第2讲 三角形与多边形.doc

第 2 讲 三角形与多边形探究复习新思路【考点串讲】一、三角形。1、 三角形的有关概念。会三角形的读法、记法；掌握三角形的中线、角平分线和高的本质与区别。2、 三角形三边的关系。把任意一边作为第三边，它一定要大于另外两边的差，同时又小于另外两边的和。这也是构成三角形的条件。3、 三角形的内角和。三角形的内角和为180。4、 三角形的外角和及外角的性质。三角形的外角和为360。三角形的外角的性质有两条：是外角大于任意一个不相邻内角。（不等关系）是等于不相邻的两个内角的和。（相等关系）5、三角形具有稳定性。（区别于四边形具有不稳定性）。6、三角形的中位线。 是连接两腰中点的线段，它平行且等于第三边的一半。7、垂直平分线。 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。二、多边形。1、多边形的内角和多边形的内角和为（n-2）180（n代表多边形的边数），多边形的边数每增加一边，内角和将增加180。2、多边形的外角和。任意多边形的外角和始终为360。多边形的外角和不因边数的改变而改变，恒为360。3、多边形镶嵌平面。一种情况是用一种正多边形来镶嵌；另一种是多种正多边形镶嵌。说明：本讲考试的重点有：三角形边的关系判断能否构成三角形；内角和与外角的性质求度数；含三角形中位线的考题；有垂直平分线的综合题；求多边形的边数、内角和、外角和；用多边形地砖镶嵌平面。【典例探究】典例1 (2004.福州市)下列图形中能够用来作平面镶嵌的是( )A.正八边形 B.正七边形 C.正六边形 D.正五边形解析：要使用同一种正多边形作平面镶嵌,必须满足正多边形的几个内角之和为360,正多边形中只有正三角形,正方形和正六边形满足这个条件,其他的正多边形都不满足.答案:C领悟整合：本题考查的是平面镶嵌问题，正确理解正三角形、正方形、正六边形乃至任意三角形、 四边形能镶嵌平面的理由，是解决这类问题的关键。拓展1：(2004.武汉市)一幅美丽的图案, 在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成,其中的三个分别为正三边形、正四边形、正六边形,那么另外一个为( )A.正三边形 B.正四边形 C.正五边形 D.正六边形典例2 (2004.哈尔滨市)以下列各组线段长为边,能组成三角形的是( )A.1cm,2cm,4cm； B.8cm,6cm,4cm; C.12cm,5cm,6cm D.2cm,3cm,6cm解析：根据三角形三边关系定理,即可得证.答案:B.领悟整合：本题考查的是三角形三边关系的应用。选任一边为第三边，它应该满足大于另外两边的差，同时又小于另外两边的和。这是三角形的构成条件。拓展2 有几段长为10、20、30、40、50、60、70厘米的木条，木匠师傅从中任选三根来做三角形木框，一共可以有 种不同的选法。典例3 一个多边形的内角和为1080，则它的边数为（ ）A： 6 B： 7 C： 8 D： 9解析：解设它为n边形，由多边形内角和可得（n-2）180=1080，解得n=8。故选C。领悟整合：对多边形要把握它的内角和为（n-2）180，外角和始终为360，很多时候需要建立方程求解。方程思想在数学中是很重要的、有效求未知数的一种好方法。（典例4）拓展3：一个多边形的每个内角都是135，则它为 边形，它的内角和为 ，它的外角和为 。典例4 （2005年福建泉州市）如图，在ABC中，A=70，B=50，CD平分ACB。求ACD的度数。 解析：已知A=70，B=50由三角形的内角和知ACB=60又CD平分ACB，故ACD=30。领悟整合： 在三角形中求角的度数一般从内角和或利用外角来考虑，要分析已知的条件与所求之间有何联系，寻求最简捷的方法。（拓展4）ABCDEF拓展4： 已知如图所示：ABC中，D、E分别是AB、BC上一点连CD和AE交于F点，B=62，BAE=28，BCD=40求：AFC的度数。 典例5：已知ABC中，E、F、G分别是三边中点，ABCEFG（典例5）若EFG的周长是15cm，则ABC的周长为 。解析：由中点联想到三角形的中位线，根据中位线的性质可知EFG的周长等于ABC的周长的一半，故填30cm。领悟整合：题中有中点时，很多时候要利用中位线，有时要构造中位线，利用中位线的性质来解。一是利用它平行的关系。二是利用它等于第三边的一半的数量关系。ABCDEFG（拓展5）拓展5：已知如图：ABC中，AD为高，E、F、G为三边中点，连接DF、GF、EG。求证：GE=DF。展示课改新题型（真题1）真题1 （2004年芜湖市）如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带_去配. ( ). A. B. C. D.和解析：本题要配完全一样的玻璃，关键是确定三个角的度数，最省事的只有带，因为它的两个内角存在，由内角和知道第三个角其实已唯一确定。故选C。评价：本题考的新颖，因为它就是我们生活中的事情，充分体现数学来源于生活又用于解决生活实际问题的理念。大家必须学会把这种实际问题转化为一种数学模型，“建模”的思想是新课程的一个亮点。真题2 （2005年浙江台州市）如图，D、E为ABC两边AB、AC的中点，将ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若B=55，则BDF= .（真题2）解析：D是AB中点 AD=DB FDE是由ADE翻折而来AD=FDAD=DB， AD=FDDB=FDDB=FD，B=55BDF=70评价：本题通过翻折把量进行转化很有新意，也可以操作，新课程的思想就是加强动手操作的内容，同时也体现“动态”，现在的中考题的一个热点是动态问题，生活中的问题本身就是动态的，大家要注意加强这方面的训练。真题3 在铺设广场的一快地面时，为了美观，给了边长相等的正三角形、正方形要求组合铺设，请你帮工人师傅算一算在一个顶点需要正三角形、正方形各几块才能密铺？解析：用多种正多边形能否密铺的关键是围绕一点的多边形各内角的总和为360 设围绕一点需正三角形x个，正方形y个。