动量算符和角动量算符.pdf

3 2 动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符 1 动量算符和本征方程 1 动量算符和本征方程 1 动量算符 当波函数 表示为坐标x y z的函数时 动量p和动量算符 h i相对应 定义动量算符 p h rr ipp z ip y ip x ip zyx hhh 本征方程 pp pp rr pp pri rh 3 2 1 各分量方程 pxpx pp r pxp p x i h pypy pp r pyp p y i h pzpz pp r pzp p z i h 它们的解是 exp rp i cr p rr h r 3 2 2 p v 可取任意实数值 即动量算符的本征值p v 组成连续谱 相应的本征函数为 3 2 1 式所表示的 r p v v 这正是自由粒子的 de Broglie 波的空间部分波函数 2 动量算符本征函数的归一化 a 理想的平面波的归一化问题 Q AAAeeA rp i rp i pp rv h rv h dAdAd pp 2 2 趋于发散 此波函数不是平方可积 因而不能按这种方式归一化 否则 归一化因子 A 只能为零 这显然没有意义 b 归一化为 函数 rp i p rp i p eAAe rv h rv h 上式中p r 与p r 有微小差别 是归一化为 函数的关键 dxdydzzppyppxpp i cdrr zxyyxxpp exp 2 h rr 而 1 2 exp xxxx ppdxpp i h h 2 exp yyyy ppdypp i h h 2 exp zzzz ppdzpp i h h 式中 xx pp 是以为宗量的 xx pp 函数 故有 2 32 ppcdrr pp rr h rr 若 C 取 2 3 2 h 则 r p r 归一化为 函数 即 ppdrr pp rrrr 3 2 3 2 3 2 1 rp i p er rr h h r 3 2 4 r p r 不是归一化为 1 而是归一化为 函数 是由于p r 的本征值可以任意取值 动量本 征值构成连续谱所致 3 箱归一化 有各边长均为 的箱子 建立以箱中心为原点的坐标系 箱中有自由微观粒子 l exp zpypxp i ccer xyx rp i p h r rr h 在箱的表面应满足周期性的边界条件 亦 2 1 exp 2 1 expzpyplp i czpyplp i c zyxzyx hh 或 1exp lp i x h 因 1 1 sin 1 cos exp lpilplp i xxx hhh 所以 2 同理 L h L h L h 2 1 02 2 1 02 2 1 02 zz z yy y xx x nnl p nnl p nnl p 于是得到分立值 l n p l n p l n p z z y y x x h h h 2 2 2 相邻本征值 l px h 2 0lim x l p 相邻本征值的间隔与成反比 当选取足够大时 本征值的间隔可以任意小 当ll l时 本征值谱就由分立谱变为连续谱 归一化 1 32 2 2 2 lcdeecdrr l rp i rp i l pp m rr h rr h m rr 所以 2 3 lc 即 rp i l p rr h exp 1 2 3 3 2 5 箱归一化主要是加入边界条件使积分有限 2 2 ll 注 箱归一化方法仅对平面波适用 而归一化为 函数方法对任何连续谱都适用 2 角动量算符 2 角动量算符 1 定义 在经典力学中 动量为p 对 O 点的位置矢量为r r 的粒子 它绕 O 点的角动量是 prl rr r 因而 量子力学中 角动量算符是 3 riprl r h 2 角动量的对易式 在直角坐标系中角动量算符的对易关系 角动量算符 xxyyz lrpi rl el el e v vvvvvv h z l v 在直角坐标中的三个分量可表示为 xzy lypzpiyz zy h yxz lzpxpizx xz h zyx lxpypixy yx h xyz l li l h 要求会证明 yzx l li l h zxy l li l h lli l vvv h lli l vvv h 是角动量算符的定义式 llil h 式中 称为Levi Civita符号 是一个三阶反对称张量 定义如下 123 1 其中 x y z 或1 2 3 证明 xlix h 或 lxix h x y z plip h 或 lpip h 2 0ll v 在球坐标系中角动量算符的对易关系 注意到笛卡尔尔坐标x y 和球极坐标z r之间的关系 cossinrx sinsinry z cosr 4 2222 zyxr r z cos x y tg 将两边分别对 2222 zyxr x y 求偏导 得z x r y r