近几年浙江数学考题难题背景分析.pdf

I I 中 小学 数学 高 考 复 习 研 究 2 0 14 年 1 0 月 下 旬 高 中 近几年浙江数学考题难题背景分析 一 浙江省杭 州市余杭 区教育局教研 室 311100 陈朝阳 浙江海 宁市高级 中学 314400 张 小明 近几年浙江各类高中数学考试中 出现了一些背 景知识丰富的好题 本文选择其中若干难题进行背景 分析 以其抛砖引玉 一 多项式 的极值 点性 质 例 1 2 0 1 2 年 设口 R 若 0时均有 一 1 一1 一8 一1 0 贝 0 n 一 背景 定理 1 1 设 是实系数多项式 是 其一个零 点 则 一 是 的因式 2 设 厂 是实系数多项式 在 处取到极 大 小 值0 则 一 是 的因式 3 设 厂 是实系数多项式 在 处取到极 大 小 值 b 则 一 是 厂 一6的因式 定理 1 的证明 结论 1 为显然 结论 3 是结 论 2 的推论 下仅证结论 2 当 厂 在 处取到极小值0时 因为 取值为 0 所 以 一 是l厂 的因式 在 一 时 不为 0 i 若 为正 则 一 一 0 0 过程中 一 为负 正 乘正为负 正 与 厂 在 处 取 到极小 值 0矛盾 i i 在 一 时为负 同 理可得矛盾 当 厂 在 处取到极大值0 时 也同理可证 综上 定理 1 证毕 例 l 的解答 当 一 0时 o一1 一1 一 n 一1 一 1 所以 时 一1 1 一0 一 1 0 则知 1 对于零点 由定理l 知 一1 一1 一 一1 有因式 n一1 一1 一 44一 所 以 一 0 解 得 寻 例 2 2 0 1 2 年 已知 n 0 6 R 函数 厂 4 r 上 一2 6 一 0 b I 证 明 当0 l 时 1 函数I厂 的最大 值为 I 2 a一6 I 2 厂 I 2 a一6 I 0 若 一l 厂 l 对 0 1 恒成立 求 6的取值 范围 解答略 例 2的解答 I 1 当2 a b时 厂 I 2 n一6 I 0 3 a一6舒 4 a x 一2 b x一4 a 26 0 可 以 发 现 1为 左 式 的 零 点 甘 一 1 4 a x 4 a x 4 0 2 b 0 由于 1 4 a x 4 a x 4 o一2 b 4 a一2 b 0 所以上式成立 且 1 时 等式成立 即 厂 的最大 值为 I 2 a b I n 当 2 a 6 时 l 2 血一b I 0 b一 4 a x 一 2 b x O 2 x 2 a x 一b 0 此时因 0 2 a x 一b 2 a b 3 2 3 1 3 2 也 可 当 2 ab 0 的离心率 为 1 其左焦点到点 P 2 二 1 的距离为 v 1 0 不过原 点 0的直线 l 与 C相交 于 I 图 2 曰两点 且线段 A B被直线 O P平分 I 求椭 圆 C的方程 求 A 曰 P面积取最大值时直线 z 的方程 背景 仿 射变换 中的放缩 平移 和旋 转变 换分 另 0 为 后 0 f 和 LY 2 Y LY Y y n r c os 0 一 s i n 0 Y Ly s i n0 c o s 0 Y 仿射变换有如下性质 性质 1 三点连线 当且仅当变换后新三点也连 线 性质2 两条平行直线经变换后仍变为两条平行 直线 性质 3 变换保 持简比不变 性 质4 两个 封闭图形面积之 比不变 特别地 任 意两个 三角形面积之 比不变 性 质 5 在平面上给 定不共 线 三点 A B C及不 共线三点A B C 总存在一个变换把 A B C分别 变 到 A B C 推论 1 1 在平面上给定不共线三点 A B C 总存在一仿射 变换把 三角形 A B C变到等腰直角 Bf C 2 在平面上 给定不共 线 三点 A B C 总存在 一 仿射 变换把三角形 AA B C变到等边 4 B C 性质 6 圆的仿射对应 图形是椭 圆 例4的解答 I 详细解略 椭圆 C的方程 解 得 等 争 1 已 知 椭 圆 方 程 为 等 争 1 作 仿 射 变 换 l 则 譬 若 把 变 换 后 的 y 仍 记 为 则 椭 圆 化 为 圆 2 y Z 4 P 点 化 为 2 去 直 线 P 的 斜 率 为 直线 A 的斜率为 一 设 LO A B 则 S e A B 1日 艘 4 c 础 4 2 sin 4 2 s jn c s 5 4 c o s 一 砉 s 砌 8s j n 2 0 一 s i n 十4 一I l 中 小 学 数学 高 考 复 习 研 究 2 0 14 年 1 0 月 下 旬 高 中 令 一 8 i 一 i 4 0 解得 i 3 2 0 3 此 时5 面 积最大 2 