函数与方程思想和数形结合思想.doc

函数与方程思想和数形结合思想主干知识整合1函数与方程思想(1)函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决；(2)方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决；(3)函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系2数形结合思想(1)根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面；(2)数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结合思想，使某些抽象的数学问题直观化、形象化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，发现解题思路，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程；(3)数形结合的重点是研究“以形助数”，这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野【百度百科】函数思想/view/2045453.htm【百度百科】属性结合/view/134322.htm要点热点探究探究点一列方程（组）解题例1 (1)公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S832，则S10等于()A18 B24 C60 D90(2)过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p_.【分析】 (1)根据数列中的基本量方法，列方程组求数列的首项和公差；(2)根据弦长公式建立关于p的方程(1)C(2)2【解析】 (1)由aa3a7得(a13d)2(a12d)(a16d)，得2a13d0，再由S88a1d32得2a17d8，则d2，a13，所以S1010a1d60.故选C.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知过焦点的直线方程为yx，联立有消元后得x23px0.又|AB|x1x2p8，解得p2.探究点二使用函数方法解决非函数问题例2 (1)已知an是一个等差数列，且a21，a55，则数列an前n项和Sn的最大值是_(2)长度都为2的向量，的夹角为60，点C在以O为圆心的圆弧(劣弧)上，mn，则mn的最大值是_【分析】 (1)根据方程思想求出数列的首项和公差，建立Sn关于n的函数；(2)将向量坐标化，建立mn关于动向量的函数关系(1)4(2)【解析】 (1)设an的公差为d，由已知条件，解出a13，d2.Snna1dn24n4(n2)2.所以n2时，Sn取到最大值4.(2)建立平面直角坐标系，设向量(2,0)，向量(1，)设向量(2cos，2sin)，0.由mn，得(2cos，2sin)(2mn，n)，即2cos2mn,2sinn，解得mcossin，nsin.故mncossinsin.变式题若a1，则双曲线1的离心率e的取值范围是()A(1，) B(，)C， D(，)B【解析】 e2212，因为是减函数，所以当a1时，01，所以2e25，即e0，问是否存在x0，使得f(x0)g(x0)？若存在，请求出实数a的取值范围，若不存在，请说明理由；(2)记函数H(x)f(x)1g(x)1，若函数yH(x)有5个不同的零点，求实数a的取值范围【解答】 (1)假设存在，即存在x0，使得，f(x0)g(x0)x0(x0a)2x(a1)x0ax0(x0a)2(x0a)(x01)(x0a)x(1a)x010，当x0时，又a0，故x0a0，则存在x0，使得x(1a)x01即a3时，2(1a)13或a3；当1即0a3时，0得a3，a无解综上：a3.(2)据题意有f(x)10有3个不同的实根，g(x)10有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等(i)g(x)10有2个不同的实根，只需满足g1a1或aa即a0时，f(x)在xa处取得极大值，而f(a)0，不符合题意，舍；当a即a0时，不符合题意，舍；当0时，f(x)在x处取得极大值，f1a；所以a；因为(i)(ii)要同时满足，故a.(注：a也对)下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在x0使得f(x0)10和g(x0)10同时成立；若存在x0使得f(x0)g(x0)1，由f(x0)g(x0)，即x0(x0a)2x(a1)x0a，得(x0a)(xax0x01)0，当x0a时，f(x0)g(x0)0，不符合，舍去；当x0a时，即有xax0x010；又由g(x0)1，即x(a1)x0a1；联立式，可得a0；而当a0时，H(x)f(x)1g(x)1(x31)(x2x1)0没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等综上，当a时，函数yH(x)有5个不同的零点变式题函数f(x)(2x1)2，g(x)ax2(a0)，满足f(x)g(x)的整数x恰有4个，则实数a的取值范围是_【解析】 在同一坐标系内分别作出满足条件的函数f(x)(2x1)2，g(x)ax2的图象，则由两个函数的图象可知，yf(x)，yg(x)的图象在区间(0,1)内总有一个交点，令：h(x)f(x)g(x)(4a)x24x1，要使满足不等式(2x1)2ax2的解集中的整数解恰有4个，则需k3 Dk1k2k3(2)“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点，用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是()图222【分析】 (1)含有绝对值问题的函数，常去绝对值，转化为分段函数来解决；(2)乌龟的速度是恒定的，表现在时间和路程的图象上是直线上升的，这个过程没有变化；兔子的速度也是恒定的，表现在时间与路程的图象上也是直线上升的，并且比乌龟的时间和路程的图象上升的要快，但中间一段时间内，函数图象是水平的(1)A(2)B【解析】 (1)当x足够小时，y(k1k2k3)x(b1b2b3)，当x足够大时，y(k1k2k3)x(b1b2b3)，可见，折线的两端的斜率必定为相反数，此时只有符合条件此时k1k2k30.(2)根据时间和路程的关系以及乌龟首先达到目的地，故选B.规律技巧提炼1在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当试题与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量2当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数