chap03-02答案.pdf

量子力学 第三章 习题 2 一 选择题 说明 每空 2 分 共 10 分 注 多选 少选 错选 不给分 1 下列说法正确的有 c a 如果量子态 1 是算符 和 的共同本征函数 则必有 0 b 如果量子态 1 不是算符 和 的共同本征函数 则必有 0 c 如果 0 则算符 和 可以有共同的本征函数系 d 如果 0 则算符 和 不可能有共同的本征函数 e 如果 0 且量子态 是算符 的本征态 则 也必是算符 的本征态 2 1 自由粒子具有的守恒量有 b c d e f g h i 2 处于立方体势阱中的粒子具有的守恒量有 i 3 在线性谐振子势 V r 2r2 2 中运动的粒子守恒量有 e f g h i 4 在势场 V r Ar2 Br3中运动的粒子 其中 A B 是非零实数 守恒量有 e f g h i a 位置 b 动量 c 动能 d 势能 e 角动量的 x 分量 f 角动量的 z 分量 g 角动量的平方 h 宇称 i 能量 二 填空题 说明 每空 1 分 共 40 分 1 如果算符 作用在一个函数 结果等于 乘上一个常数 即 则称 是算符 的本征值 是 属于 的本征函数 称为算符 的本征方程 当体系处于 的本征态 时 力学量 O 有确定的 值 这个值就是 在 态中的本征值 2 量子力学中表示力学量的算符都是线性厄米算符 它们的本征函数构成完备系 测量力学量所得的可 能值是这个力学量的本征值之一 厄米算符的本征值是实数 属于不同本征值的本征函数相互正交 如果 是厄米算符 它的正交归一本征函数是 n x 对应的本征值是 n 则任意一个波函数 x 可以 按 n x 展开为级数 即 x cn n x 式中 cn n x x dx 本征函数的这种性质称为完备性 或者 说 n x 构成完备系 则测量力学量 所得数值是 n的概率是 cn 2 力学量 的测量值 即期望值 是 n cn 2 3 如果两个算符对易 则这两个算符有组成完全系的共同本征函数 如果一组算符有共同的本征函数 而且这些共同的本征函数组成完全系 则这组算符中的任何一个和其余的算符对易 4 要完全确定体系所处的状态 需要有一组相互对易的力学量 这一组完全确定体系状态的力学量 称 为力学量完全集合 在完全集合中力学量的数目一般应与体系的自由度的数目相等 例如 三维空间 中的自由粒子的自由度是 3 完全确定它的状态需要 3 个力学量 zyx ppp 不考虑自旋时 氢原子中 电子的自由度是 3 完全确定它的状态需要 3 个相互对易的力学量 z llH 2 或者三个量子数 n l m 5 氢原子的第一 Bohr 半径表达式是 22 0 see mah 数值是 0 53 氢原子基态能级的表达式是 0 2 1 2 aeE s 数值是 13 6eV 氢原子中电子的约化质量表达式是 pepe mmmm 6 氢原子的波函数通常用 nlm来表示 所对应的哈密顿的本征值是 0 22 2 aneE sn 角动量平方的本征 值是 l l 1 2 角动量 z 分量的本征值是 m 其中量子数主量子数 n 的取值范围是 1 2 3 如果仅仅 知道主量子数 n 则能级的简并度是 n2 轨道角动量量子数 l 的取值范围是 0 1 n 1 如果知道主量 子数 n 和轨道角动量量子数 l 则能级的简并度是 2l 1 磁量子数 m 的取值范围是 0 1 l 电子的 能级对磁量子数 m 简并 即能级与 m 无关 是由于势能是中心力场 势能仅与 r 有关 而与决定方向的 无关 而来的 能级与 l 无关 则是库伦势场所特有的 三 计算题 说明 每题 5 分 共 35 分 1 设体系处于 0 121 11 YcYc 态 其中 c1 2 c2 2 1 求 1 z l 的可能测值及其相应的几率 平均值 2 2 l的可能测值及相应的几率 平均值 3 参考教材 58 页球谐函数的表示 利用坐标轮换给出 x l 的 本征函数 将 表示成 x l 的本征函数的线性迭加 4 x l 的可能测值及其相应的几率 平均值 解 1 z l 的可能测值是 0 相应的几率是 c1 2 c2 2 平均值是 c1 2 2 2 l的可能测值是 2 2 相应的几率是 1 平均值 2 2 3 2 l和 z l 的本征函数是 r iyx Y 8 3 1 1 r z Y 4 3 0 1 r iyx Y 8 3 1 1 利用坐标轮换 即 x y z x 可以得到 2 l和 