s in 一 丝2 一 此 时 A B 的 直 线 方 程 为 y 4 c7 1 一 y 一 o 在作仿 射变换前 A 曰的直线 方程 为 0 2 y 3 x 一o一 只要我们细心观察就会发现 在仿射变换下 有 许多平面几何和解析几何题都有简单解法 以下定理 2的证明也说明这一点 四 双 曲线相切定 义 例 5 2 0 1 3年浙江省高中数学竞赛 已知直线 A B与抛物线 Y 4 x交于 A B两点 M为 A B的中点 C为抛 物线 上 的 一个 动 点 若 C o满足 m i n 则下列一定成立的是 A C o M 上A B B C M 上1 其中 f 是抛 物线过 C 的切线 C C o A上 C o B D C 0 M A B 背景 定义 平面直角坐标系内 两条曲线在交 点处有相同的切线 则称 这 双 曲线在交点 处相 切 定理 2 定 义在开 区间 上 的Y 厂 为一可导 函 数 其图像与圆或椭圆只有一个交点 则这 双 曲线 在交点处相切 定理2的证明 由仿射变换知 条件 其图像与 圆或椭圆只有一个交点 可化为 其图像与圆只有一 个交点 并且随着坐标轴的旋转和平移 我们可以假 设 圆的方 程为 y 2 i 2 Y 与圆仅有 的交 点 设为 A Y 上的任一 点 B x 到原点 的距离 的 平方 I O BI 为 除 点外 在Y 厂 上其 余 的点都在 Y r 外 所以 I O Bl 在 处取 到最小值 一 4 6一 0 2 a 2 厂 n 尸 o 0 n 一 志 则 知 Y 厂 在 A n 的 切 线 斜 率 为 一 页 同 时 过 点的圆的 切线斜率 满足 1 k 所 以两条切线为同一条 定理 2得证 例5的解答 仿例3的解答 是抛物线上离M 点最近 的点 以 M为 圆心 以 MC 为半径 的圆与抛 物 线仅有一个交点 根据定理 2 抛物线与圆相切 有 共 同切线 故答 案选择 B 五 一元三次函数图像的中心对称点 例 6 2 0 1 3年 已知 n R 函数 厂 一 3 I 3 一 3 0 3 1 求曲线 y 厂 在点 1 1 处的切线方 程 2 当 0 2 时 求 I 厂 I的最 大值 背景 定理 3 任何一元三次函数y z c d 图 像 都 有 中 心 对 称 点 一 b d 嘉一 定 理 3 的 证 明 y n c d n 一 s 一 c d n c 一 一 b 3 c 一 3 a d 一 b 3一 c 一 r z 3 a c 一 3 a d 一 3 a 例6的解答 1 略 2 考虑 到上述定理 函数 厂 的中心对称点为 1 1 故设 一1 则 I厂 I厂 t 1 t 1 一3 t 1 3 a t l 一3 a 3 t 一3 t 3 a t 1 下面考虑 l g t I I 一3 t 3 a t 1 l 存 一1 1 上 的最 大值 其 中g t 一3 t 3 a t 1 g 3t 2 3 3n 2 0 1 4 J 1 o 月 下 旬 高 中 高 考 复 习 研 究 一 4 4 学 数学 A 如图 3 当a 1 时 g 0 g t 为单调 增加 由于其图像关于 0 1 对称 所以 I g t I的最 大值为g 1 3 a一1 j 2 一 广 一 1 一 1 图 3 y y g t f f l 1 1 一 1 y 厂 1 y g t 一 1 f 1 一 f t l 图 4 图 5 B j 图4 当a 0 g t 3 t 一3 3 0的零点 在区间 一1 1 外面 g f 0 g t 为单调减少 由 于其图像关于 0 1 对称 所以 l g t l的最大值为 g 1 3 3 o C 如 图5 0 a 1时 g t 3 t 一3 3 的 零点满足 1 t 0 t l 1 由于其图像关于 0 1 对称 所以 I g t I 的最大值为ma x g g 1 其 中 1 g t 一 1 一 n r 二 3 一 3 n 1 1 2 2 a 1 1 g 1 3 a一1 下面讨论 2 2 1一a 1 与 3 a一1 孰大孰小 当0 时 显然 g 1 g 1 当 0 1 时 2 2 a 二 1 3 a 一 1 1 3 a 3 a 一a 9 a 一1 2 a 4 3口2 4 0 3 综 上 我 们 有 当 n 时 所 求 最 大 值 为 3 a 1 当 0 n 时 最 大 值 为 2 1 一 n 丁3 1 当 P 2 E E B p E C P P 2 E 岛 D p P 2 E 1 0 b 0 且a 6 则糖的质量和糖水的质量比为 若再添加 c 克 糖 c 0 则糖的质量和糖水 的质量 比为鱼 生活 经验告诉 我们 添加糖后 糖水会更 甜 于是得 出一个 不等式 一