第一章河南工业大学理论力学习题答案级考试试卷.doc

第一章 习题解答【1.1】细杆绕点以角速转动，并推动小环C在固定的钢丝上滑动。图中的为已知常数，试求小球的速度及加速度的量值。【解】如题1.1 图所示，OL绕O点以匀角速度转动，C在AB上滑动，因此C点有一个垂直杆的速度分量C点速度又因为所以C点加速度【1.3】解：M点作曲线运动，取直角坐标系如图所示。由纯滚动条件：【1.4】解：（1）圆心O的速度因 得 （2）M点的速度得 【1.6】 一质点沿位失及垂直于位矢的速度分别为及，式中及是常数。试证其沿位矢及垂直于位矢的加速度为【解】由题可知质点的位矢速度沿垂直于位矢速度又因为 ， 即即（取位矢方向，垂直位矢方向）所以 故 即 沿位矢方向加速度 垂直位矢方向加速度 对求导 对求导 把代入式中可得【1.7】 质点作平面运动，其速率保持为常数。试证其速度矢量v与加速度矢量a正交。【1.7证明】 质点作平面运动，设速度表达式为令为位矢与轴正向的夹角，所以所以 又因为速率保持为常数，即为常数对等式两边求导所以即速度矢量与加速度矢量正交.【1.11】一质点沿着抛物线运动其切向加速度的量值为法向加速度量值的倍。如此质点从正焦弦的一端以速度出发，试求其达到正焦弦另一端时的速率。【1.11解】由题可知运动轨迹如题1.10.1图所示，则质点切向加速度法向加速度，而且有关系式 又因为 所以 联立 又把两边对时间求导得又因为 所以 把代入既可化为对等式两边积分所以【1.19】解：根据题意有： （1） （2）解得【1.21】解：大环升起来的条件是： （1）机械能守恒 (2)，得 (3)将（3）式代入（1）式解得要使上式有意义 即第二章 习题答案2.1 解： （1） （2）得： （3） （4）（3）=（4）得： 变形为：得：即：2.13 解：当质点运动到最近距离时，速度为Vm，此时距离为d根据角动量守恒： （1）质点总能量： （2） （3） （4）由（1），（2），（4）可得3.1当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2米的甲板，篷高4米。但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3米。如果雨点的速度为8米/秒，求轮船的速率。解： 船停止时，干湿分界线在蓬前3，由题画出速度示意图 故又因为，所以由图可知所以=83.3解：利用公式，得 ，所以3.5 解： ，我们以楔子为参照系，在非惯性系中来分析此题，则质点受到一个大小为ma0=F非惯的非惯性力，方向与相反。质点在楔子这个非惯性系中沿斜面下滑，沿斜面的受力分析：垂直斜面受力分析（平衡）得3.12质量为的小环，套在半径为的光滑圆圈上，并可沿着圆圈运动，如圆圈在水平面内以匀角速绕圈上某点转动，试求小环沿圆圈切线方向的运动微分方程。解：建立固定坐标系，为水平面，圆圈为转动参照系绕轴转动，设小环相对圆圈运动方向，如图所示。小环受力：此二力图中未画出图xyzOaM惯性离心力科氏力平面转动参照系中，质点相对运动微分方程为为：小环相对圆圈切向运动微分方程：即小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为：第四章 习题答案4.4解：外力做功为零，质心不运动，内力做功，其中为约化质量，u为相对速度。4.6解：对W与P组成的质点系，水平方向无外力作用，所以水平方向的动量分量守恒，或者说质心的x坐标不变。适当地选择坐标原点，使开始时质心坐标xC=0，令开始时W与P的坐标为x1，x2，则 （1）设滑到底端时，W与P坐标分别为和，则 （2）与（1）式相减，得 （3）令，分别表示W与P的位移的x分量，注意到P的位移为牵连位移与相对位移之和，即代入（3）式解得，4.7一炮弹的质量为，射出时的水平及竖直分速度为和，当炮弹达到最高点时，其内部的炸药产生能量，使此炸弹分为两部分，在开始时，两者仍按原方向飞行，试求它们落地时相隔的距离，不计空气阻力。解法1：选地面为参照系，建立坐标系，以为一质点组，到达最高点时，水平方向合外力为零，所以水平方向动量守恒。