x l 的本征函数是 r izy X 8 3 1 1 r x X 4 3 0 1 r izy X 8 3 1 1 则有 1 130 121 11102111 XaXaXaYcYc 即 8 3 4 3 8 3 4 3 8 3 32121 r izy a r x a r izy a r z c r iyx c 可得2 2 121 ccia 2 12 ca 2 2 123 ccia 4 x l 的可能测值是 0 相应的几率是 a1 2 a2 2 a3 2 平均值 a1 2 0 a2 2 a3 2 2 12 21 cccc h 2 教材第 91 92 页习题 3 2 3 3 3 4 3 9 3 13 教材习题 3 2 由于 2 0 0 2 2 00 2 0 2 0 sin 1 a rdredd a dr ar 则有归一化的波函数是 0 3 0 ar e a r 1 ardrredd a drrr ar 0 0 2 2 00 2 3 0 2 2 3 sin 1 0 2 0 2 0 2 00 2 2 3 0 22 0 1 sin a e drre r dd a e r e ar 3 电子出现在 r dr 球壳内出现的几率为 2 2 3 0 0 4 re a r ar 0 2 0 3 0 2 2 4 ar rer aadr rd 令 0 dr rd r1 0 r2 r3 a0 当 r1 0 r2 时 r 0 为几率最小位置 drre a ded a drr drddrrdrr arar2 2 3 0 2 0 2 0 3 0 2 0 2 0 22 00 4 sin sin 0 22 2 00 3 0 2 2 48 2 4 ar er a r aadr rd 0 8 2 3 0 2 2 0 e adr rd ar r3 a0是最可几半径 4 2 2 2 2 2 1 h pT 其中 22 2 2 2 sin 1 sin sin 1 1 r r rr 则有 0 2 00 2 2 3 0 2 sin 1 2 00 drreedd a T arar h 2 0 2 0 2 00 2 2 2 3 0 2 2 1 sin 1 2 00 a drre dr d r dr d r ed d a arar hh 5 0 2 00 2 3 0 2 3 0 1 2 1 sin drre a ed ddrrpc ar rp i p h rr r h r 0 2 00 2 3 0 2 3 0 cos sin 1 2 1 drreed d a ar ipr h h 2 2 2 2 0 0 33 0 1 4 2 1 h h h p a a ip ipa 222 2 0 44 0 0 33 0 2 4 h h h pa a aa 动量几率分布函数 422 0 2 53 0 2 8 h h pa a pcp 教材习题 3 3 电子的电流密度为 2 mnmnmnmne i eJeJ llll h rr 其中 在球极坐标中为 sin 11 r ee rr er rrr 式中 eeer rrr 为单位矢量 sin 11 sin 11 2 mnrmn mnrmne r ee rr e r ee rr e i eJeJ ll ll rrr rrrh rr sin 1 sin 1 1 1 2 mnmnmnmnmnmn mnmnmnmnmnmnr rr e r r e rr e ie llllll llllll r rrh 由于 nlm中的 r 和 部分是实数 eimim r ie J mnmne rh r ll sin2 22 e r me mn rh l 2 sin 可见 0 eer JJ 2 sin mne r me J l h 教材习题 3 4 解 1 一圆周电流的磁矩为 AdSJiAdM e i 为圆周电流 A 为圆周所围面积 2 2 sin sin rdS r me mnl h dSr me mn 2 sin l h drdr me mn 2 2 sin l h rdrddS 2 氢原子的磁矩为 00 2 2 sindrd r me dMM mnl h 00 2 2 sin2 2 drd r me mnl h ddrd r me mn 2 000 2 2 sin 2 l h 2 meh 教材习题 3 9 解 在此能量中 氢原子能量有确定值 2 2 22 2 2 82hh ss e n e E 2 n 角动量平方有确定值为 