第八章 振动与波动.pdf

第八章 振动与波动 8 1 简谐振动的表达式和简谐波的表达式有什么不同 又有什么联系 解 简谐振动 t cosA x 简谐波 cos v x tAy 简谐波传播的只是振动的 状态 介质中的各质点仅在各自平衡位置附近振动 并不随 波迁移 而简谐振动只描述单个质点的运动状态 8 2 设在一个时刻 一个向右传播的平面余弦横波形曲线的一部分如图 8 27 所示 试分别说 明图中 ABCDEFGHI 各点在该时刻的运动方向 在 1 4 周期前和 1 4 周期后 这波的波形图 又是怎样的 A B C D E F G H I v y y y y O x x x x 图8 27 题8 2图 A B C D E F G H I v y y y y O x x x x 图8 27 题8 2图 解 A 点向下 B 向下 C 点向下 D 点向上 E 点向上 F 点向上 G 点向上 H 点向下 I 点向下 8 3 设一简谐振动的方程为 求 1 振动的振幅 频率和初位相 mtx 4 20cos 1 0 2 t 2 0s 时的位移 速度 解 1 振动的振幅为 A 0 1m 频率为 2 10 初位相 4 2 t 2s 时的位移mmx07 0 205 0 4 220cos 1 0 速度smtv 44 4 2 22 4 20sin 201 0 8 4 质量为 20g 的小球与轻质的弹簧构成弹簧振子 此系统按方程 4 4cos 004 0 tx 振动 式中 t 的单位为 s 求 1 振动的角频率 周期 初位相 速度及加速度的最大值 2 t 2 5s 时的相位 解 1 振动的角频率为 4 周期为 T 0 5 振幅 A 0 004 初相位 4 速度的最大值 v 4 0 004 0 05 加速度的最大值为 a 0 004 16 2 0 63m s2 2 t 2 5s 时的相位 4 2 5 4 39 4 8 5 一个 2 10 3Kg 的质点作简谐振动 其振动方程 求 mtx 2 5cos 106 2 1 振幅和周期 2 起始位移和速度 3 2s 末的位移 速度 加速度 动能和势能 解 1 振幅 A 0 06 周期 T 2 2 5 2 起始位移为 0 速度为 0 3m s 3 2s 末的位移 x 0 06m 速度 v 0m s 加速度 a 1 5 m s2 动能 Ek 0 势能 Ep kx2 2 得出 所以 5 2 2 m k T 25 1 5 1 m k m k JmEp 62 1044 1 06 0 25 1 2 1 8 6 两质点在同一直线上作同频率 同振幅的简谐振动 振动过程中 每当它们经过振幅一 般的地方相遇 而运动方向相反 求它们的相位差 并用旋转矢量表示 解 由已知将两质点的振动方程写为 由于它们经过振幅一半的地方 22 11 cos cos tAx tAx 相遇 且运动方向相反 所以 由此得相位差为 3 2111 2111 sinsin 2 coscos tAtA AtAtA 8 7 已知两同方向 同频率的简谐振动的振动方程分别为 mtx mtx 5 1 10cos 6 5 3 10cos 5 2 1 求 1 合振动的振幅及初相 2 在另一同方向 同频率的简谐振动 mtx 10cos 7 33 则 3为多少时 x1 x3振幅最大 又 3为多少 x2 x3振幅最小 解 1 合振动的振幅 91 8 5 2cos65265 cos 2 22 2121 2 2 2 1 AAAAA 初相位 2 68 504 2 5 cos65 3cos5 5 sin65 3sin5 coscos sinsin 2211 2211 arctg arctg AA AA arctg 2 使 x1 x3振幅最大 则要求他们的初相位一致 即 3 3 5 使 x2 x3振幅最小 则要求它们的初相位相差 即 3 5 4 5 8 8 当简谐振动在介质中传播时 问 1 波源振动的周期 或频率 与波动周期 或频率 数值是否相同 2 波源振动的速度与波速是否相同 