高考数学常用结论集锦.pdf

Go the distance 当前第 页共 11 页 1 高考数学常用结论集锦高考数学常用结论集锦 一一 函数 1 函数 yf x 的图象的对称性 函数 yf x 的图象关于直线xa 对称 f axf ax 2 faxf x 函数 yf x 的图象关于点 a b对称 2 2 f xbfax 2 两个函数图象的对称性 函数 yf x 与函数 yfx 的图象关于直线0 x 即y轴 对称 函数 yf mxa 与函数 yf bmx 的图象关于直线 2 ab x m 对称 特殊地 yf xa 与函数 yf ax 的图象关于直线xa 对称 函数 yf x 的图象关于直线xa 对称的解析式为 2 yfax 函数 yf x 的图象关于点 0 a对称的解析式为 2 yfax 3 对数的换底公式 log log log m a m N N a 推论 log log m n a a n bb m 对数恒等式 logaN aN 0 1aa 4 导数 导数定义 f x 在点 x0处的导数记作 x xfxxf xfy x xx lim 00 0 0 0 常见函数的导数公式 C0 1 nn nxx xxcos sin xxsin cos aaa xx ln xx ee 1 log log aa xe x x x 1 ln 导数的四则运算法则 2 v vuvu v u vuvuuvvuvu 二 数列 1 若数列 n a是等差数列 n S是其前 n 项的和 Nk 那么 k S kk SS 2 kk SS 23 成等差数列 如图所示 k kkkk S SS kk SS kkk aaaaaaaa 3 232k 31221 S 321 其前 n 项和公式 1 2 n n n aa s 1 1 2 n n nad 2 1 1 22 d nad n 5 若等差数列 n a的前12 n项的和为 12 n S 等差数列 n b的前12 n项的和为 12 n S 则 12 12 n n n n S S b a 等比数列 n a的通项公式 1 1 1 nn n a aa qqnN q 等比数列 n a的变通项公式 mn mn qaa 其前 n 项的和公式 1 1 1 1 1 1 n n aq q sq na q 或 1 1 1 1 1 n n aa q q qs na q 三 三角函数 1 同角三角函数的基本关系式 22 sincos1 tan cos sin tan1cot 2 2 1 1tan cos 2 正弦 余弦的诱导公式 2 1 2 1 sin sin 2 1 s n n nn con 为偶数 为奇数 2 1 2 1 s s 2 1 sin n n conn co n 为偶数 为奇数 Go the distance 当前第 页共 11 页 2 即 奇变偶不变奇变偶不变 符号看象限符号看象限 如cos sin sin cos 22 sin sin cos cos 3 和角与差角公式 sin sincoscossin cos coscossinsin tantan tan 1tantan 22 sin sin sinsin 平方正弦公式 22 cos cos cossin sincosab 22 sin ab 辅助角 所在象限由点 a b的象限决定 tan b a 4 二倍角公式 sin2sincos 2222 cos2cossin2cos1 1 2sin 升幂公式 22 1cos21cos2 cos sin 22 降幂公式 2 2tan tan2 1tan 5 万能公式 2 2tan sin2 1tan 2 2 1tan cos2 1tan 6 半角公式 sin1cos tan 21cossin 7 三函数的周期公式 函数sin yAx x R 及函数cos yAx x R A 为常数 且 A 0 的周期 2 T 函数tan yx 2 xkkZ A 为常数 且 A 0 0 的周期T 8 sinyx 的 单 调 递 增 区 间 为 2 2 22 kkkZ 单 调 递 减 区 间 为3 2 2 22 kkkZ 对 称 轴 为 2 xkkZ 对称中心为 0k kZ 9 cosyx 的单调递增区间为 2 2kkkZ 单调递减区间为 2 2kkkZ 对称轴为 xkkZ 对称中心为 0 2 k kZ 10 tanyx 的单调递增区间为 22 kkkZ 对称中心为 0 2 k kZ 11 正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC 12 面积定理 1 111 222 abc Sahbhch abc hhh 分别表示 a b c 边上的高 2 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 3 22 1 2 OAB SOAOBOA OB 1 tan 2 OA OB 为 OA OB的夹角 13 三角形内角和定理 在 