z r 将 r z cos两边分别对x y 求偏导 得z x y z 再将 x y tg 两边分别对x y 求偏导 得z x y z 利用这些关系式可以求得 zyx 再代入可以求得 sincos x lictg h cossin y lictg h z li h 22 2 11 sin sinsin l v h x l 只与 有关 与 r 无关 而且只与 有关 y l z l z l 2 2 2 2 2 2 2 zyx 2 2 222 2 2 sin 1 sin sin 1 1 rrr r rr 或 22 2 222 rpl r v hh 22 22 rpl r 2 v hh 其中 1 rri pr h 1 2 2 22 r r rr pr h 可称为径向动量算符径向动量算符 r p 角动量升降阶算符 I 定义 5 xy llil xy llil 显然有如下性质 l l ll 这两个算符不是厄密算符 II 对易关系 z l l l h 2 0ll v 22 zz l llll v h 22 zz l llll v h 在球坐标中的表示 2 L 注 在进行平方运算时 例如 其中有 xxx LLL 2 等的作用 考虑后面所有含 的项 令 sincos cos sin ii yx ectgiei ictgiictgiLiLL h hh ii yx ectgieiLiLLh 2222 zZxyyxyxyxyx LiiLLLLLLiLLLiLLiLLLh 见p88 zyx LiLL h 所以 2 2 2 222 sin 1 sin sin 1 hh zz LLLLL 3 2 8 1 本征值方程的求解 2 L 22 YYLh 3 2 9 将算符代入得 2 L sin 1 sin sin 1 2 2 2 YY 3 2 10 Y是算符的本征函数 属于本征值的 注 解见梁昆淼 45 节 2 L 2 h 6 令 Y 代入 3 2 10 sin sin sin 2 2 2 两端同除 整理 2 2 2 sin 1 sin sin 则得到 0 0 sin sin sin 1 2 2 2 2 2 IIm d d I m d d d d 由 II L2 1 0 2 1 meim 由 I 作变量代换 令 sin1cos 22 p 而 d d d d d d d d sin 所以 0 1 1 2 2 2 p m d dp d d 缔合勒让得方程 这是二阶微分方程 有两个线性无关的解 从推算中可以知道 除非常数 取特殊值 否则这 两个解在 n 时要等于无限大 这不符合要求 但当 1 ll l为正整数 或为零 而且 lm 那么其中一个解就有限了 这样的解是符合要求的 是 m l Bp lllm l 1 2 1 0 L L 这里是边带的勒让德 Legendre 函数 cos m l p 7 1 2 2 l m m m m l p d d p 其中 1 2 1 2 l l l d d l p 于是 lmYY lmepNY ml m ml imm llm m lm L L 21 1 210 cos 1 归一化系数 4 12 ml lml Nlm 例 时 写出01 ml 10 YYlm Q cos2 2 1 1 2 1 2 d d l pl cos 0 1 l pp 4 3 4 112 10 N cos 4 3 10 Y 为 2 10 222 YYYLhh 结论 1 有共同的本征态 z LL 2 lm Y 2 在本征态下的角动量 一定 m可取 2 1 h ll 2 ll 12 l值 即有 12 l本征函数 对应一 个l有度简并 12 l 参考书 梁昆淼 p296 303勒让得方程的级数解 p331 338勒让得方程的一般表示 微分表示式的正交关系 模 归一化 母函数 递推关系 p345 356 关于缔合勒让得方程 8 3 逆算符逆算符 1 定义 设 能够唯一的解出 则可定义算符 之逆 1为 1 A 2 性质I 若算符 之逆 1存在 则 11 AAA AI 1 0A A 3 性质 II 若 B均存在逆算符 则 11 ABB A 1 4 算符函数算符函数 设给定一函数 F x 其各阶导数均存在 其幂级数展开收敛 0 0 n n n F F xx n 则可定义算符 的函数 F 为 0 0 n n n F F AA n 补充 定义一个量子体系的任意两个波函数 态 与 的 标积 d d 是指对体系的全部空间坐标进行积分 d 是坐标空间体积元 例如 对于一维粒子 dd x ydz 对于三维粒子 ddxd 可以证明 11221122 11221122 0 cccc cccc 5 转置算符转置算符 9 算符 的转置算符定义为 A dAdA 即 AA 式中 和 是两个任意波函数 例如 xx 证明 xx pp 可以证明 ABBA 6 复共轭算符复共轭算符 算符 的复共轭算符 就是把 表达式中的所有量换成其