小波变换2.doc

5.3 多分辨率分析小波变换： 小波反变换: 具有变尺度的性质，在不同尺度下对信号进行分析，称为信号的多尺度分析。小波变换中尺度的变化，将引起时、频域分辨率的变化（时频矩形窗），因此信号的多尺度分析实际上就是信号的多分辨率分析。 即多尺度分析-多分辨率分析5.3.1 正交多分辨率分析的概念多分辨率分析-由空间划分来看是多分辨率逼近，最终目的是力求：1）构造一个在频率上高度逼近空间的正交基； 2）将信号投影到由这些基函数组成的频谱由低到高的正交子空间中。（或者说就是用某些基函数将信号按照频谱的低到高进行分解描述）。在一个平方可积空间 中对于任一信号 ，可以考虑用分辨率来逼近该信号的问题（二进尺度，这里对应简称尺度， ） （5-20）先来看频谱由低到高子空间（正交）的划分问题，再来考虑信号的逼近问题5.3.1.1 空间（正交）的划分问题将空间逐级二分， 这样逐级二分的函数分为两类，(1) 令一类函数： 其频谱只有在的有限区间内部不为零（低通特性），把具有这一性质函数的集合记作 。(2) 令一类函数：其频谱只有在的有限区间内部不为零（表现为带通特性），把具有这一性质函数的集合记作。注意：尺度J决定子空间层。这两个频谱不断张成2倍扩展的集合序列将产生一组逐级包含的子空间： （5-21） （5-22）逐级包含的子空间有如下很特殊的性质：1）单调性：对所有的（整数）有 即 （5-23）即如果某函数属于其中的某个尺度的子集，则它同时也属于尺度更小的子集。2）完整性 当时有即包含整个平方可积的实变函数空间 当时有空集即空间最终二分至空集为止。3）平移不变性 如果 则 （5-24） 如果 则 （5-25）4）伸缩性 如果 则 （5-26）如果 则 （5-27）从本性质可知，尺度越大（越大）则该集合函数的频谱低频成分越多而高频成分越少。5）正交性 即： （5-28）这样的二分保证了空间和正交，而且各个之间也正交。 即任意级子空间可由下一集子空间以及它的正交补空间相加而成。有了空间的正交划分，可以考虑信号的逼近问题：分为两步理解：1）建立子空间的正交基表述2）信号在子空间相应正交基上的投影（信号的描述）5.3.1.2 信号的逼近问题-多分辨率分解组成了全频范围内的空间集合（），接下来就应该是如何表述子空间和信号在这些子空间上的分解问题。1）建立子空间的正交基（坐标系）设在子空间中有低通的平滑函数，整数时移后的函数组成中的一个正交归一基即： （5-29）如果在子空间中存在带通函数，整数时移后的函数组成中的一个正交归一基即 （5-30）带通函数满足：，平移参数K决定层内的变化。考虑到尺度和时移的变化： 称为尺度函数 ， （5-31） 称为小波函数 （5-32）根据伸缩性和单调性可以证明：由尺度函数组成中的一个正交归一基： （5-33）由小波函数组成中的一个正交归一基 （5-34）（1）将空间，用尺度函数形成的正交归一基来表述，所以也称为尺度空间。 （2）用小波函数形成的正交归一基来表述，所以也称为小波空间。 可以看出多分辨率分析仅对尺度空间进行分解。 2）对信号的描述问题有了正交归一基（坐标）就可以讨论信号的描述问题-其实就是信号在该正交归一基下的投影分解。信号在上的投影可以表示为正交归一基的线性组合，即： （5-35）其中是线性组合的权重函数，为信号在上的平滑逼近，是信号在分辨率下的情况。同理信号在和上的投影和表示为其相应基的线性组合，即 （5-36） （5-37） （离散逼近） （5-38） （离散细节） （5-39）即线性组合的权重函数由信号与正交基的内积求得。由于，则 （5-40）其中为信号在分辨率下的平滑逼近为信号在分辨率下的平滑逼近（低频部分）为信号在分辨率下的细节（高频部分），因为，所以它反映的是信号在两种分辨率和下的平滑逼近之间的细节差异。= （5-41）所以就是小波变换（二进制）每分解一次，的采样都比原来稀疏两倍，分辨率越来越粗，波形越来越光滑；而其频谱带宽每次也以两倍缩减。总结：多分辨率分析就是多尺度分析多分辨率分析将空间划分为逐级包含的子空间 （正交的） 将空间，用尺度函数和小波函数形成的正交归一基来表述。多分辨率分析-信号逼近，将信号表示为子空间，下的尺度函数和小波函数基的描述（分解到不同频段上）（而付氏变换是把能量有限信号分解到以为正交基的空间上去）。这种描述的离散逼近和离散细节可由信号与尺度函数或小波函数的内积求解。所以多分辨率分析是把平方可积的函数按其变化的快慢程度，即频谱的高低分为不同的子集。多分辨率分析仅对尺度空间进行分解。5.3.2 正交多分辨率分析的尺度函数和小波函数信号多分辨率分析的关键是：找合适的尺度函数和小波函数，将信号的高低频谱分解到，子空间上。这种逐级包含的子空间必然存在着特殊关系。那么，尺度函数之间，小波函数之间，尺度函数与小波函数之间有何关系？是否存在简便算法，本节解决由尺度函数推出尺度函数和小波函数的算法问题。5.3.2.1尺度函数 而且，因此组成的正交基，（由求得）。那么与有何关系？由 和，所以可以用的标准正交基的线性组合表示，即 （5-42）此式将两个尺度函数（还可以写成）和（还可以写成）联系起来。 此式被称为“二尺度差分方程”，序列被称为二尺度序列，由它建立起正交尺度基的描述，它决定着尺度函数的构造。上式是由尺度的尺度函数，推出的尺度函数情况。一般情况为： （5-43） 由尺度函数的定义还可以写成下列形式：所以： （5-44） 这是一般的“二尺度差分方程”，等式两边求内积可得： （5-45）既仅取决于相邻的尺度函数。可见二尺度序列的取值与无关，在相邻的两个分辨率和之间都成立。正交尺度基是由尺度函数的平移和伸缩与的线性组合获得。5.3.2.2小波函数同理可得： （5-46） ， （5-47） （5-48） （5-49）既取决于尺度函数和小波函数可见小波尺度序列的取值与无关，在相邻的两个分辨率和之间都成立。可见由和可推出其所包含的下一层的尺度函数由和可推出其所包含的下一层的小波函数正交小波基是由尺度函数的平移和伸缩与的线性组合获得。5.3.2.3时域的双尺度方程 尺度函数： ，写成另一种形式： 二尺度序列： 小波函数： ， 写成另一种形式： 小波尺度序列： 双尺度方程揭示了两个尺度的尺度函数与尺度函数、尺度函数与基本小波之间的关系，是多尺度分析的核心关系式。二尺度序列总和： （5-50）小波尺度序列总和： （5-51）5.3.2.4频域的双尺度方程 （5-52） （5-53） （5-54） （5-55） 其中