ABC 中 有 222 CAB ABCCAB 222 CAB 四 平面向量 1 平面两点间的距离公式 A B d ABAB AB 22 2121 xxyy A 11 x y B 22 xy 2 向量的平行与垂直 设 a a 11 x y b b 22 xy 且 b b 0 0 则 Go the distance 当前第 页共 11 页 3 a a b b b b a a 1221 0 x yx y a a b ab a 0 0 a a b b 0 1212 0 x xy y 3 线段的定比分公式 设 111 P x y 222 P xy P x y是线段 12 PP的分点 是实数 且 12 PPPP 则 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 OPOP OP 12 1 OPtOPt OP 1 1 t 4 若OAxOByOC O 不在直线 AB 上 则 A B C 共线的充要条件是 x y 1 五 直线和圆的方程 1 直线方程的五种形式 1 点斜式 11 yyk xx 直线l过点 111 P x y 且斜率为k 2 斜截式 ykxb b 为直线l在 y 轴上的截距 3 两点式 11 2121 yyxx yyxx 12 yy 111 P xy 222 P xy 12 xx 4 截距式 1 xy a bxy ab 分别为 轴 轴上的截距 且a0 b0 5 一般式 0AxByC 其中 A B 不同时为 0 2 两条直线的平行和垂直 1 若 111 lyk xb 222 lyk xb 121212 llkk bb 121 2 1llk k 2 若 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212211221 00llABA BACA C 且 121212 0llA AB B 3 夹角公式 21 21 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 1 2 1k k 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直线 12 ll 时 直线 l1与 l2的夹角是 2 直线 l1到 l2的角是 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 1 2 1k k 4 点到直线的距离 00 22 AxByC d AB 点 00 P xy 直线l 0AxByC 5 两条平行线的间距离 21 22 CC d AB 直线l 1 12212 0 0 AxByCl AxByCCC 5 圆中有关重要结论 1 若 P 0 x 0 y 是圆 222 x ay br 上的点 则过点 P 0 x 0 y 的切线方程为 2 00 xa x ayb y br 特例 若 P 0 x 0 y 是圆 222 xyr 上的点 则过点 P 0 x 0 y 的切线方程为 2 00 xxyyr 2 若 P 0 x 0 y 是圆 222 xay br 外一点 由 P 0 x 0 y 向圆引两条切线 切点分别为 A B 则直线 AB 的方程为 2 00 xa x ayb y br 特例 若 P 0 x 0 y 是圆 222 xyr 外一点 由 P 0 x 0 y 向圆引两条切线 切点分别为 A B 则直线 AB 的方程为 2 00 xxyyr 3 若 P 0 x 0 y 是圆 222 x ay br 内一点 以过 P 0 x 0 y 的弦的端点为切点向圆作两条切线 则两切线的交点的轨迹方程 Go the distance 当前第 页共 11 页 4 为 2 00 xa x ayb y br 特例 若 P 0 x 0 y 是圆 222 xyr 内一点 以过 P 0 x 0 y 的弦的端点为切点向圆作两条切线 则两切线的交点的轨迹方程 为 2 00 xxyyr 六 圆锥曲线 1 椭圆 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的参数方程是cos sin xa yb 2 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 焦半径公式 10 PFaex 20 PFaex 12 F F 分别为左右焦点 3 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的准线方程为 2 a x c 椭圆 22 22 1 0 xy ab ba 的准线方程为 2 a y c 4 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的通径 过焦点且垂直于对称轴的弦 长为 2 2b a 5 P 是椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 