由题可得： 60x+90y=360 化简得：2x+3y=12 只需求该方程是否有正整数解即可。 X=3 方程的正整数解为 y=2 答：围绕一点需要正三角形3块，正方形2块就能密铺。评价：本题体现如何解决生活中的实际问题，需较高的能力。关键是建立哪种数学模型来解决是本题的难点，通过本题得到可以解决生活中用多种正多边形地转组合铺设是通过求方程的正整数解来解决的方法。优化考题新演练（考试时间45分钟，总分100分）A. 课标样题集训一、 选择题。（每题5分） 1、（2004年重庆市）小芳要画-个有两边长分别为5cm和6cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是 ( )A16cm B17cm C16cm或17cm D.11cm2、（2004年黑龙江省宁安市）使用同一种规格的下列地砖，不能密铺的是 ( ) A正六边形地砖 B正五边形地砖 C正方形地砖 D正三角形地砖3、（2004年湖北宜昌）以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（ ） A3、3、3B3、3、6 C3、2、5 D3、2、64、（2005南通市）已知一个多边形的内角和为540,则这个多边形为（ ）A、三角形B、四边形C、五边形D、六边形:5、现在有两根长为30厘米和50厘米的木棒，若要钉成一个三角形木框，则在下列四根木棒中选取（ ）A： 20厘米 B：40厘米 C：80厘米 D：100厘米6、如果一个三角形的三条高的交点恰好是它的一个顶点，那么这个三角形是（ ）ABCDE（第8题）A ：锐角三角形 B ：直角三角形 C ：钝角三角形 D ：不能确定7、如果一个多边形的每个内角都为144，则它的内角和为（ ） A ：1080 B ：1440 C ：1620 D ：18008、已知如图：A +B +C +D +E等于（ ） A ： 180 B ：360 C ：540 D ：720二、填空题（每题6分）9、(第9题)（2004年芜湖市）. 亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于_.” （第10题）10、 （2004年玉林市）将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图1的位置，若AOD=11O，则BOC= 11、（2004年成都郫县）如图，DE是ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE平分BAC，若B=30，C的度数的度数为 （第11题）12、（2005年盐城市）正六边形的一个内角的度数为 。三、解答题。 13、（2005年安徽省）（本题10分）学习等腰三角形有关内容后, 张老师请同学们交流讨论这样一个问题: “已知等腰三角形ABC的角A等于30, 请你求出其余两角.”同学们经片刻的思考与交流后, 李明同学举手说: “其余两角是30和120”; 王华同学说: “其余两角是75和75.” 还有一些同学也提出了不同的看法(1) 假如你也在课堂中, 你的意见如何? 为什么?【答】ABCDE（第14题）(2) 通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示)【答】14、（本题14分）如图所示：ABC中，AB=AC，BAC=120 AB的垂直平分线交BC于D点，垂足为E，且 ED=4， 求DC的长。15、（本题12分）一块地面用边长相等的正方形和正八边形来组合铺设，请你帮算一算围绕一个顶点需正方形和正八边形各几个？并画出图样。ABCDEFGABCDP1OMN图11题B.课标新题探究1、如图是六个边长为1的正方形组成，A，B，C，D，E，F，G是正方形的七个顶点，在这七个顶点中任意选三个点组成面积为1的三角形，请写出所有这样的三角形。2、试探究一个n（n3）边形中最多可能有几个锐角，说明你的理由。3、已知如图1所示C、D分别为ABO的边AO和BO延长线上一点，ABD的平分线与ACD的平分线交于点P1，（1） 猜想A，D与P1三者之间满足何种关系式。（2） 试证明你的猜想。（3） 根据你的猜想，若A=74，D=10则P1= 。如图2，继续仿照上面的方法，P1BD的角平分线与P1CD的平分线交于P2，P2BD的角平分线与P2CD的平分线交于P3，试计算P5 = 。图2ABCDP1OMNP2P3 答案:拓展1：选B。 拓展2：6。 拓展3：八、1080、360拓展4：AFC=130（提示：有多种方法，可用内角和，也可用外角的性质）拓展5：（提示：由中位线得，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，故EG=DFA组一、 选择题1、C （提示：有2种可能性腰为5或6） 2、B 3、A 4、C 5、B 6、B 7、B （提示：要先求外角，利用外角和求出边数） 8、A（提示：连接BC转化为三角形的内角和）二、 填空题。 9、180 10、70 11、 90 12、120三、 解答题。13、解：（1）两种说法都对，因为存在两种可能性。 （2）略。14、解：连接ADAB=AC，BAC=120 B=C=30ED为垂直平分线 DEB=90B=30，DEB=90，ED=4 BD=2ED=8ED为垂直平分线，BD=8 AD=BD=8AD=BD，B=30 DAE=30BAC=120，DAE=30 CAD=90CAD=90C=30AD=8 DC=2AD=1615、解：设围绕一点需正方形x个，正八边形y个，由题可得： 90x+135y=360 整理得：2x+3y=8 满足方程的正整数解为：x=1，y=2 B组1、 解：符合条件的三角形共有13个： BCG，BDE，CDF，CDG，DFG，BEF，ABG，CFG，ABF，ACE BCF，AFG，BFG。2、 解：n（n3）边形最多有3个锐角，因为如果有4个及以上的锐角，那么它们的外角一定是钝角，就这4个钝角的外角的和已经超过360，还有其它的角呢？这与多边形的外角和为360矛盾。所以最多可能3个锐角。3、解：（1）A+D=2P1