随机振动 第1章.ppt

主要讲述内容 随机变量的分布及其数字特征随机过程相关系数和相关函数傅里叶变换功率谱密度机械振动基础随机振动的响应分析汽车振动应用与实践 研究的主题 随机变量变化的规律性的特征 关系 第一章随机变量的分布及其数字特征 随机变量及其分布列 分布函数确定现象在一定条件下必然发生或必然不发生的现象比如简谐运动 随机现象在一定条件下可能发生也可能不发生的现象它在事前是不可确定的在一次试验中它有随机性在大量重复试验中 它有具有统计规律 任意给定时间t 都可以得到确定的物理量x 随机变量定义在随机试验的结果中能取得不同数值的量随机变量类型离散型随机变量 仅能取得有限个或无限多个可数的数值连续型随机变量 可取得某一区间内的任意数值举例例1 六轮赌例2 抛掷硬币试验出现正面的现象为随机现象 反之亦然 用1表示出现正面用0表示出现反面用随机变量X表示试验结果 X取值为1或0X为离散随机变量 例3 掷骰子试验出现任一点的现象为随机现象每次试验有六种可能 出现1 2 3 4 5 6中的某一个点数用X作为随机变量 取值可以分别为1 2 3 4 5 6X为离散型随机变量例4 取鸡蛋一批鸡蛋中有q 的坏鸡蛋 任取两只 取得坏蛋的情况为随机现象可取得0只坏蛋 1只坏蛋 2只坏蛋用X为随机变量 取值可为0 1 2X为离散型随机变量例5 乘804公交汽车上街上车后5分钟时座椅振动加速度为1 2m s s的情况为随机现象上车后某时刻座椅加速度取某一区间内的数值的情况为随机现象用X为随机变量表示某一时刻座椅处的振动加速度X为连续型随机变量 分布列 针对离散型随机变量 定义设随机变量X的取值为记相应的概率值为将随机变量的取值与其相应的概率值列成表 这种表就称为分布列描述随机变量的统计特性例1 掷硬币试验的分布列例2 掷骰子试验分布列 分布函数定义 描述随机变量的统计特性随机变量X取小于等于连续实数值的概率称为X的分布函数对离散型随机变量性质是非减函数 举例1 连续随机变量分布函数 线段0a内随机投一质点假设落在0a上任一点都是可能的落点位置是一个连续型随机变量 分布函数 举例2 离散随机变量分布函数 前面取鸡蛋的例子设抽到坏鸡蛋的个数为随机变量X设经计算取两只鸡蛋其中0只 1只和2只坏鸡蛋的概率分别为分布函数 概率密度函数定义设F x 为连续型随机变量X的分布函数且连续可微X落在区间的概率为则概率比度函数定义为概率密度函数与分布函数的关系式若不计高阶无穷小 落在小区间的概率与概率密度函数 分布函数与概率密度函数X落在区间的概率概率密度函数的特点非负函数下述积分区域内结果为1 几何意义举例例1 设正弦函数 若随机任选一时间t 且时间t的选取是等可能的 问x t 落在x到x dx范围内的概率是多少 并求概率密度和分布函数 x t 落在x到x dx的概率概率密度函数分布函数 函数为周期函数 只讨论一个周期即可 周期为T 概率密度函数和分布函数曲线例2 由试验获得某参数时间历程样本记录曲线x t 设其为各态历经的随即过程 求此参数x t 随机变量 的概率密度函数 测试曲线落在 落在区间的概率概率密度函数当很小时更精确表达 分析仪处理概率密度函数对时间历程等间隔采样 间隔时间取N个采样区间其中有个采样点落在概率密度函数为 均匀分布和正态分布均匀分布 等概率分布 概念随机变量X的一切可能取值都在某一区间 a b 内在该区间内的任一等长度区间都具有相同的概率概率密度函数p x 在区间 a b 内为常量概率密度函数 分布函数函数曲线 正态分布 高斯分布 定义设随机变量X的概率密度函数为其中均为常数 且则称此随机变量X服从参数为的正态分布 记分布函数 概率密度函数和分布函数曲线标准正态分布当 称随机变量X服从标准正态分布概率密度函数和分布函数分别为 有表可查 