解 1 波源的振动周期与波动周期在数值上是相同的 2 波源振动的速度与波速是不同的 波速与传播的介质有关 8 9 一声波在空气中的波长是 0 25m 速度是340m s 当它进入另一介质时 波长变为0 79m 求它在这种介质中的传播速度 解 声波在空气中的波长是 0 25m 速度是 340m s 而声波在任何介质中的的频率是相同的 所以 进入另一种介质时 则存在smv vv 6 107 2 2 2 1 1 8 10 在以平板下装有弹簧 平板上放一质量为 1 0Kg 的重物 若平板在竖直方向上做上下 的简谐振动 周期为 0 5s 振幅为 0 2m 求 1 平板到最低点时 重物对平板的作用力 2 若频率不变 则平板已多大的振幅振动时 重物跳离平板 3 振幅不变 则平板以多大 的频率振动时 重物跳离平板 解 解 1 0 取坐标 OX 竖直向上为正 平衡位置为坐标原点 以物体 m 为研究对象 它受到 竖直向下的重力 G 平板对它的支持力 N 当物体和板一起振动时 有 N mg ma m w2x 当平板在最低点时 加速度最大 即 N mg mw2A其中m 1kgw 2 T 4 A 0 2m 所以N 41 35N 当谐振动达到负的最大值时 平板对物体的作用力为 N mg mw2A 当谐振动达到正的最大值时 平板对物体的作用力为 N mg mw2A 重物要跳离平板 则要求 N 0 即 mg mw2A 0 2 若频率不变 g w2AA g w2 0 06m 3 若频率不变 g w2Aw2 g A 49 即 w 7Rad s 8 11 波源做简谐振动 其坐标原点的振动表达式为 它所形成mty 240cos 100 4 2 的波依 30m s 的速度沿 x 轴正向传播 试写出简谐波的表达式 解 坐标原点的振动表达式为 mty 240cos 100 4 2 而波以 30m s 的速度沿 x 轴正向传播 简谐波的表达式可以写为 m x ty 30 240cos 100 4 2 8 12 一波源做简谐振动 周期为 0 01s 经平衡位置向 x 轴方向运动时 作为计时起点 设 此振动以 v 400m s 的速度沿直线传播 求 1 这波动沿某一波线的方程 2 距波源为 16m 和 20m 处质点的振动方程和初相位 3 距波源为 15m 和 16m 处的两质点的位相差 解 1 T 0 01sv 400m s 则此点振动的圆频率为 2 T 200 此点的振动为tAx 200cos 波动方程为 400 200cos x tAy 2 据波源 16m 质点的振动方程为 8200cos 400 16 200cos tAtAy 据波源 20m 质点的振动方程为 10200cos 400 20 200cos tAtAy 初相位分别为 8 和 10 3 距波源为 15m 和 16m 处的两质点的位相差 2 400 1516 200 8 13 已知一平面简谐波的运动方程为 求 1 t 0 25s 时距原点最近 5 10 2cos2 x ty 的波峰的位置 2 求此波峰在何时通过原点 解 1 t 0 25s 时 平面简谐波的运动方程为 x xx y 5 2 5cos2 5 5 2 2cos2 5 25 0 10 2cos2 波峰位置应满足 即1 5 2 5cos x 2 1 0 5 2 5 kkx 那么离圆点最近的波峰的位置 x 2 5 2 由于距波峰的位置是 2 5m 而 50 102cos2 5 10 2cos2 x t x ty 可见传播速度为 v 50m s 所以波峰通过圆点需要的时间应该是 t 2 5 50 0 05s 8 14 两相干波源 S1 S2 其振幅相同 频率为 100Hz 相位差为 若 S1 S2两点相距 20m 两波在同一介质中的传播速度为 800m s 试求 S1 S2连线上因干涉而静止的各点位置 解 假设两相干波源的振动方程为 其中A1 A2 100Hz 1 2 2222 1111 cos cos tAyS tAyS 