Ch04 转动参照系.doc

理论力学讲稿第四章 转动参照系教 材：理论力学教程编 者：周衍柏主讲教师：石东平（教授、硕士）单 位：重庆文理学院电子电气工程学院授课专业：物理学本科（师范专业）理论力学教案 第四章 转动参考系第四章 转动参照系一、本章内容概述本章将研究转动参照系中的运动学和动力学。作为重要的应用事例，将讨论地球自转所产生的影响。二、本章重点和难点1、平面转动参照系和空间转动参照系中的运动学。2、平面转动参照系和空间转动参照系中的动力学。3、转动参照系中动力学方程的具体应用，地球自转产生的影响（也是难点）。三、本章学时安排共68学时12节：2学时3节：2学时4节：2学时三、本章所需数学基础微积分、微分方程求解、解析几何、矢量代数4.1 平面转动参照系教材第一节和第二节实际上可以揉在一起讲授。空间转动参照系是一般转动参照系，平面转动参照系是其特例。学习这部分内容，应注意掌握： 绝对运动、相对运动、牵连运动等有关概念及其相互关系； 特别注意认识和理解科里奥利加速度的产生、它的大小和方向； 空间转动参照系中的速度和加速度。复习：绝对运动、相对运动、牵连运动空间固定参照系（定系）S：，另一参照系以角速度绕定点（O）转动绕轴旋转，坐标系。如果oz轴与轴重合，则称为平面转动参照系。运动质点P相对于运动。由定系观测到的质点的运动叫绝对运动；由动系观测到的质点运动叫相对运动；定系上观测到的因动系转动导致质点所在位置的运动叫牵连运动。与此相关联的速度分别称为绝对速度、相对速度、牵连速度，它们之间有合成公式；但对于加速度需要注意，除绝对加速度、相对加速度、牵连加速度外，还有一项无法归入前面三个概念中的任何一中，叫科里奥利加速度，它们之间也有合成公式！遵从由浅入学会、由简单到复杂的认识过程，我们先研究平面转动参照系中的运动学。一、位置矢量考虑一旋转的平面参照系，记为（如平板），其角速度沿轴，其原点与静止坐标系：的原点重合。令单位矢量、固着在平板上的轴和轴上，可表为。再考虑平板上的运动质点，其位矢为 （4.1.1）（严格地，即为： ）二、速度公式由极坐标下的公式（即1.2.8）可得， （4.1.2）对（4.1.1）关于求导，得质点对静坐标系的速度（不是对动坐标系平板，因为对于平板而言，有）为 （4.1.3）其中应为相对速度（即对转动参照系而言）；应为牵连速度（），故可把式（4.1.3）写为。 （4.1.4）上式与刚体力学中的公式比较可见此处多出了相对速度这一项，原因是刚体那里质点间没有相对运动。三、加速度公式还可求得点对静止坐标系的加速度： （4.1.5）其中：（1）为相对加速度；（2） 为平板转动引起的向心加速度；为平板作变角速转动引起的切向加速度（匀速转动时为0）；向心加速度 + 切向加速度 = 牵连加速度；（3）为科里奥利加速度。故（4.1.5）式又可写成 （4.1.6）或简写为 。 （4.1.7）*关于绝对量、相对量、牵连量、其它量的小结绝对量：在基本系（“静止”系）上观测的结果。比如：绝对速度、绝对加速度。相对量：在动系（运动系）上观测得到的结果。比如：相对速度、相对加速度。牵连量：是假定研究对象在动系上相对静止，然后在静系上观测得出的结果。比如：牵连速度、牵连加速度。关于这一点，尤其对于转动参考系要注意理解！其它量：主要针对加速度而言！在绝对加速度的表达式中，除了相对加速度、牵连加速度，还余下一项是目前我们不知道的项，这一项是1835年由科里奥利发现的，因此命名为科里奥利加速度。关系式：绝对量相对量牵连量其它量（一般为矢量合成）。四、科氏加速度1、大小和方向科里奥利加速度为：。按矢量叉积的规则计算其大小和方向。只要（1）坐标系不转动；或者（2）运动质点相对于转动参考系没有相对运动，则科氏加速度为零。2、如何产生的？由牵连运动与相对运动相互影响而产生的。下面具体分析一下科氏加速度是怎样产生的：在定系上看来，牵连运动（即）可使相对速度发生改变（改变方向），而相对运动（即）又同时使牵连速度中的发生改变即引起牵连速度发生改变，我们知道，只要速度（不管是大小还是方向）发生了改变，就会有加速度（从动力学角度看，有因果颠倒之嫌疑！），而这个加速度既不能归于以前的相对加速度，也无法归入牵连加速度，这是定系中观测得出的一个新的加速度项。换言之，即科氏加速度是由牵连运动与相对运动相互影响所产生的。可见，转动参照系有别于平动参照系，前者多出了一种新的所谓科氏加速度。例题1：P182例。以此为例，详细向学生讲解科氏加速度的产生。此例中图4.1.3的画得有点随意！