概率密度函数特性对称性 关于对称在处曲线有拐点 且曲线以ox轴为渐进线如不变 改变值 则p x 平移 形状不变 当时 p x 具有最大值如不变 改变 越小 曲线越尖 X落在附近概率越大 随机变量函数的分布概念设X是随机变量 则它的函数Y g X 也是随机变量当X取值为x时 随机变量Y取值y g x 现已知X的分布 要确定它的函数Y g X 的分布离散型随机变量函数的分布已知X的概率分布 随机变量函数Y g X 的分布如果的值都不相等Y的分布为如果中的值有相等将相等的值分别并起来根据概率加法定理将对应的概率相加 例1随机变量X的概率分布如下 求的分布Y的分布 注意 例2X的概率分布如下 求的概率Y的分布 注意X取值为 1 0 1时Y取值为1 0 1 连续型随机变量函数的分布概念已知X的概率密度函数p x 和随机变量函数Y g X Y取值y g x 在X一切可取值的区间是连续的根据p x 求Y g X 的概率密度函数 分三种情况讨论Y g X 是单调增函数其反函数x h y 也是单增函数 Y y当且仅当X h y 时才可能因此 随机变量Y的分布函数为经复合求导 Y的概率密度函数为 Y g X 是单调减函数其反函数x h y 也是单减函数 Yh y 时才可能Y的分布函数为Y的概率密度函数为 求导 上述两种单调函数概率密度函数合并可表示成 例1设随机变量X的概率密度函数为p x 求Y kX b的概率密度函数 k b均为常数 求解 例2若上例中的随机变量X的概率密度函数为正态分布则线性函数Y kX b的概率密度函数为服从正态分布的随机变量的线性函数也服从正态分布分布参数分别为 Y g X 不是单调函数Y y的概率为的概率之和积分区间依赖于y 即随y变化求导即得随机变量Y得概率密度函数 例随机变量X在区间服从均匀分布其分布概率密度函数求的概率密度函数 解当 概率密度函数为当 同理可得因此 概率密度函数为 随机变量的数字特征数学期望 均值 定义一设离散型随机变量X的分布规律为若级数绝对收敛 则称为X的数学期望 记为 即 定义二对连续型随机变量 若其概率密度函数为p x 且积分绝对收敛 则其数学期望为数学期望的重要性质E c c c为常数E cX cE X E cX d cE X d c和d均为常数E X Y E X E Y X和Y为两个独立的随机变量E X Y E X E Y X和Y为两个独立的随机变量E XY E X E Y X和Y为两个独立的随机变量 方差离差的概念方差随机变量X的离差的平方的数学期望称为X的方差对连续型随机变量对离散型随机变量 随机变量X的离差离差的数学期望恒为零E Y E X E X E X E X 0 方差的重要性质D c 0 c为常数D cX D c X D X 设X Y为两个独立的随机变量标准差 均方差 均方值离散型随机变量连续型随机变量 如果数学期望E X 0方差就等于均方值 方差 均方值和数学期望之间的关系正态分布的数学期望与方差数学期望方差 随机变量的正态分布 可由其数学期望和方差完全确定 3规则二维随机变量二维随机变量的联合分布函数联合分布函数的定义连续型随机变量X Y 表明X落在区间内几乎是近于所有的值 离散型随机变量边际分布函数X Y各自的分布函数连续型随机变量边际分布函数的定义离散型随机变量边际分布函数的定义 可类似的表示 如果联合分布函数已知 则可求得边际分布函数反之一般不成立但若二维随机变量X Y相互独立 则有联合分布函数的性质是两个变量的非减函数落在区域R内的概率 二维随机变量的概率密度分布函数联合概率密度函数定义二维随机变量随机落在区域内的概率为联合概率密度 不计高阶小量 有随机点落在面积R的概率联合分布函数用概率密度函数表达 边际概率密度函数定义与边际分布函数的关系若X Y相互独立 则有联合概率密度函数