我所认识的应力与应变.doc

机械与动力工程学院 动力工程专业 南京工业大学 我所认识的应力与应变 机械与动力工程学院 动力工程专业 学号 602430107013 杨栋君 一点的应力 应变 应力与应变 材料 应力 应变是材料力学与弹塑性力学两门课程中两个非常重要的基本概念， 力学主要讨论平面应力状态以及平面应力状态下的应变分析， 而弹塑性力学则研究空间应力 状态与应变状态。 我最先接触应力与应变是在材料力学的绪论中，材料力学中的应力首先是由研究构件 （组成机械的零件或结构物的构件统称为构件，如建筑物的梁和柱，机床的轴等）截面处某 一点的强弱程度而逐渐引入的。应力定义为“单位面积上所承受的附加内力”。材料力学中物 体因受外力作用而变形， 其内部各部分之间因相对位置改变而引起的相互作用称为内力 在 内力， 内力 截面 m ? m 上，围绕 c 点取微小面积 ?A ， ?A 上分布内力 内力的合力为 ?p （ ?p 的方向和大小 内力 与 c 点的位置和 ?A 的大小有关） ，平均应力 pm = ?p ，代表在 ?A 范围内，单位面积上内 ?A 力的平均集度。通过引入数学的极限法，随着 ?A 的逐渐缩小，当 ?A 趋于零时，平均应力 ?p ，称 p 为 c 点的应力 应力。应力 应力 ?A p 是一个矢量，一般既不与截面 m ? m 垂直，也不与截面 m ? m 相切。 lim lim pm 的大小和方向都趋向于一定极限，即 p = ?A0 pm = ?A0 在弹塑性力学中，针对应力 应力首先引入了体力（作用在物体微粒体积上的力）和面力（沿 应力 着物体表面的分布力）的概念。可变形固体在外力等因素的作用下，其内部各部分之间就要 产生相互的作用，内力 内力指物体内的一部分与其相邻的另一部分之间相互作用的力。应力 应力就是 内力 应力 载荷引起的物体内单位面积上的内力， 内力， 内力在截面上某一点的分布集度。 这点与材料力 内力 表示内力 内力 学中的应力的定义基本一致。 但弹塑性力学中更细化的从空间 （取平行于坐标面的 3 个两两垂直的微元平面） 研究一 点 c 处的应力状态，当微元面趋于零时，上面作用的应力就代表过 c 点任何截面上的应力， 由爱因斯坦的求和约定引入了应力张量。每一行为过 c 点的一个面上的 3 个应力分量，便构 ? x xy xz ? ? 11 12 13 ? ? ? ? ? 成应力张量。 ij = ? yx y yz ? 或者 ij = 21 22 23 （应力张量的 9 个分量必 ? ? ? zx zy z ? ? 31 32 33 ? ? ? ? ? 须满足正交坐标系中二阶张量的变换公式） 。由此可以看出应力不是一个简单的矢量，它是 对某点内力的精确描述。 与材料力学中的不同， 在弹塑性力学中应力是一个依赖于另一个矢 量的矢量，它是一个二阶张量，而且是一个二阶对称张量，既与所研究的点的位置有关，也 机械与动力工程学院 动力工程专业 南京工业大学 与面元的位置有关。根据 x, y , z 三个方向内力的平衡方程，运用高等数学展开为级数并略去 高阶微量，便得平衡方程（即平衡微分方程） ，它所描述的是内部应力与外部应力之前的关 系， 这点与材料力学中描述物体内部各部分之间相互作用的应力有所区别的。 根据通过微元 体中心且平行于 x, y , z 轴的线为取力矩的轴，列力矩平衡条件，则可得： xy = yx , yz = zy , zx = xz 。这个公式表明的就是剪应力互等定理，与材料力学中剪应力 互等定理描述的正应力和切应力略有不同： 弹塑性力学和材料力学正应力方向相同， 切应力 符号不同。针对 12 个力的空间力系，可以表述成 6 个方程（3 个力的平衡方程，3 个力矩平 衡方程） 。一点的应力状态是为任意点处各个方向上的应力状况。针对内部微元体的平衡则 采用应力平衡方程（即纳维方程） ij , j + Fi = 0 ；边界微元体的平衡采用应力边界条件， ， l , l , l -边界外法线的方向余弦， ? p , p , p ? -边界上已知的面力分量， ? ? x y z ? x y z ? ? xx yx ? ? xy yy ? xz yz ? ? zx ? ? p x ? ? xx yx zx ? ?l x ? ? ? ? zy ? -边界各点应力，应力的边界条件： ? p y ? = ? xy yy zy ? ?l y ? ? ? ? zz ? ? p ? ? xz yz zz ? ?l z ? ? ? ? ? ? z? ? ? 针对应变 应变，材料力学中是这样定义的：物体在外力作用下，发生变形，同时引起应力， 应变 物体内部各点处变形程度一般并不相同。 用以描述一点处变形的程度的力学量是该点的应变 （描述线变形的称为线应变；描述角变形的为切应变） ，描述应变也运用了高等数学中的极 限法。线应变实际上就是单位长度上的变形量，为无量纲，其物理意义是构件上一点沿某一 方向变形量的大小；切应变是一点单元体两棱角直角的改变量，也无量纲。实际构件的变形 一般是极其微小的， 需要用精密的仪器才可以测定， 而且材料力学所研究的问题限于小变形 的情况（认为无论是变形或因变形引起的位移，其大小都远小于构件的最小的尺寸） 。