华理概率论习题4答案-2012.pdf

华东理工大学 概率论与数理统计 作业簿 第四册 学院 专业 班级 学号 姓名 任课教师 第十次作业 一 填空题 1 若 在 0 5 上服从均匀分布 则方程03 22 xx有实根的概率 0 8 2 设随机变量X在区间 2 6 上服从均匀分布 现对X进行了 3 次独立试验 则正好有 2 次观测值大于 4 的概率为 3 8 3 设每人每次打电话的时间 单位 min 服从 1 E 则在 808 人次的电话中有 3 次或以上超过 6 分钟的概率为 1 2 二 选择题 1 设X服从正态分布 2 N 则随着 的增大 概率 PX C A 单调增大B 单调减少C 保持不变D 增减不定 2 若灯管的寿命 e 则该灯管已使用了 0 a a 小时 能再使用b小时的概 率 A A 与a无关B 与a有关C 无法确定D 以上答案都不对 3 随机变量X的概率密度函数为 p x 且 p xpx F x 是X的分布函 数 则对任意实数a 有 B A 0 1 a Fap x dx B 0 1 2 a Fap x dx C FaF a D 2 1FaF a 三 计算题 1 某地区 18 岁的女青年的血压服从 110 121 N 在该地区任选一 18 岁的女青 年 测量她的血压 1 求 100 105 5121 P XPX 2 确定最小的x 使 0 05P Xx 解 设女青年的血压为 则 110 121 N 110 0 1 11 N 1 110105 5 110 105 5 0 5 1111 1 0 5 1 0 69150 3085 X P XP 121 11099 110 99121 1 1 1111 2 1 12 0 8413 10 6826 PX 3 要使 0 05P Xx 只须 0 95P Xx 1 65 0 95 110 1 65128 15 11 x x 2 修理某机器所需时间 单位 小时 服从参数为 1 2 的指数分布 试问 1 修理时间超过 2 小时的概率是多少 2 若已持续修理了 9 小时 总共需要至少 10 小时才能修好的条件概 率是多少 解 设 是修理时间 1 2 E 的分布函数为 2 1 e0 00 x x F x x 1 1 2 2 e e1 1 2 1 2 1 2 FPP 367879 0 2 9 10 910 P P P 2 1 2 9 2 10 2 9 2 10 e e e e1 1 e1 1 606531 0 3 假设测量的随机误差 10 0 2 N 试求在 100 次独立重复测量中 至少有 二次测量误差的绝对值大于 19 6 的概率 解 19 6 19 6 19 6 19 6 2 1 0 05 10 PPP 令 为 100 次独立重复测量中 误差的绝对值大于 19 6 的次数 则 100 0 05 b 100199 100 2 1 0 1 1 0 95 0 05 0 95 0 9629PPPC 4 若 2 N且90 0 89 P 95 0 94 P 求 和 2 解 根据 89 89 90 0 P 和 94 94 95 0 P 利用随机变量分布函数的单调性 有 2816 1 89 和 6449 1 94 解得3617 71 7627 13 即4128 189 2 第十一次作业 一 填空题 1 设随机变量 X Y 的概率密度为 0 0 x y aex y f x y 其他 则 a 1 2 1 P XY 123 1 eee 2 若二维随机变量 X Y 的联合分布列为 XY01 0 1 6 1 4 1 1 3 1 4 则随机变量 X Y的联合分布函数为 0 00 1 6 01 01 5 12 01 1 1 2 1 01 1 1 1 xor y xy F x yxy xy xy 二 计算题 1 设二维随机向量 仅取 1 1 2 3 4 5 三个点 且取它们的概率相同 求 的联合分布列 解 135 1 1 3 00 20 1 3 0 400 1 3 2 某箱装有 100 件产品 其中一 二 三等品分别为 80 10 10 件 现在从中 随机抽取一件 记 1 1 2 3 0 i i Xi 抽到 等品 其他 试求随机变量 12 