与三个主轴成等角，求该面上的正应力和剪应力。（提示该面的方向余弦为）。3、 已知某点的应力张量为：，求其主应力大小和主轴方向。2.1 用方程（2.4），（2.18）和（2.24）说明对各向同性介质，应力主轴总是恰好与应变主轴重合。2.2 由方程（2.28）和（2.29），根据地震波速度和密度导出拉梅参数的表达式。2.3对于均匀各向同性弹性体，用应变分量表示应力分量的胡克定律，试利用弹性常数之间的关系导出应力分量表示为应变分量的表达式：。2.3 对泊松比为0.30的岩石，波的速度比是多少？2.4 观测到实验室里的花岗岩样品的P波速度为5.5km/s，密度为2.6Mg/m3。假定样品是泊松固体，求拉梅参数，扬氏模量、体积模量的值。给出你的以帕斯卡为单位的答案。如果样品以地球24公里深度所存在的压力压缩，那么这样品体积的相对变化是多少？对这问题，假定当样品压缩时，体积模量没有变化。2.5 用PREM模型的值（附录1）计算（a）核幔边界（CMB）和（b）内核边界（ICB）两边的体积模量的值。以帕斯卡单位表达你的答案。2.6 圣地亚哥，加利福尼亚大学在圣地亚哥东北山脉（在Anza附近）建立了Pinon Flat观测台（PFO），仪器包括测量地壳变形的高质量的应变计。（a） 假定在PFO底下5公里，地震波的速度，密度，根据这些参数计算拉梅参数的值。以帕斯卡单位给出答案。（b）1922年南加利福尼亚PFO以北80公里的Landers地震（）后，PFO应变仪观测到相对于地震前，应变有一个大的静态变化。应变张量的水平分量按以下数量变化：，这里脚标1表示东，2表示北，拉张为正。你可以假定应变的变化是在地震时瞬间出现的。假定在深部，这些值也是正确的，用你在（a）所得到的结果来确定由于地震，在5公里深的地方造成的应力变化，即计算的变化。把这看成是假定在垂直方向应变没有变化，应变与深度无关的二维问题。（c）计算在PFO因Lander地震，应变主轴的取向（水平）。用方位角表达你的答案（北东多少度）。（d）在PFO观测到应变稳定的长期变化，一年的变化量为：。注意到长期的应变变化接近于简单的E-W向拉伸，假定在过去100年，应变的速率是稳定的，初始应力为零，计算5公里深度应力张量的分量（注意，这或许是不很真实的假设！）不包括在5公里深度应力的流体静压分量。图2.4 在1992年南加利福尼亚地震（震中以南80公里的PFO观测台观测到的应变变化。（e）农民Bob在PFO附近有一平方公里的一小片土地，他将其围起来，并作高精度的测量。农民Bob每年增加或损失多少土地？由于Landers地震，他增加或损失多少土地？（f）（计算）编写计算机程序计算垂直断层两侧从0到170之间不同方位（从北到东以10增加）的应力。对你在（b）和（d）中计算的应力张量，作表列出断层方位和相应的剪应力及断层两边的法应力（对Landers地震，这些值是应力的变化，不是绝对值）。对每种情况，什么方位有最大的剪应力？对于(b)中的应力状态：Vp=6000;Vs=3500;dens=2700;miu=dens*Vs2;lam=dens*Vp2-2*miu;e11=0.26e-6;e22=0.92e-6;e12=-0.69e-6;ekk=e11+e22;s11=lam*(ekk)+2*miu*e11;s12=2*miu*e12;s22=lam*(ekk)+2*miu*e22;s=s11,s12;s12,s22;for theta=0:10:170 N=cos(deg2rad(theta) -sin(deg2rad(theta);sin(deg2rad(theta) cos(deg2rad(theta); theta S=N*s*Nend对于(d)的情况，改变应变值即可。（g）（计算）一些研究（例如，Stein等人，1992，1994；Harris和Simpson，1992；Harris等人，1995）通过假定沿断层地震破裂的可能性与库伦破裂函数CFF有关，模拟了大地震的空间分布。忽略了孔隙流体压力效应，CFF的变化可以表达为：这里是剪应力