固体物理3-1 晶体振动与热学性质.pdf

第三章 晶格振动与晶体的热学性质第三章 晶格振动与晶体的热学性质 3 1 一维单原子链的振动一维单原子链的振动 一 运动方程及其解一 运动方程及其解 nn 1n 2n 1n 2 n n 1 n 2 n 1 n 2 aa 1nnn f 只考虑最近邻原子间的相互作用 只考虑最近邻原子间的相互作用 1nn 11 2 nnn 力常数 力常数 第第n个原子的运动方程 个原子的运动方程 11 2 nnnn m n it naq Ae 试解试解 格波方程格波方程 2 11 2 it naqit n itnaq a itnaq q AmAeAeeAe 2 22cos1 iaqiaq meeaq 1 2sin 2 aq m 解得解得 色散关系色散关系 二 格波的简约性质 简约区二 格波的简约性质 简约区 q aa m 考虑由考虑由P Q两种原子等距相间排列的一维双原子链两种原子等距相间排列的一维双原子链 只考虑近邻原子间的弹性相互作用只考虑近邻原子间的弹性相互作用 2 1 2 22cos0MAaq B 2 1 2 2cos20aq AmB 代入方程代入方程 2 2 1 2 1 2 22cos 0 2cos2 Maq aqm 久期方程 久期方程 222 2cosMmMmMmaq Mm 2 2 1 2 4 11sin MmMm aq Mm Mm 简约区 简约区 a q a 对于不在简约区中的波数对于不在简约区中的波数q 一定一定可在简约区中 找到 可在简约区中 找到唯一唯一一个一个q 使之满足 使之满足 2 qqG a l lGl为倒格矢为倒格矢 q a a 0 两个色散关系即有两支格波 两个色散关系即有两支格波 光学波 光学波 声学波 声学波 二 光学波和声学波的物理图象二 光学波和声学波的物理图象 第第n个原胞中个原胞中P Q两种原子的位移之比两种原子的位移之比 1 2 1 2 2 1 2 2cos 2 n n i aq i aq aq e A e BM 1 2 22 1 2 2cos R e 2cos i aq i maq e MmMmMmaq R 大于零的实数 反映原胞中大于零的实数 反映原胞中P Q两种原子的振幅比 两种原子的振幅比 两原子的振动位相差 两原子的振动位相差 1 光学波 光学波 optical branch 1 2 22 1 2 2cos 2cos n n i aq maq e MmMmMmaq 1 2 22 1 2 2cos 2cos iaq i maq e R e MmMmMmaq q aa Q 1 2 cos0aq 1 2 aq 1 i e 3 22 在 象限之间 属于反位相型 在 象限之间 属于反位相型 物理图象 原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反 物理图象 原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反 即原胞中的两种原子基本上作相对振动 而即原胞中的两种原子基本上作相对振动 而 原胞的质心基本保持不动 原胞的质心基本保持不动 当当q 0时 时 原胞中两种原子振动位相完全相反 原胞中两种原子振动位相完全相反 M m q n n 0 离子晶体在某种光波的照射下 光波的电场可以激发这 种晶格振动 因此 我们称这种振动为光学波或光学支 离子晶体在某种光波的照射下 光波的电场可以激发这 种晶格振动 因此 我们称这种振动为光学波或光学支 对于单声子过程 一级近 似 电磁波只与波数相同的格 波相互作用 如果它们具有相同 的频率 就会发生共振 对于单声子过程 一级近 似 电磁波只与波数相同的格 波相互作用 如果它们具有相同 的频率 就会发生共振 光波 光波 c0q c0为光速为光速 c0q 0 q q 0 对于实际晶体 对于实际晶体 0 在 在1013 1014Hz 对应于远 红外光范围 对应于远 红外光范围 离子晶体中光学波的共振可引起对远红外 光在 离子晶体中光学波的共振可引起对远红外 光在 0 附近的强烈吸收 附近的强烈吸收 1 12 2 2cos 22 2cos i aq imaq e R e MmMmaqMm