XX和的联合分布 解 令 1 2 3 i Aii 抽到 等品 则 123 A A A 两两不相容 123 0 8 0 1P AP AP A 123 0 0 0 1P XXP A 122 0 1 0 1P XXP A 121 1 0 0 8P XXP A 12 1 1 0P XXP 3 将一硬币抛掷 3 次 X表示 3 次中出现正面的次数 Y 表示 3 次中出现正面 次数与反面次数之差的绝对值 求X和Y 的联合分布率 解 当连抛三次出现三次反面时 YX的取值为 3 0 出现一次正面两次反面时 YX的取值为 1 1 出现两次正面一次反面时 YX的取值为 1 2 出现三次正面时 YX的取值为 3 3 并且 8 1 2 1 3 0 3 YXP 8 3 2 1 1 3 1 1 3 YXP 8 3 2 1 1 3 1 2 3 YXP 8 1 2 1 3 3 3 YXP 所以 YX的联合概率分布为 Y X 13 00 8 1 1 8 3 0 2 8 3 0 30 8 1 4 设随机向量 X Y 的联合概率密度函数为 6 02 24 0 Axyxy p x y 其他 1 确定常数 A 2 求 1 3 4 P XYP XY 解 1 根据规范性有 1p x y dxdy A 1 8 2 13 02 13 1 3 6 88 P XYxy dxdy 24 02 12 4 6 83 x P XYxy dydx 5 若随机变量 X Y 的概率分布分别为 X01Y 101 P 1 3 2 3 P1 3 1 3 1 3 且满足 22 1P XY 求二维随机变量 X Y 的联合概率分布 解 由于 22 1P XY 故 22 0P XY 故有 0 1 1 0 0 1 0P XYP XYP XY 易得 X Y 的联合概率分布如下 X Y 01 101 3 01 3 0 101 3 第十二次作业 一 填空题 1 如果随机向量 的联合分布列为 01 00 1b 1a0 4 并且 2 1 1 3 P 则 a 0 3 b 0 2 2 的联合分布列为 012 11 15 t1 5 1s1 5 3 10 若 相互独立 则 s t 0 1 2 15 二 选择题 1 设 X Y 的分布函数为 yxF 则 bYaXP C A baFB 1 baF C 0 0 1 aFbFbaF D 1 aFbFbaF 2 设随机变量X的可能取值为 12 x x Y 的可能取值为 123 y yy 若 1111 P Xx YyP Xx P Yy 则随机变量X和Y C A 一定独立B 一定不独立C 不一定独立D 不相容 3 设 1 F x 2 F x 为两个分布函数 其相应的概率密度为 12 f xfx 是连续 函数 则可以作为某个连续随机变量的概率密度函数的是 D A 12 f x fxB 22 2 fx F x C 12 f x F xD 1221 f x F xfx F x 三 计算题 1 设随机变量 的联合分布列为 3 求边缘分布列 4 在1 的条件下 的条件分布列 5 问 和 是否独立 解 1 012 p 5 12 1 2 1 12 012 p 7 12 7 18 1 36 2 0 1 4 0 1 1 7 P P P 1 1 3 1 1 1 7 P P P 0 1 2 1 0 1 P P P 3 0 0 0 0 PPP 和 不独立 2 设 二 维 连 续 型 随 机 变 量 X Y的 联 合 概 率 密 度 函 数 为 0 Axyx yG f x y 其他 其中 02 0 Gx yxyx 1 求系数 A 2 X和Y 的边缘密度函数 3 X Y fx y 4 X 和 Y 是否独立 为什么 解 1 根据规范性 1f x y dxdy 1 2 A 2 3 0 1 02 24 0 x X x f x y dyxydyx fx 其他 3 21 02 24 0 y Y y f x y dxxydxyy fy 其他 3 X Y Y f x y fx y fy 2 2 4 0 X Y x x yG yfx y 其他 4 G 不是矩形区间 X 和 Y 不独立 3 设随机变量 X Y 的联合密度为 1 1 0 Cxy x y 其它 试求 常数