22、单调和有界变差函数 绝对连续函数.pdf

实变函数论实变函数论实变函数论实变函数论 第22讲 4 微分与不定积分 一 单调函数 二 有界变差函数 三 绝对连续函数 至此已知 L积分扩大了R可积函数类 至此已知 L积分扩大了R可积函数类 克服了R积分的三个不足之两个 能否使积分与微分互逆 微分与不定积分微分与不定积分 a xa xa x F xf t dtft dtft dt 为两个单调不减函数的差 一 单调函数一 单调函数 二 有界变差函数二 有界变差函数 三 绝对连续函数三 绝对连续函数 积分与极限交换顺序条件减弱积分与极限交换顺序条件减弱 一 单调函数一 单调函数 1 分析性质1 分析性质 需用到1 法都引理 2 左 上 下 右 上 下 导数 3 维它利覆盖定理等 存在单增函数f 使得 a b fx dxf bf a a e 1 单调函数间断点必为第一类 从而至多可数 即连续 fR a bfL a b 2 单调函数从而必有 fa baefa bae 3 单调函数 在上可微 即 在上存在 4L fa b 5 a b fx dxf bf a 二 有界变差函数二 有界变差函数 1 定义1 定义 012 1 1 n n iif i f xa ba b axxxxb f xf xfV 1 设 定义在上 对于的任一分划 称 为 关于分划 的变差 记为 1 1 2 sup n ii i b fa a bf xf x f xa bfBV a b Vf xa bVf 若对于的所有分划有界 则称为上的有界变差函数 记为 称为在上的总变差 全变差 记为 b a fBV a bVf 存在有限 1 2 b a fBV a b Vf 对于商 需 6 x a F xVfa b 是上单增函数 211212 11 21 0 xxxxxx aaaxax F xF xVfVfVfVfVfVf 3 有界变差函数类3 有界变差函数类 1 a b 上 单 调 函 数 b a Vff bf a 即对 可测 只要就有 1 2 ii a ba bin 那么对内的任意有限个互不相交的开区间 1 1 n ii i n ii a b i baf xdx 只要就应有 1 n ii i a b f tdt 设是上的有限函数 若 对中的任意有限个互不相交的开区间 11 nn iiii ii baF bF a F x 只要 就有 则称为 a b 上的绝对连续函数 2 绝对连续函数类2 绝对连续函数类 2 a b 上满足李普西兹条件的函数 2 a b 上满足李普西兹条件的函数 3 a b 上导数有界的函数 3 a b 上导数有界的函数 4 a b 上导数连续的函数等 4 a b 上导数连续的函数等 1 绝对连续函数定义1 绝对连续函数定义 L 取 1 若 则为绝对连续函数 1 若 则为绝对连续函数 fL a b a x f t dtF x 设设F x 在在 a b 上绝对连续 则其上绝对连续 则其 3 绝对连续函数性质3 绝对连续函数性质 1 和 差 积 商等仍然是绝对连续的 1 和 差 积 商等仍然是绝对连续的 2 必是一致连续 连续 有界变差函数 有界函数 反之未必 2 必是一致连续 连续 有界变差函数 有界函数 反之未必 3 几乎处处有有限导数 可微 导数几乎处处有有限导数 可微 导数L可积可积 4 a b F x dxF bF a 定理定理 5 绝对连续函数可使求导与求积互逆 一定可使N L公式成立绝对连续函数可使求导与求积互逆 一定可使N L公式成立 注注1 问题 若一个函数在 a b 可积 那么它的变限积分问题 若一个函数在 a b 可积 那么它的变限积分 是否是它的原函数呢 是否是它的原函数呢 定理6定理6 a x fL a bF xf t dta b F xf xaea b 设则必是上的绝对连续函数 使得于 L F xa bF xa b 因此 由绝对连续函数的性质知在上几乎处处可微 0 0 a x fL a bf t dtf xaea b 设则于 a b F x由于是上的绝对连续函数 引理4引理4 证明证明 x a xa bF xF aF t dt 且对任意有 x a F xF af t dt 又由定义有 0 x a F xa bF tf t dtatb 则在上几 4 F xf x aea b 由引理 得于 注注2 C a x fL a bF xf t dtfa b 设称 为 在上的不定积分 L可积函数的不定积分一定是绝对连续函数 且是该函数的原函数 注注3 类似于黎曼积分计算中的变量替换法以及分部积分法 勒贝格积分中也有吗 类似于黎曼积分计算中的变量替换法以及分部积分法 勒贝格积分中也有吗 a x b a a ba b f xa bxL a bg xt dtC f xx dxf x g xg x fx dx 在上绝对连