例题2：半径为R的圆环，以匀角速绕过边缘的一点O的垂直于圆平面的轴转动，一个小环P套在圆环上自O点开始以不变的相对速度U在圆环上运动。试求：（1）t时刻小环的绝对速度。（2）t时刻小环的绝对加速度的大小。例题教材4.24.2 空间转动参照系本节要求： 掌握空间转动参照系中绝对、相对、牵连变化率等概念； 掌握空间转动参照系中的速度V 、加速度a的计算公式。一、绝对微商 相对微商 牵连微商现讨论更一般的空间转动参照系。令转动坐标系的原点与静止坐标系的原点重合，、为系上的单位矢量。任一矢量在系上可写为 （4.2.1）在静系上看到的的变化率应为 （4.2.2）又，有 （4.2.3）（4.2.3）代入（4.2.2），得 （4.2.4）其中：（1）是、固定不动时的变化率，称为相对变化率相对微商（或地方变化率），它表示相对于的变化率；（2）则是由于参照系转动并带动一起转动所产生的牵连变化率（牵连微商）；（3）则是相对于固定参考系的绝对变化率绝对微商。因此，在空间转动参考系中，可以有下面的算符讲授时要仔细指导学生阅读教材内容该算符具有普适性！二、速度合成关系由（4.2.4）知 （4.2.5）式中为质点相对于系的相对速度；是系转动所产生的牵连速度。要注意式中各量的物理含义。三、加速度合成关系再求绝对加速度，类似于上有 （4.2.6）将（4.2.5）代入（4.2.6），得+ （4.2.7）讨论：（1）相对加速度：表示相对加速度，则有：；（2）牵连加速度： （4.2.9）可见这里比（4.16）式（即）更复杂。（3）科里奥利加速度故（4.2.7）式可改写成 （4.2.10）【注意】：“绝对”矢量都是在静系中观测到的，若从动系上观测，则只能观测到“相对”矢量。特例：当系以匀角速度转动时，（为点垂直引向转动轴的矢量）。这时方程（4.2.10）简化为 。 （4.2.12）选讲：推广到更一般情形，即系的原点与系的原点不重合，且有速度和加速度时，则有这时是牵连速度的一部分，即属于之中。是牵连加速度的一部分，即属于之中。此外注意应改写为，是相对于动系坐标原点的位置矢量。4.3 非惯性系动力学（二）本节要求是：掌握平面转动参照系中的动力学方程以及三种惯性力；掌握平面转动参照系中动力学问题的求解步骤；了解空间转动参照系中的动力学方程。一、平面转动参照系上两节所讲的转动参照系属于非惯性参照系，当然，转动参照系只是非惯性系的一种。对这种参照系，牛顿运动定律不成立，因为。虽然如此，但在1.6中我们已知，对非惯性系，只要将牵连部分作为牵连力（即惯性力），那么牛顿定律在形式上就仍然成立。本节研究转动参照系中的动力学，主要问题就是转动参照系中惯性力应当如何表达。已知（4.1.6）：，所以： (4.3.1)如果乘上研究对象的质量，即得： (4.3.2)可见，对于平面转动参照系而言，如果添上三种惯性力，那么牛顿定律“形式”上仍对系成立。这三种惯性力就是：由变角速转动引起的“变角速惯性力”：；由系转动引起的“惯性离心力”：；由系转动及质点相对系运动引起的“科里奥利力”：。对照教材P250，详细分析各类惯性力（尤其是方向）应用举例已知动系（此处明确为转动参考系）和质点受力情况，求质点运动规律的一般步骤为： 确定动系、定系以及运动质点（研究对象），选取坐标系； 分析质点受的力（主动力、惯性力）这是最关键的一步，要正确写出惯性力的种类和表达式，并正确分析出惯性力的大小和方向（注意：分析方向和列写方程时，负号不能考虑两次），写出动系中的动力学方程及其分量形式；求解方程，必要时讨论。例题1教材P251例仔细向学生讲解，尤其注意各类惯性力的分析。例题2教材习题4.5。二、空间转动参照系对于空间转动参考系，与上述平面转动参照系类似，它也是非惯性参照系，故也要加上适当的惯性力后，牛顿定律才能在“形式”上成立。由（4.2.10）式（即）可知，当系的原点和系的原点重合，并且绕点以角速度转动，且不一定为恒矢量时，则 （4.3.3）设质点质量为，受力为，则因，所以若将上式乘研究对象质量，就可得 （4.3.4）或 （4.3.5）可见，因的转动，也产生了三种惯性力：变角速惯性力： 惯性离心力：科里奥利力：如果系以匀角速度转动，则由式（4.2.12）（即）可得。 (4.3.6)进一步，考虑更一般的情况。如果系的原点不与系的原点重合，且对的加速度为，则由上节可得 (4.3.7)三、相对平衡若质点固于系不动，则：物理意义：如果在非惯性系中观测到质点是平衡的（相对静止不动），则一定是主动力与牵连惯性力（包括平动惯性力、变角速惯性力、瞬时惯性离心力）以及还可能存在着的约束反力相平衡。