aqMmmMmM eaqm aqi n n cos2 cos2 22 2 1 2 1 2 声学波 声学波 acoustic branch aq 2 1 22 LOTO 离子晶体中长光学波产生极化电场 增加了纵波的离子晶体中长光学波产生极化电场 增加了纵波的 恢复力 从而提高了纵波的频率 恢复力 从而提高了纵波的频率 极化电场的大小与正负离子的有效电荷极化电场的大小与正负离子的有效电荷q 有关 有关 222 LOTOTO 0 1 2 2 0TO 12 00 0 b 可以用可以用 LO2 TO2 来估算有效离子电荷的大小 来估算有效离子电荷的大小 Si GaAs 三 离子晶体的光学性质三 离子晶体的光学性质 用黄昆方程讨论离子晶体的光吸收 引入阻尼项 用黄昆方程讨论离子晶体的光吸收 引入阻尼项 1112 bb WWEW0 取复数形式解 取复数形式解 0 0 exp exp i t i t EE WW 2 1112 bib WWE 2 12 122222 2 11 b bbb bi PWEE 00 DEPE由由 0 弱阻尼情况 弱阻尼情况 2 0 22 0 0 i 2 12 22 2 011 1 1 b b bi 12 i 22 2 0 102 2222 0 0 2 202 2222 0 0 吸收功率正比于介电常数的虚部吸收功率正比于介电常数的虚部 2 在 在 0处有一吸收 峰 而在弱阻尼情况下 当 处有一吸收 峰 而在弱阻尼情况下 当 1 0时 时 L 0 NaCl NaClKClCsClTlCl 最大吸收波长最大吸收波长 m 61 170 7102 0117 0 四 极化激元 电磁激元 四 极化激元 电磁激元 考虑离子晶体长光学波于电磁波的耦合 考虑离子晶体长光学波于电磁波的耦合 0 0 0 0 0 0 tt tt BH E D HEP DEP BH Maxwell方程组方程组 2 1112 2 1222 bb t bb W WE PWE 唯象方程唯象方程 0 j 0 设晶格振动是频率为设晶格振动是频率为 波矢为 波矢为q的平面波 的平面波 0 0 0 0 exp exp exp exp i t i t i t i t WWq r PPq r EEq r HHq r 00 000 000 0 2 0110120 0120220 0 0 bb bb 0 qEH qHEP qEP q H WWE PWE 1 2 3 4 5 6 由由 5 6 得得 2 12 0220 2 11 b b b PE 代入代入 3 2 12 0022 2 11 0 b b b q E 对于纵波 对于纵波 0 0 q E 2 12 022 2 11LO 0 b b b 22 LO0 0 LST关系关系 对于横波 对于横波 0 0 q E 0 qE 由由 4 0 0 q H 0 qH 00 EH q E0 H0相互垂直 构成右手系 相互垂直 构成右手系 000 qEH 由由 1 由由 2 0000 qHEP 2 12 0220 2 11 b bE b 22 12 022 2 011 qb b b 2 00 1 c 2 22 0 222 0 0c q 2 2222222222 000 1 004 2 c qc qc q 解得解得 横波 横波 只与只与q的大小有关 而与的大小有关 而与q的方向无关的方向无关 高频支 高频支 低频支 低频支 纵波 纵波 L const 与 与q无关无关 cq 0cq L T 离子晶体的横光学波与电磁 波的耦合振动模称为极化激 元或电磁激元 既具有机械 振动的特性又具有电磁振动 的特性 离子晶体的横光学波与电磁 波的耦合振动模称为极化激 元或电磁激元 既具有机械 振动的特性又具有电磁振动 的特性 L 0 c q 0 0q c 0 c q 0q 3 5 确定晶格振动谱的实验方法确定晶格振动谱的实验方法 中子 或光子 与晶格的相互作用即中子 或光 子 与晶体中声子的相互作用 中子 或光子 受声子 的非弹性散射表现为中子吸收或发射声子的过程 中子 或光子 与晶格的相互作用即中子 或光 子 与晶体中声子的相互作用 中子 或光子 受声子 的非弹性散射表现为中子吸收或发射声子的过程 晶格振动谱可以利用中子 