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三维Hopf分支定理1 考虑系统（1.1）设在包含原点的一个领域内解析，有特征值和则有下列结论：（1） 若（1.1）式的原点当时是稳定而不渐近稳定的平衡点时，则方程（1.1）的解在原点邻域内的某一曲面上全是闭轨；（2） 若（1.1）的原点当时是渐近稳定（不稳定）的平衡点，则对充分小的，（1.1）在原点的邻域内有渐近稳定的闭轨.证 不妨假设在的导算子形式为否则可以通过线性变换化为这一形式.在（1.1）中增添一个方程后得四维系统（1.2）其中在点的一个邻域内解析，且是的高次项.系统（1.2）满足中心流形定理的条件，所以有常数和在上定义的任意阶连续可微函数它满足且集合是（1.2）的不变流形.从中心流形满足的偏微分方程还可得到将代入（1.2）前三个方程（1.2）的中心流形上解所满足的方程为（1.3）从（1.3）的第一个方程看出，在中心流形上保持为常数，故（1.3）可简化为（1.4）其中由定理的条件知是类函数，且（1.4）满足平面分支定理的条件，故由学过的定理可以得到在三维空间的曲面上存在（1.1）的周期解.定理1 中的情况（1）或（2）的区分及周期解的稳定性可以通过讨论（
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