4.4 地球自转所产生的影响地球有自转、公转，其中公转角速度很小（是自转角速度的1/365），我们将它的影响忽略。本节讨论地球自转所产生的影响，因此，地球自转的影响不可忽视，否则地球就是一个惯性系了。我们知道：地球不是惯性系，而是以角速度绕其指北方向的对称轴自转的加速参照系，因此固定于地球上的坐标系严格说来都是非惯性系，要求较精确地分析地面的物体的运动时，宜用转动参考系中的动力学方程进行讨论。本节应重点掌握地球自转引起的惯性离心力和里科奥利力对地球上运动物体的影响。一、惯性离心力地球有公转和自转，属非惯性参照系；公转角速度很小，所产生的惯性离心力，约与太阳施加的引力抵消；自转角速度虽然也很小（7.310-5弧度/秒），但比公转角速度大300多倍，因此产生了一些可以观察到的现象；考虑地球自转，可认为角速度为恒矢（即），故可忽略变角速惯性力。更进一步，若质点相对于地球静止（即），则又可忽略科里奥利力，因此这种情况下只需考虑剩下的惯性离心力。因“重力=引力+离心惯性力”，故惯性离心力的作用常使重力小于引力。图 地球自转对重力的影响（图上有些夸张！）地球表面上看：万有引力与离心惯性力的合力为重力。在恒星系上看：万有引力的一个分力提供圆周运动的向心力，另一个分力是重力。显然，重力的作用线一般并不通过地球的球心。特例：只有在南北极时重力才通过地心，重力等于万有引力；在赤道平面上，重力也通过地心，但重力小于万有引力；在其它位置，重力与万有引力不但量值上有差异，而且方向也不相同，具体的量值与方向偏差与纬度有关。研究地球上质点的运动时，因质点离地轴距离的变化不大，故惯性离心力效应，可以等价于用重力来代替引力（实际上是：重力与引力的方向偏差也被忽略，重力的大小考虑用实测重力加速度乘质量代替在高度变化不太大时，被认为是恒定的）。这时就可只考虑科氏力的影响。二、科里奥利力1、自由落体的运动微分方程设地球球心为静坐标系原点O，动坐标系原点P取在地球表面纬度角为的点，坐标轴指向：向南，向东，垂直地平面指向天顶，如图所示，由于地球以角速度自转，设物体从地球北半球某点P以速度V相对地球运动。地球表面上质点动力学方程为： (4.4.1)必须清楚：除重力以外的其它“真实”力；：以重力代替万有引力，相当于已经考虑离心惯性力的影响；转动是匀角速的，不存在变速转动惯性力；：科氏惯性力。2、几个相关现象的定性解释（1）贸易风的形成由于科氏力的作用，使南北向的气流发生东西向的偏转。有下面两种情形：北半球地面附近的气流由北向南推进时，则气流向西偏离，成为东北贸易风（由东北方向吹来）；大气上层的贸易风，则恰好相反；南半球地面附近自南向北的气流，也向西偏离，成为东南贸易风（由东南方向吹来）；大气上层的贸易风，则恰好相反。（2）河岸冲刷、轨道磨损由于科氏力的作用，使北半球上自北向南流的河流，右岸冲刷更甚。双轨单向行驶的情况一样：行驶方向的右侧磨损更甚。南半球的情形与北半球恰好相反。（3）付科摆进动由摆动体所受科氏力，很容易定性分析付科摆的进动。北半球，摆动面顺时针缓慢进动；实验与理论计算吻合程度很高。实验数据：教材P260：1851年，法国巴黎，付科。南半球，摆动面进动方向相反。（4）烟花弹、催雨弹等发射的安全区域讨论方法与上面的类似。3、落体偏东的定量分析（1）运动微分方程根据动力学方程，可得出质点在地球上运动的微分方程： （4.4.3）讨论自由运动质点，除重力外，其它“真实力”为零。因为：，所以：所以，动力学微分方程为：讨论：在上式中分别乘以相加，得：得：两边乘上质点质量：积分得：常量 这就是说质点的能量是守恒的，对于这一点我们也可以通过科氏力永与相对速度方向垂直，此力对质点不作功。故质点在重力场中运动，机械能守恒。由此，提示同学们想到一个类比的例子，在磁场中运动的电荷，其洛仑兹力就象科氏力：，其方向永远与相对速度（相对于磁场的运动速度）方向垂直，此力对电荷不作功。（2）质点下落的运动学方程求解过程动力学微分方程（分量式）利用初始条件（时，） （P191，4.4.4式）代入(4.4.3)式得到 （即P191，4.4.5式） 为使计算简便，采用合理的近似方法（项，项），得到(4.4.6) 再次积分两次（要利用初始条件时，）得到(4.4.7)即以下是具体求解过程（视具体情况可以布置为同学们的课外练习）：请参阅陈世民编理论力学简明教程（第二版）P86-88。令：时，对：对、积分（I）先求y把上面求得的结果代入有：即：此方程属于形