7_4多元复合函数的微分法.pdf

第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 二 全微分形式不变性二 全微分形式不变性 一 链式法则一 链式法则 三 小结 思考题三 小结 思考题 四 作业四 作业 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 证证 uttt vttt 一 链式法则一 链式法则 导 导数 可导 导 导数 可导 定理定理 在对应点具有连续偏在对应点具有连续偏函数函数 zf u v u v 在对应点在对应点 zftt t则复合函数 且其导数可用下列公式计算 则复合函数 且其导数可用下列公式计算 dzz duz dv dtu dtv dt 及都在点 可及都在点 可 ut vt t如果函数如果函数 设设t获得增量获得增量 t 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 由于函数由于函数 vufz 在点在点 vu有连续偏导数有连续偏导数 12 zz zuvuv uv 0 1 0 2 12 zzuzvuv tutvttt udu tdt vdv tdt 0 lim t dzz dtt 当当0 u 0v 时 时 z duz dv u dtv dt 0 u 0 v 当当0 t 时 时 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况 如如 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz u v w t z 以上公式中的导数称为以上公式中的导数称为全导数全导数全导数全导数 dt dz 上述定理还可推广到中间变量不是一元函数上述定理还可推广到中间变量不是一元函数 yxyxfz 而是多元函数的情况 而是多元函数的情况 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 例例1 设设 223 sin sin uv zev ut vt 求求 dz dt 解解 u v t z dz dt z duz dv u dtv dt 2 cos uv et 22 2 2sin cos3 uv evvt 3 sin2223 cos63sin2 tt etttt 这里最终将这里最终将 dz dt 表示为表示为t的函数 的函数 注注 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 z duz dvz dw u dtv dtw dt 2 cos2uvt 例例2设设 22 sinln cos t zuvw ue vtwt 求求 dz dt 解解 dz dt 2 sin t uv e 1 sin t w 2222 2sin2costan tt ettett u v w t z 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 点点 vu具有连续偏导数 具有连续偏导数 导数存在 导数存在 如果及都在点如果及都在点 ux y vx y x y 具有对 和的偏导数 具有对 和的偏导数 xy 在对应点的两个偏在对应点的两个偏 zfx yx y x y 且可用下列公式计算且可用下列公式计算 则复合函数则复合函数 在对应在对应 zf u v 且函数且函数 zzuzv xu xv x zzuzv yu yvy 链式法则链式法则 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 u v x z y 上述链式法则如图示上述链式法则如图示 z x z u u x z v v x z y z u u y z v v y 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 z w v u y x 类似地再推广 类似地再推广 yxw w 都在点都在点 yx具有对具有对x和和y的偏导数 函数 的偏导数 函数 yxwyxyxfz 在对应点在对应点 yx 两个偏导数存在 两个偏导数存在 x w w z x v v z x u u z x z y w w z y v v z y u u z y z 复合复合 yxu yxv 设设 且可用下列公式计算且可用下列公式计算 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 解解 x z u z x u v z x v 2121uv 4 x y z u z y u v z y v 212 1 uv 2 2 xyxy u v x z y 2 2 xyxy 4 y 例例3 设设 22 zuv 而 而 uxy vxy 求求 x z 和和 z y 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 例例4 设设 22222 sin sin cos z uxyy exrst yr st 3 t zr se 求求 u s 在在 1 1 0 r s t 的值 的值 解解 u z y x t s u s u x xs u y ys u z zs 2 sinsinxy rt 222 cos2 2cos z xyyesrt 223 2 zt y er e 因因 1 1 0 r s t 时 时 0 1 1 xyz 11 0 u s 220 2221eee 2 6 e 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 解解 sin x uey 22 vx令令y z x x v v f x u u f sin2 x ff eyx uv u v x z y 则则 zf u v z y fufv uyvy cos2 x ff eyy uv 例例5 设设 22 sin x zf ey xy f 连续偏导数 求连续偏导数 求 zz xy 具有二阶具有二阶 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 特殊地特殊地 yxufz yxu 即即 yxyxfz x f x u u f x z y f y u u f y z 令令 xv yw 其中其中 1 x v 0 x w 0 y v 1 y w 把复合函数把复合函数 yxyxfz 中的中的y看作不变而对看作不变而对x的偏导数的偏导数 把把 yxufz 中的中的u及及y看作不 变而对 看作不 变而对x的偏导数的偏导数 两者的区别两者的区别 区别类似区别类似 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 例例6 设设 442 xyz ue 而 而 2 tan zyx 求求 uu xy 解解 x y x u y z 这里的变量这里的变量 x y 既是复合函数的自变量 又是中间变量 免出现记号的混淆 引入记号 既是复合函数的自变量 又是中间变量 免出现记号的混淆 引入记号 442 xyz uf x y ze 则则 u x ffz xzx 442 3 4 xyz x e u y ffz yzy 442 3 4 xyz y e 442 342sec 2 2tansec