上一点 F1 F2 是它的两个焦点 F1P F2 则 P F1 F 2 的面积 2tan 2 b 当点P与椭圆短轴顶 点重合时 21PF F 最大 P 是椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 上一点 A B 是长轴的两端点 当点 P 在短轴端点时 APB 最大 6 若 AB 是过焦点 F 的弦 设 AFm BFn P 表示焦准距 则 112 mnep 2 双曲线 1 双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的准线方程为 2 a x c 双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ba 的准线方程为 2 a y c 2 双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的渐近线方程为 0 xy ab 双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ba 的的渐近线方程为 0 xy ba 3 P 是双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 上一点 F1 F2 是它的两个焦点 F1P F2 则 P F1 F 2 的面积 2 cot 2 b 4 若 AB 是过焦点 F 的弦 设 AFm BFn P 表示焦准距 AB 交在同支时 112 mnep AB 交在两支时 112 mnep 设mn 5 双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半半轴长轴长 准线过垂足 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项的距离的比例中项 2 共轭双曲线共轭双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 与 22 22 1 xy ab 其离心率分别为其离心率分别为 1 2 e e 22 12 11 1 ee 12 2 2ee 其其性质 性质 渐近线相同 焦距相同 焦点不同 3 3 渐近线相同的双曲渐近线相同的双曲线系线系方程为方程为 22 22 xy ab 0 渐近线方程都是渐近线方程都是 0 xy ab 7 7 有心型二次曲线 圆 椭圆 双曲线 上任一弦中点与中心连线的斜率与弦所在直线的斜率之积为 有心型二次曲线 圆 椭圆 双曲线 上任一弦中点与中心连线的斜率与弦所在直线的斜率之积为 1 1 x 2 2 焦点在 轴上 e 1 焦点在y轴上 e 对圆则是 为什么 3 抛物线 1 pxy2 2 上的动点可设为 P 2 2 y p y或 或 2 2 2 ptptP P x y 其中 2 2ypx 2 P 0 x 0 y 是抛物线pxy2 2 上的一点 F 是它的焦点 则 PF 0 x 2 p Go the distance 当前第 页共 11 页 5 3 抛物线 y2 2px p 0 的焦点弦 AB 性质 x1x2 4 2 p y1y2 p2 pBFAF 2 1 1 以 AB 为直径的圆与准线相切 以 AF 或 BF 为直径的圆与y轴相切 sin2 2 p S AOB 6焦点弦长 2 2 sin p l 其中 是焦点弦与 x 轴的夹角 7点 P 是抛物线pxy2 2 上的一点 F 是它的焦点 OF FP 则 1cos P PF AB 的中垂线与 X 轴交于点 R 则 2ABFR 6 抛物线 y2 2px p 0 对称轴上一定点 0 aA 则 若a p 顶点到点 A 距离最小 最小值为a 若 pa 抛物线上有关于x轴对称的两点到 A 的距离最小 最小值 为 2 2app 7 直线与圆锥曲线相交 弦长公式 2 22 1212 114ABkkxxx x a 2 1212 2 1 14yyy y k 4 A B 是抛物线 y2 2px p 0 上两点 则直线 AB 过定点 12 02M ay yap 或 2 12 x xa 1 先证 设直线 AB xmya 与抛物线方程联立得 2 12 2202ympyapy yap 从而可得 2 1 2 x xa 2 再证 设直线 AB xmyr 与抛物线方程联立得 2 12 22022ympyrpy yrpapra 从而可证得直线 AB 过定点 0M a 5 抛物线 y2 2px p 0 与直线y kxb 相交于 1122 A x yB xy 且该直线与y轴交于点 3 0 Cy 则有 123 111 yyy 6 过抛物线 y2 2px p 0 的焦点F的直线交该抛物线于A B两点 自A B两点向准线作垂线 垂足分别为 11 A B 则 0 11 90AFB 其逆命题 若 0 11 90AFB 则 A F B 三点共线 