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王瑞平 数理方法 第四章第 1 节 1 第四章 留数定理 第四章 留数定理 由柯西积分公式 解析函数在它的解析区域内各处的函数值是密切相关的 在解析函数 的泰勒展式中 展式系数需要环路积分 在本章中 我们将看到 含孤立奇点的解析函数积 分值与函数的奇点有关 本章介绍留数理论以及它在一些物理积分中的实际应用 主要介绍如下内容 单值函数的留数以及留数定理 留数的计算公式和方法 留数定理在物理积分中的应用 4 1 单值函数的奇点 4 1 单值函数的奇点 一 孤立奇异点 奇点孤立奇异点 奇点 函数的奇点是相对于函数的正常点而言 对孤立奇点 1 函数的奇点 简单讲 单值函数f z 在z0点无定义即不可导 也有称反常点 如例1 1 1 zz zf 奇点为 z 0 1 在奇点 函数本身就没定义 对孤立奇点 在以z0为中心的环状邻域 0 z z0 内 f z 的洛朗级数展开 0 00 zzzzbzf k k k 2 奇点的分类 按洛朗展式主部中出现的最高负次幂m 奇点可以分为三类 可去奇点 展式中没有负幂项 即只有正则部分 此时 对可去奇点 函数补上这个值 后即为解析函数 如 例 2 z z zf sin 在它奇点z 0处的洛朗展开 极点 m阶极点 展式中只有有限的负幂项 显然 0 lim 0 0 m m zz bzfzz 例1中 当它在奇点z 0或1展开 属于此类 且它们是1阶极点 此时 王瑞平 数理方法 第四章第 1 节 2 lim 0 zf zz 本性奇点 洛朗展式中有无限多个负幂项 此时 f z 的极限不定 如函数 z ezf 1 它具有本性奇点 z 0 当 z x 趋于 0 时 lim 0 lim 00 zfzf xzxz 二 无穷远点的奇异性二 无穷远点的奇异性 在复函数分析中 对无穷远点总是视为奇异点 当以 z 0 为圆心 R 为半径做一圆 CR 只要 R 足够大 圆外除无穷远点外 没有其它奇点 则无穷远点为 f z 孤立奇点 f z 在无穷远点奇异性由洛朗展式中正幂项决定 即是以 R z 中的洛朗展开 2 21 01 1 1 zR z b z b bzbzbzbzf m m m m LLL 1 可去奇点 洛朗展式中不含正幂项 即 2 21 0 zR z b z b bzfL 此时 0 limbzf z 2 m 阶极点 展式中包含有限个正幂项 2 21 01 1 1 1 即可 且无穷远为可去奇点 f z 在有限区域中没有奇点 展开式就是 f z 在 z 中的泰勒展式 例如函数 z ezf 在 z 为本性奇点 它
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