xyx xyxx e 442 3sec2 4sec xyx y ex 为了避 先 为了避 先 f 442 2 xyz ze 442 2 xyz ze 22 secyx 2 tanyx 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 例例7 设设 22 2 zfxy x yf 是是 2 C类函数 求 类函数 求 2 zz xx y 令令 22 2 uxy vx y 解解 则则 zf u v z u v x y 为了表达简单 引入以下记号 为了表达简单 引入以下记号 1 f u v f u 于是于是 z x fufv u xv x 2 12 22 ffxy 2 f u v f v 2 12 f u v f u v 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 2 12 22 z ffxy x 22 2 uxy vx y 2 z x y 2 12 22ffxy y 1 2 f y 2 2 2 42 f xyfxy y 1 2 f f 1 f y 11 fufv uyvy 2 1112 12 ffx y 2 f y 22 fufv uyvy 2 2122 12 ffx y 2 z x y 2 1112 24fx yf 33 1112222 22 2 44 fxyxy fx y fxyf u v x y 2 4xyf 233 2122 24xy fx y f 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 二 全微分形式不变性二 全微分形式不变性 设函数设函数 vuf z 具有连续偏导数 具有连续偏导数 dv v z du u z dz 当当 yxu yxv 时 时 则有全微分则有全微分 dy y z dx x z dz 有有由于由于 dy y z dx x z dz zuzv dx u xv x zuz v dy u yv y 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 无论 是自变量的函数或中间变量无论 是自变量的函数或中间变量zvu vu 的函数 的函数 全微分形式不变性的实质 全微分形式不变性的实质 zuu dzdxdy uxy zvv dxdy vxy zz dudv uv zuzvzuz v dzdxdy u xv xu yv y 多元函数多元函数全微分形式不变性全微分形式不变性 这一性质称为 这一性质称为 zz dzdudv uv 都有都有 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 例例8设求全微分设求全微分 dz xy z xy 3 解解 1 lnln ln 3 zxyxy 两边求全微分 两边求全微分 1 3 dzdxdydxdy zxyxy 同时得到 同时得到 即即 z x z y 22 2 3 xyy xy xy 3 22 2 3 xyx xy xy 3 2222 22 33 xyyxyx dzdxdy xy xyxy xy 33 利用全微分形式的不变性 可得利用全微分形式的不变性 可得 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 解解 0 2 zxy ezed 02 dzedzxyde zxy 2 ydxxdyedze xyz dy e xe dx e ye dz z xy z xy 2 2 x z 2 z xy e ye y z 2 z xy e xe 例例9 已知已知02 zxy eze 求 求 x z 和和 z y 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 1 链式法则 链式法则 分三种情况 分三种情况 2 全微分形式不变性 全微分形式不变性 特别要注意课中所讲的特殊情况 特别要注意课中所讲的特殊情况 理解其实质 理解其实质 三 小结三 小结 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 思考题思考题 设设 zf u v x 而而 ux vx 则则 x f dx dv v f dx du u f dx dz 试问试问 dx dz 与与 x f 是否相同 是否相同 为什么为什么 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 思考题解答思考题解答 xu v xx dzfdu dxudx u v xxu v x fdvf vdxx 等式左端的等式左端的z是作为一个自变量是作为一个自变量x的函数 的函数 不相同不相同 写出来为写出来为 x f dx dv v f dx du u f dx dz zf u v x ux vx 而等式右端最后一项而等式右端最后一项 f 是作为是作为 u v x 的三元函数 的三元函数 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 一 填空题 一 填空题 1 设 1 设 xy yx z cos cos 则 则 x z y z 2 设 2 设 2 2 23ln y yxx z 则 则 x z y z 3 设 3 设 3 2sintt ez 则 则 dt dz 二 设二 设 u v uez 而 而xyvyxu 22 求 求 y z x z 练 习 题练 习 题 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 三 设三 设 arctan xyz 而 而 x ey 求 求dx dz 四 设 四 设 22xy eyxfz 其 其具中 具中f有一阶连续偏导 数 求 有一阶连续偏导 数 求 y z x z 五 设 五 设 xyzxyxfu 其具中 其具中f有一阶连续偏导 数 求 有一阶连续偏导 数 求 z u y u x u 六 设六 设 y x xfz 其具中 其具中f有二阶连续偏导数 求 有二阶连续偏导数 求 2 22 2 2 y z yx z x z 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 七 设七 设 22 yxf y z 其中为可导函数 验证 其中为可导函数 验证 2 11 y z y z yx z x 八 设 八 设 其中其中yyxxz 具有二阶导数 求 具有二阶导数 求 2 2 2 2 y z x z 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 一 1 一 1 xy yyyxx xy xxxy 222 cos cossin cos cos sin coscos 2 2 23 3 23ln 2 2 2 2 yyx x yx y x 2 2 3 2 23 2 23ln 2 yyx x yx y x 3 3 43 1 41 3 23 2 tt t 二 二 2 2 22 222 2 yx xy e yyx yx yx x z 22 2 22 2 2 yx xy e yx xy xy y z 练习题答案练习题答案 第四节 多元复合函数的微分法第四节 多元复合函数的微分法 三 三 x x ex xe dx