222 2 1 hhll L 1 l 角动量 Z 分量的可能值为0 1 Z L和h 2Z L 相应的几率分别为 1 4 和 3 4 其平均值为hh 4 3 4 3 0 4 1 Z L 教材习题 3 13 解 设氢原子基态的最概然半径为 R 则原子半径的不确定范围可近似取为Rr 由测不准关系 4 2 22 h pr 得 2 2 2 4 R p h 对于氢原子 基态波函数为偶宇称 而动量算符p r 为奇宇称 所以0 p 又有 2 2 2 ppp 所以 2 2 22 4 R pp h 可近似取 2 2 2 R p h 能量平均值为 r eP E s 22 2 作为数量级估算可近似取 R e r e ss 22 则有 R e R E s 2 2 2 2 h 基态能量应取E的极小值 由0 2 2 3 2 R e RR E s h 得 2 2 s e R h 代入E 得到基态能量为 2 4 min 2h s e E 3 计算一维线性谐振子处于基态时位置和动量的不确定关系 解 利用一维线性谐振子本征函数的递推关系 教材 2 7 19 2 7 20 1 2 1 11 xnxnxx nnn 2 1 10 xxx 1 2 11 xnxnx dx d nnn 2 10 xx dx d 利用一维线性谐振子本征函数的正交归一关系 教材 2 7 16 即 mnmn dxxx 当一维线性谐振子处于基态时 可得 0 2 1 100 000 dxxxdxxxxxxxxx 2 11 0 0000 2 0 22 2 1 2 1 2 1 dxxx dxxxxxxxxxxxxxx 0 2 100 000 dxx i xdxx dx d ixxpxpp xxx h h 2 2 2 22 11 0 0000 2 0 22 hhh hh dxx i x i dxx dx d ix dx d ixpxpxpxpp xxxxx 2 222 2 1 xxx 2 22 2 22 h xxx ppp 4 2 22 h x px 四 证明题 说明 每小题 5 分 共 15 分 1 利用算符间的对易关系 证明在分立能级本征态下动量平均值为零 证明 设定态波函数是的 x 即有 zyxEzyxH 则有 mpi m ppp xTxxVTxHx x zyx 2 222 h 因此有 xHHxHxmpimpimpi xxx hhh 0 xExE xExExHExxHHx 即0 x p 以上的证明中利用了体系的哈密顿量是厄米算符 以及厄米算符的本征值为实数的性质 同理可得0 y p 0 z p 2 利用角动量间的对易关系 证明在 z l 的本征态下 1 x l 和 y l 的平均值为零0 yx ll 2 2 2 2222 1 2 mllllll yyxx h 3 处于 Yl m Y5 2 状态时 lx ly 证明 1 由于 xzy lill h 利用 z l 是厄米算符 其本征是实数的性质 则有 0 mlymlmlyml mlymlmlymlmlymlzmlzyml mlyzmlmlzymlmlzymlmlxmlxx YlYmYlYm YlYmYmlYYlYlYllY YllYYllYYllYYliYlili hh hh hhh 即0 x l 同理利用 yzx lill h 可得0 y l 证明 2 2 2 22 xxxx llll 2 2 22 yyyy llll 定义 yx l ill yx l ill 则有2 lllx illly2 4 2 lllllllllx 4 2 llllllllly 且有 lllliilillillll illl yxxyzyzxzyxz hhhh lllliilillillll illl yxxyzyzxzyxz hhhh mlzmlmlzmlzmlzzmlz YllYlmYllYllYllllYll h 又有 mlmlz YlYll h mlzmlmlzmlzmlzzmlz YllYlmYllYllYllllYll h 又有 mlmlz YlYll h 因此 mlmlz YlmYll 1 h 即 1 mlml cYYl是 z l 的本征值为 m 1 的本征函数 l 算符使 Yl m 的量子数 m 增加 1 变为 Yl m 1 mlmlz YlmYll 1 h 即 1 mlml cYYl是 z l 的本征值为 m 1 的本征函数 l 算符使 Yl m的量子数 m 减小 1 变为 Yl m 1 因此4 4 2 ml