设炸药分为两部分后，其相对地的速度为、，方向沿原方向，如图1所示，则：图1xyO能量守恒：,两式联立：由得：代入得：化简得：两者之间速度差为：竖直方向速度：到达最高点：落地时相隔的距离为：解法2：选构成的质点组的质心为参照系，设炸药爆炸后相对质心的速度分别为和，方向相同。在质心坐标系中，水平方向动量守恒：由动能定理有：由得：式代入式得：将代入式得：两者相对速度：竖直方向速度： 到达最高点：故落地时两者相隔的距离为：两种解法比较后可知：在此题的求解过程中，选质心坐标系比实验室坐标系更简便。4.8重为的人，手里拿着一个重为的物体，此人用与地平线成角的速度向前跳去，当他达到最高点时，将物体以相对速度水平向后抛出。问由于物体的抛出，跳的距离增加了多少？解：如图2所示，建立固定坐标系图2Oxy人和物体组成的力学体系，受到的外力为重力，垂直于轴。设人抛出物体后的速度为。物体抛出后相对于地面的速度为，方向如图2所示，且：=+人抛出物体前后水平方向无外力作用，动量守恒。则有：将代入上式得：比不抛重物速度增加为：人跳起后水平，竖直方向的速度为：到达最高点时，则：人从最高点落到地面，所用时间也为，所以人落地时跳的距离增加为：4.9质量为的质点，沿倾角为的光滑直角劈滑下，劈的本身质量为，又可在光滑水平面上自由滑动，试求：(a) 质点水平方向的加速度；(b) 劈的加速度；(c) 劈对质点的反作用力；(d) 水平面对劈的反作用力。图3O解：研究对象：质点和直角劈构成的质点组，建立固定直角坐标系，动系，取隔离体，受力分析如图3所示。质点的运动微分方程为：方向： 方向：直角劈的运动微分方程为：方向：方向： ,式联立得劈的加速度：方向向左将代入得：将代入得质点水平方向的加速度：方向向右将代入得：将代入得：4.10质量为，半径为的光滑半球，其底面放在光滑的水平面上，有一质点为的质点沿此半球面滑下，设质点的初位置与球心的连线和竖直向上的直线间所成之角为，并且初始时此系统是静止的，求此质点滑到它与球心的连线和竖直向上直线间所成之角为时之值。图4O解：如图4所示，设质点相对半球的速度为（沿切线），半球相对地的速度为，方向水平向左，取地面为惯性参照系，水平方向合外力为零，动量守恒，有：即：只有保守力作功，机械能守恒。由得：代入得：4.15解：用质心定理解 （1） （2）质心（重心）移动的距离d为根据动能定理，则得5.2一轮的半径为，以匀速无滑动地沿一直线滚动。求轮缘上任一点的速度及加速度。又最高点及最低点的速度各等于多少？哪一点是转动瞬心？解 如题5.2图所示坐标系。题5.2图由于球作无滑滚动，球与地面的接触的速度与地面一致，等于零，所以点为转动瞬心。以为基点。设球的角速度，则设轮缘上任意一点，与轴交角为，则故当时，得最高点的速度当和时分别得到最高点和最低点的加速度5.6一边长为d,质量为m的匀质立方体，求转动惯量解： (1) (2)， 代入（2）式同理 （）5.8解：5.10一均质圆盘，半径为，放在粗糙水平桌上，绕通过其中心的竖直轴转动，开始时的角速度为。已知圆盘与桌面的摩擦系数为，问经过多少时间后盘将静止？解 如题5.10图。题5.10图轴过点垂直纸面向外。均质圆盘的密度为。设盘沿顺时针转动，则沿的方向有即为转盘绕轴的转动惯量：（为盘的质量）， （为盘转动的角频率，负号因为规定顺时针转动）=由得又因为故所以得5.11矩形均质薄片，边长为，重为，绕其竖直轴以初角速度转动，此时薄片每一部分均受到空气的阻力，其方向垂直于薄片的平面，其量值与面积及速度平方成正比，比例系数为，问经过多少时间后薄片的角速度减为初角速度的一半？解：如图5-11所示，在均质薄片上取一宽为的长条做微元，微元到转轴距离为，则微元受空气阻力距为：图5-11xABCDabx其中薄片受空气阻力距为：薄片绕轴的转动惯量：（为面密度）由转动动力学方程：上式积分：5.13一段半径为已知的均质圆弧，绕通过弧线垂直的轴线摆动。求其作微振动时的周期。解 如题5.13图所示，图5.13坐标系的原点位于圆弧最顶点。设圆弧平衡时，质心的坐标为。如图所示圆弧偏离平衡位置一小角度，则满足微分方程为圆弧相对于轴的转动惯量。当很小时，代入上式得：圆弧上对应转角为的一小段圆弧的坐标为质心的纵坐标上式中为圆弧的线密度 又其中，将代入得解式得通解微振动周期5.17长为的均质棒，以铰链悬挂于点上，如起始时，棒自水平位置无初速地运动，并且当棒通过竖直位置时，铰链突然松脱，棒成为自由体。试证在以