若点 若点 M M 是准线上任一点 则是准线上任一点 则 0 90AMB 7 过抛物线 y2 2px p 0 的顶点 O 作两条互相垂直的动弦 OA OB 则 22 1 212 4 4x xpy yp 直线 AB 过定点 2 0Mp OAB S的最小值为 2 4p 4 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 22 1212 ABxxyy 或 22 12 11ABxxkk a 弦端点 A 2211 yxByx 由方程 0 y x F bkxy 消去 y 得到0 2 cbxax 0 k为直线的斜率 若 弦 端 点 A 2211 yxByx由 方 程 0 y x F bkxy 消 去 x 得 到 2 0aybyc 0 k为 直 线 的 斜 率 则 12 22 11 11AByy kak 5 圆锥曲线 0F x y 关于点 00 P xy成中心对称的曲线是 00 2 2 0Fx xyy 求圆锥曲线的切线与切线有关的过定点问题求圆锥曲线的切线与切线有关的过定点问题 1 已知点 00 P xy是椭圆 22 22 10 xy ab ab 上任意一点 求以点P为切点的切线方程 Go the distance 当前第 页共 11 页 6 解 若 22 2 0 22 0 11 xx yf xbb aa 设 2 000 0 2 2 2 0 0 2 0 2 1 bxbxb x kfx y a y x a a b a 切线为 2 22222222 0 000000 2 0 b x yyxxb x xa y yb xa ya b a y 00 22 1 x xy y ab 若 2 0 2 0 1 x yf xb a 设 2 0 0 2 0 b x kfx a y 与 同理得 00 22 1 x xy y ab 若 0 0 0yPa 则 则切线xa 亦满足 故所求的切线方程为 00 22 1 x xy y ab 2 已知点 00 P xy是双曲线 22 22 10 0 xy ab ab 上任意一点 求以点P为切点的切线方程 解 若 22 2 0 22 0 11 xx yf xbb aa 设 2 00 0 2 2 0 2 0 2 1 bxb x kfx a y x a a 切线为 2 22222222 0 000000 2 0 b x yyxxb x xa y yb xa ya b a y 00 22 1 x xy y ab 若 0 0 y 与 同理得 00 22 1 x xy y ab 若 0 0 0yPa 则 则切线xa 亦满足 故所求的切线方程为 00 22 1 x xy y ab 3 已知点 00 P xy是抛物线 2 20 xpy p 上任意一点 求以点P为切点的切线方程 解 2 00 11 2 f xxfxx pp 00 000 2 2 xyy yyxxx xp p 切线 4 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 点 P m t是定直线 l xm 上一动点 过点 P 作椭圆的两条切线 PA PB A B 为切点 求证 直线 AB 过定点 并求出定点的坐标 证明 设 1122 A x yB xy 由第 1 题的结论 则 11 22 1 x xy y ab 22 22 1 x xy y ab 则有1 1 22 1 x my t ab Go the distance 当前第 页共 11 页 7 22 22 1 x my t ab A B 两点的坐标满足 22 1 mt xy ab 故直线 AB 22 1 mt xy ab 由于m t定 变 2 0 a yx m 令定值 即直线 AB 过定点 2 0 a m 点评 若点 P m t定直线 l yt 上的动点呢 则直线 AB 过定点 2 0 b t 5 已知双曲线 22 22 10 0 xy ab ab 点 P m t是定直线 l xm 上一动点 过点 P 可作双曲线的两条切线 PA PB A B 为切点 求证 直线 AB 过定点 并求出定点的坐标 证明 设 1122 A x yB xy 由第 2 题的结论 则 11 22 1 x xy y ab 22 22 1 x xy y ab 则有1 1 22 1 x my t ab 22 22 1 x my t ab A B 两点的坐标满足 22 1 mt xy ab 故直线 AB 22 1 mt xy ab 由于mt定 变 2 0 a yx m 令定值 即直线 AB 过定点 2 0 a m 点评 若点 P m t定直线 l yt 上的动点呢 只要能过其上的点作两条切线 则直线 AB 过定点 2 0 b t 6 已知抛物线 2 20 xpy p 点 P m t是定直线 l yt 上一动点 过点 P 可作抛物线的两条切线 PA PB A B 为切点 求证 直线 AB 过定点 并求出定点的坐标 证明 设 1122 A