构 件变形的基本形式主要有拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲。 弹塑性力学针对应变 应变解释了位移和变形的概念： 位移是物体上某点空间位置的改变， 物 应变 体变形的数学描述。 位移由刚体位移 （物体整体的移动和转动所产生的位移） 和变形位移 （物 体各部分之间的相对运动所产生的位移）两部分组成。分析了物体位移的构成，才能更清晰 的了解什么是变形。 变形描述了物体各组成部分之间的相对位置的变化， 物体形状和尺寸的 变化（物体形状和尺寸有长度和角度两个要素） 。应变是一点变形的精确描述，包括线应变 和角应变。在这点上材料力学和弹塑性力学的表述是一致的。即线应变为： 机械与动力工程学院 动力工程专业 南京工业大学 n = lim PA 0 P A? PA ，表示点 P 在 PA 方向上的线应变；角应变为： mn = lim ( ? ) ， PA0 2 PA PB 0 表示点 P 在 PA 与 PB （ PA PB ）方向的剪应变。进一步引入了应力张量，在直角坐标 系中用一点的三个正应力和三个剪应力来表示某点的应变分量， 其中一点的应变分量如同前 ? ? x ?1 面的应力分量相似写法，记为 ij = ? yx ?2 ?1 ? 2 zx ? 1 xy 2 y 1 zy 2 1 ? xz 2 ? 1 ? yz ? ，应变张量的分量是随坐标系的 2 ? z ? ? ? 选择而改变的，并且满足二阶张量的转轴公式，也是一个二阶对称张量。弹塑性力学对一点 的应变状态的描述为： 该点任意斜方向的线应变和该点任意两正交方向的剪应变。 这点与材 料力学中应变的描述也基本一致。 弹塑性力学中根据连续性假设，物体变形后仍保持其连续性，在数学上，要求位移函数 是空间坐标的单值连续函数， 否则变形后就会出现裂缝或者重叠。对 6 个独立的应变分量任 意给定 6 个函数时， 就有可能出现这种变形不协调的现象， 因此各应变分量之间必须满足一 定的关系。由此引出两个重要方程和一个边界条件： 柯西方程： x = ?v ? w ?v ?u = ?v +?u ?w ?u ?w y = yz = + z = zx = + xy ?x ?y ； ?y ， ?y ?z ； ?x ， ?z ， ?z ?x 柯西方程成立的前提条件为受力物体的形变满足小变形理论， 柯西方程所反映的是位移和应 变的关系。柯西方程的意义表示由连续可导的位移场求应变场。 圣维南方程（应变协调方程或相容方程） ： 2 2 ? 2 ? 2 yz ? 2 x ? y ? xy ? 2 ? 2 zx ? 2 ? 2 + 2 = ， 2y + 2z = ， 2z + 2x = （分别表示 ?y 2 ?x ?x ?y ?z ?y ?y ?z ?x ?z ?z ?x xy, yz , zx 面内协调） 2 ? ? ? yz ? xz ? xy ? ?2x ? ? ? yz ?xz ?xy ? ? y ? ? ? yz ? xz ?xy ? ?2z ? ? =2 ? ? =2 ? =2 + + , ? + , ? + ? ?x ? ?x ?y ?z ? ?y?z ?y ? ?x ?y ?z ? ?x?z ?z ? ?x ?y ?z ? ?x?y ? ? ? ? ? ? （分别表示面面之间协调） 。 应变协调方程表示要使以位移分量为未知函数的 6 个几何方程不相矛盾， 6 个应变分 则 量必须满足应变协调方程。6 个应变分量息息相关，可由其中几个已知量求其它未知量。对 机械与动力工程学院 动力工程专业 南京工业大学 于单连通物体， 应变分量满足圣维南方程是物体连续的充要条件； 对于多连通物体应变分量 满足圣维南方程是物体连续的必要条件。 圣维南方程反映的是受力物体的各个应变之间的关 系。位移的单值性条件：变形前和变形后的相容性（位移相同） u = u 。对于多连通域 ， 位移的单值性，针对切口或者截面，需运用位移单值条件；针对基域，则需运用应变协调方 程（圣维南方程） 。 边界上各点位移满足的条件为位移的边界条件，物体的某些边界上，有约束存在，则 位移在边界的取值应等于边界上已知的位移，即 ?i = ?i , vi = vi , wi = wi ，位移边界条件反 应了边界上的几何约束或边界上的变形协调，即不允许在物体边界上发生位移不连续的情 况。 在材料力学中有个圣维南原理， 其指出力作用于杆端的分布方式， 只影响杆端局部范围 的应力分布，影响区的轴向范围约离杆端 12 个杆的横向尺寸。 综上所述， 相比弹塑性力学研究的对象和材料力学研究的对象， 弹塑性力学研究的对象 发生了改变。材料力学主要研究的是杆件，针对相关的问题作出一些简化的假定，如在讨论 梁的问题时，采用了平面截面的假定等，在这些假定之下，得到便于实际计算但精度较差的 公式， 所用的数学工具也较简单， 因而这种方法的应用范围受到了限制。 弹塑性力学则不同， 它力求用更普遍、更精确的方法来求解问题，在更为广泛的前提下，运用数学解析为工具， 导出