两振源在空间任一点引起的振动分别为 其中v 800m s 2 2 222 1 1 111 cos cos v x tAyS v x tAyS 那么在 S1 S2连线上 合振幅 2 10 cos 22 800 202 2100cos 22 cos 2 1 22 1 22 21 21 22 x AA x AA v xx AAAAA 那么当 由此得出 x1 2 4 14 18 的2 1 0 410 12 2 10 1 1 kkxk x 点因干涉而静止 8 15 如图 8 28 所示 两波源 A B 振动方向相同 相距 0 07m 他们所发出的波的频率为 30Hz 波速为 v 0 5m s 求在于 AB 连线成 30 夹角的直线上 并具 A 为 3m处 两列波的相位差 解 由已知我们可以得出 A B 两波源的振动方程 60cos 2cos cos 60cos 2cos cos 2222222 1111111 tAftAtAxB tAftAtAxA 在 P 点引起的振动分别为 其中 60cos 60cos 2 2 22 1 1 11 v x tAyB v x tAyA 3 56 30cos7 03207 0 3 x3 x 22 21 两列波的相位差为 2 67 5 0 56 0 60 5 0 60 12 xx 8 16 如图 8 29 所示 两相干波源分别在 P Q 两处 它们相距 3 2 由 P Q发出初相位 频率为 波长为 的两列相干波 R 为 PQ 连线上的一点 求 1 自 PQ 发出的两列波在 P 处的相位差 2 两列波在 R 处干涉时的合振幅 解 1 P Q两点的振动 那么 222 111 cos cos tAyQ tAyP P Q 在空间的波动方程分别为 所以两列 波在 P 点的相位差为 3 2 3 2 12 v xx 2 两列波在 R 处的振幅 其中 cos2 21 21 2 2 2 1 v xx wAAAAA x1 x2 3 2 所以13cos 2 32 cos 2 3 cos cos 21 T Tv w v xx w 所以 0 2 2121 2 2 2 1 AAAAAAA 8 17 如图 8 30 所示 A B 两点为同一介质中的两相干波源 其振幅皆为 5cm 频率皆为 100Hz 但当 A 点为波峰时 B 点恰为波谷 设在介质中的波速为 10m s 试写出由 A B 发出的两列波传到 P 点时干涉的结果 解 当当 A 点为波峰 B 点恰为波谷时 其相位差为 2k 1 k 0 1 2 3 0 07 m 30 3 m AB P 图8 28 题8 15图 0 07 m 30 3 m AB P 图8 28 题8 15图 2 3 PQR 图8 29 题8 16图 2 3 PQR 图8 29 题8 16图 A B 两相干波源的波动方程分别为 其 中 波 速 2 2 2 1 1 1 200cos05 0 200cos05 0 v x ty v x ty v 10m s 那么在 P 点处的振动方程分别可以写为 22 22 2 111 500200cos05 0 10 2015 200cos05 0 300200cos05 0 10 15 200cos05 0 tty tty P 点两波的相位差 所以 cos cos cos 2k 1 1 即 在 P 处属于干涉相消 8 18 A B 为两相干波源 相距 4 为波长 A 较 B 的相位超前 2 同在 A B连线上 A 外侧各点的合振幅如何 B 外侧各点的合振幅又如何 解 AB 波源的波动方程分别为 其中 2 2 22 1 1 11 cos cos v x tAy v x tAy x2 x1 4 那么 A 外侧给点相应的位相差为 24 1 21 12 vv xx 所以 A 外侧各点的合振幅为应为 在 B 点外侧的相位差则为 21 AA 所以所以 B 外侧各点的合振幅为应为0 24 1 21 12 vv xx 21 AA 8 19 有三个同方向同频率的谐振动 它们的振幅均为 A