x yB xy 由第 3 题的结论 则 1122 x mp ytx mp yt A B 两点的坐标满足 mxp yt 故 直 线AB mxp yt 由 于mt变 定 0yt 令x定值 即直线 AB 过定点 0 t 7 已知椭圆 C 22 22 10 xy ab ab 的左 右顶点分别是 A B 设 Qmt是直线 l xm 上的动点 若直线 QA QB 与椭圆 C 分别交于 M N 求证 直线 MN 过定点 2 0 a m 证明 222222 t yxa ma b xa ya b 22 22 223 24 222 20maba txa t xa ta bma 2 23 22 22 22 222 2 2 abmaa tab t ma M maba tmaba t Go the distance 当前第 页共 11 页 8 同理 2 3 222 22 22 222 2 2 a tabmaab t ma N maba tmaba t 2 2222 2 2 MN b mt k bmaa t 直线MN 2 223 2 2 22 2222 2 22 222 2 22ab t maabmaa tb mt x bmaa tmaba tmaba t y 令 2 0 a yx m 故直线 MN 过定点 2 0 a m 注意 理解思路 试题一般会告知具体数字 变式 已知椭圆 C 22 22 10 xy ab ab 的上 下顶点分别是 A B 设 Q m t是直线 l yt 上的动点 若直线 QA QB与椭圆 C 分别交于 M N 求证 直线 MN 过定点 2 0 b t 8 已知双曲线 C 22 22 10 0 xy ab ab 的左 右顶点分别是 A B 设 Qmt是直线 l xm 上的点 直线 QA QB 与双曲线 C 分别交于 M N 求证 直线 MN 过定点 2 0 a m 9 已知抛物线 2 20ypx p 的顶点为O P为直线 0 xa a 上一动点 过点P作x轴的平行线与抛 物线交于点M 直线OP与抛物线交于点N 则直线MN过定点 0A a 证明 设 2 2 m Pa mMm p 则 直线OP m yx a 代入 2 2ypx 得 2 2 22 papa N mm 直线MN 2 22 2 2 22 2 pa m m m ymx mpap pm 0yxa 点评 过定点 0A a的直线MN与抛物线交于点 M N 经过点M和抛物线顶点O的直线交定直线lxa 于P 则 PNx 轴 过定点 0A a 的直线MN与抛物线交于点 M N 作PN x轴交定直线lxa 于P 则 M O P三点共线 10 已知点P是椭圆 C 22 22 10 xy ab ab 上 不同于左 右顶点 A B 的任意一点 直线 PA PB分别交直线 l xm 于点 M N 则以 MN 为直径的圆经过 定点 证明 222 12 12 1 PAPB yy kky ymae mama Go the distance 当前第 页共 11 页 9 以 MN 为直径的圆 12 0 xmxmyyyy 令 22 0 b yxmma a 即过定点 22 0 b mma a 11 过抛物线 2 20ypx p 的焦点 F 任意作直线l与抛物线交于点 A B两点 则在x轴上存在定点 0 2 p M 使MF始终平分AMB 证明 设 2 p l yk x k不存在时显然成立 设 1122 A x yB xy 则由 2 2 2 p yk x ypx 22 222 20 4 p k k xp kx 则 2 4 AB p x x 12 12 1212 22 0 2222 MAMB pp k xk x yy kk pppp xxxx MF始终平分AMB 点评 过定点 0 2 p M 作直线l与抛物线 2 20ypx p 交于点 A B两点 点B与点 B 关于x轴对称 则直线 AB 过定点 0 2 p F 12 过椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左焦点 F 任意作直线l与椭圆交于点 A B两点 则在x轴上存在定点 2 0 a M c 使MF始终平分AMB 点评 过定点 2 0 a M c 作直线l与椭圆 22 22 10 xy ab ab 交于点 A B两点 点B与点 B 关于x轴对称 则直线 AB 过定点 即焦点 0Fc 13 过双曲线 22 22 10 0 xy ab ab 的右焦点 F 任意作直线l与双曲线交于点 A B两点 则在x轴上存在定点 2 0 a M c 使MF始终平分AMB 点评 过定点 2 0 a M c 作直线l与双曲线 22 22 10 0 xy ab ab 交于点 A B两点 点B与点 B 关于x轴对称 则直线 AB 过定点 即焦点 0F c 14 已知椭圆 22 22 1 xy ab 上有一点 00 P xy 过 P 作倾斜角互补的两条直线 PM PN 分别与椭圆交于异于点 P 的两 点 M N