可见光光子或晶格振动谱可以利用中子 可见光光子或X光光子 受晶格的非弹性散射来测定 光光子 受晶格的非弹性散射来测定 只讨论单声子过程 只讨论单声子过程 一 中子的非弹性散射一 中子的非弹性散射 中子的非弹性散射是确定晶格振动谱最有效的实验 方法 中子的非弹性散射是确定晶格振动谱最有效的实验 方法 22 21 21 21 22 nn pp EE MM l h hh q ppqG 吸收声子的散射过程 吸收声子的散射过程 发射声子散射过程 发射声子散射过程 Mn 中子质量 中子质量 Gl 倒格矢 倒格矢 E1和和p1 E2和和p2 入射 出射 中子的能量与动量 入射 出射 中子的能量与动量 l QqGq 22 2121 22 nn pp MM h h pp 有有 慢中子的能量 慢中子的能量 0 02 0 04eV 与声子的能量同数量 级 中子的 与声子的能量同数量 级 中子的de Broglie波长 波长 2 3 10 10 m 2 3 正好与晶格常数同数量级 可直接准确地给出晶格振动 谱的信息 正好与晶格常数同数量级 可直接准确地给出晶格振动 谱的信息 中子的非弹性散射被广泛地用于研究晶格振 动谱 中子的非弹性散射被广泛地用于研究晶格振 动谱 局限性 不适用于原子核对中子有强俘获能力的情况 局限性 不适用于原子核对中子有强俘获能力的情况 Pb的晶格振动谱的晶格振动谱 Si GaAs 二 可见光的非弹性散射二 可见光的非弹性散射 我们将发射或吸收光学声子的散射称为我们将发射或吸收光学声子的散射称为Raman散射 将发生或吸收声学声子的散射称为 散射 将发生或吸收声学声子的散射称为Brillouin散射 散射 k1和和 1 入射光的波矢与频率 入射光的波矢与频率 k2和和 2 散射光的波矢与频率 散射光的波矢与频率 21 21 l hhh hhhh q kkqG 能量守恒和准动量守恒 单声子过程 能量守恒和准动量守恒 单声子过程 Brillouin散射 频移散射 频移 2 1 介于介于107 3 1010 Hz Raman散射 频移散射 频移 2 1 介于介于3 1010 3 1013 Hz 可见光的波矢可见光的波矢 k 105 cm 1 晶格振动所涉及的范围 即布里渊区的范围 晶格振动所涉及的范围 即布里渊区的范围 108 cm 1 用可见光散射方法只能测定原点附近的很小一部分 长波声子的振动谱 而不能测定整个晶格振动谱 这是 光可见散射法的最根本缺点 用可见光散射方法只能测定原点附近的很小一部分 长波声子的振动谱 而不能测定整个晶格振动谱 这是 光可见散射法的最根本缺点 Gl 0 入射光较弱时 入射光较弱时 p E Raman散射 散射 感应的偶极矩将向空间辐射电磁波 形成散射光 电子极化矩会被晶格振动所调制 从而导致频率改 变的非弹性散射 对 感应的偶极矩将向空间辐射电磁波 形成散射光 电子极化矩会被晶格振动所调制 从而导致频率改 变的非弹性散射 对立方晶体立方晶体 电子极化率 电子极化率 为标量 为标量 设 设 0 0 cost q rq r 极化率 电子极化率 极化率 电子极化率 设入射光波为 设入射光波为 011 cost EEk r 0011 coscostt q rEk r 0011 cost Ek r 0011 1 cos 2 t Ekqr 0011 1 cos 2 t Ekqr 0 pE 散射波为 散射波为 频率不变的弹性散射光 称为频率不变的弹性散射光 称为Rayleigh散射 散射 频率减小 频率减小 1 的散射 的散射 Stokes散射 散射 入射光与晶格振动的光学波相互作用所引起的频 率改变的非弹性散射光 称为 入射光与晶格振动的光学波相互作用所引起的频 率改变的非弹性散射光 称为Raman 散射 散射 频率增加 频率增加 1 的散射 的散射 anti Stokes散射 散射 晶格振动的声学波使晶体的折射率晶格振动的声学波使晶体的折射率n发生周期性变 化 从而使入射光发生非弹性散射 称为 发生周期性变 化 从而使入射光发生非弹性散射 称为Brillouin散射 散射 三 三 X光的非弹性散射光的非弹性散射 X光光子的波长光光子的波长 1 的数量级 其波矢与整个布里渊 区的范围相当