小波分析及其在地球物理学中的应用.pdf

小波分析及其在地球物理学中的应用小波分析及其在地球物理学中的应用 一一 引言引言 曾经听过刘光鼎先生说过 地球物理学是地球科学中高科技 上天入地无所不能 当时 我就在想 这高科技到底体现在哪呢 难道只能说是其本身专业的优势吗 应该不止如此吧 之所以能称之为高科技 就是相当多的高深的数学与物理的知识 还有计算机的引入 记得 近代物理课的老师曾经说过 我们学物理课的最初动机 就是能把最先进的物理知识应用到 专业课的学习中 数学的学习也应该是这样的吧 地球物理方法是研究地壳深部构造有力且可靠的工具 其中重磁方法所取得的位场资 料是研究地质构造 岩石圈结构和矿产勘查的重要基础性资料川 多年来 位场资料处理的 主要工具仍是 Fourier 分析 而面对非平稳的位场资料时 Fourier 分析已突显其局限性 近年 来引人位场的小波分析是源于 Fourier 分析而又胜于 Fourier 分析 有 数学显微镜 之称 小波分析因其具有自适应性和多尺度分析特性成为位场数据处理的有力工具 位场领域的小 波方法研究经历十余年 且取得了诸多研究成果 主要应用于位场多尺度分解 重磁异常奇异 性检测 位场反演等方面 1 本文先介绍最近 20 年才发展起来的数学分支 小波分析 接着介绍小波分析在地球 物理学中的应用 把最先进的数学方法引入地球物理学中 这才是地球物理学的高科技之处 二二 小波简介小波简介 1 小波发展历史小波发展历史 众所周知 傅里叶分析从 19 世纪初 中期到今 在数理科学一直享有盛誉 它为信号 分析 量子力学 声学 电学 数理方程 图像处理 地球物理等许多学科领域提供了科学 的分析方法和强有力的工具 然而 在应用中人们不断地发现了它的不足之处 它不能刻划 函数所在的空间L 即e 并不是L 的无条件基 它只能获得 f 的整体频谱 而不能获得信 号的局部特性 即它不能用于局部分 1 近几年来 一种被称为小波变换的数学理论和方法 正在科学技术界引起一场轩然大波 小波变换综合了三角函数系与 Haar 系两者的优点 用 小波基来分解任意函数 它具有优良的 变焦 性能 小波分析是一个新的现代分析学如泛 函分析 数值分析 Fourier 分析 样条分析等的完善结晶 被誉称为 数学显微镜 它是 一种窗口大小不变但形状可变的时频局部化分析方法 小波变换克服了上述 Fourier 变换存 在的问题 能将各种交织在一起的不同频率的混合信号分解成不同频率的块信号 因而能有 效地用于如信噪分离 编码解码 奇异性检测 压缩数据 识别模式以及将非线性问题线性 化 非平稳过程平稳化等问 2 这已成为应用数学的新趋势 小波变换的思想来源于伸缩与平移方法 小波分析方法的提出 最早应属 1910 年 Haar 提出的规范正交基 但当时并没有出现 小波 这个词 1936 年 Littlewood 和 Paley 对傅立 叶级数建立了二进制频率分量分组理论 对频率按二进制进行划分 其傅立叶变换的相位变 化并不影响函数的大小 这是多尺度分析思想的最早来源 1946 年 Gabor 提出的加窗傅立叶 变换或称短时傅立叶变换对弥补傅立叶变换的不足起到了一定的作用 后来 Calderon Zgymund Stem 等将 L 一 P 理论推广到高维 并建立了奇异积分算子理论 1965 年 Calderon 发现了再生核公式 它的离散形式已接近小波展开 只是还无法得到一个正交系的结论 1981 年 Stormberg 对 haar 系进行了改进 证明了小波函数的存在性 1982 年 Battle 在构造 量子场论中采用了再生核公式的展开形式 1984 年 法国地球物理学家 J Morlet 在分析地震数据时提出将地震波按一个确定函数 的伸缩 平移系展开 他与 A Grossman 共同研究 发展了连续小波变换的几何体系 1985 年 法国的大数学家 Meyer 首先提出了光滑的小波正交基 1985 年 Meyer 及其学生提出了 多尺度分析的思想 1987 年 Mallat 将计算机视觉领域内的多尺度分析思想引人到小波分析 中 提出了多分辨分析的概念 统一了在此之前的所有正交小波基的构造 并提出了相应的 分解与重构快速算法 1988 年 年轻的女数学家 Daubechies I 提出了具有紧支集的光滑正交 小波基 Daubechies 基 为小波的应用研究增添了催化剂 同年 Daubechies I 在美国主 办的小波专题讨论会上进行了次演讲 引起了广大数学家 物理学家甚至某些企业家的重视 由此将小波的理论和实际应用推向了一个高潮 2 小波分析小波分析原理原理 小波 就是小的波形 所谓 小 是指它具有衰减性 如局部非零的 而称之为 波 则是指它的波动性 即振幅呈正负相间的城荡形式 小波分析 Wavelet Analysis 是一种具 有自适应性窗口函数可对信号进行时频两域局部化分析的方法 小波分析是 Fourier 分析划时代发展的结果 1822 年法国数学家傅里叶 J Fourier 1768 1830 发表的研究热传导理论的 热的力学分析 提出并证明了将周期函数展开为正 弦级数的原理 奠定了傅里叶级数理论的基础 1 傅里叶级数理论研究的是把函数在三角函 数系下的展开 使得对信号和系统的研究归结为对简单的三角函数的研究 傅里叶级数与傅 里叶变换共同组成了平常所说的傅里叶分析 傅里叶级数用于分析周期性的函数或分布 理 论分析时经常假定周期是 2 定义下式 2 0 2 Lxf k ikx ke cxf 其中 dxexfc ikx k 2 0 2 1 然而 被分析函数的性质并不能完整地由傅里叶系数来刻划 这里有一个例子来说明 3 从任一个平方可和的函数 xf出发 为了得到一个连续函数 xg 只需或者增大 f x 的傅 里叶系数的模 或者保持它不变并适当地改变系数的位相 因此 不可能仅根据傅里叶系数 大小的阶就预知函数的性质 如大小 正则性 傅里叶变换的定义 dxexfF xj deFxf xj 2 1 连续小波变换 RLtf 2 tf的连续小波变换 有时也称为积分小波变换 定义为 0 2 1 adt a bt tfabaWTf 或用内积形式 baf fbaWT 式中 a bt at ba 2 1 要使逆变换存在 t 要满足允许性条件 dC 2 式中 是 t 的傅里叶变换 这时 逆变换为 2 1 a da dbbaWTtCtf fba C这个常数限制了能作为 基小波 或母小波 的属于 RL2的函数 的类 尤其是若 还要求 是一个窗函数 那么 还必须属于 RL1 即 dtt 故 是 R 中的一个连续函数 由式 8 2 3 可得 在原点必定为零 即 00 dtt 从式 8 2 5 可以发现小波函数必然具有振荡性 连续小波变换的离散化 由于连续小波变换存在冗余 因而有必要搞清楚 为了重构信号 需针对变换域的变量 a b 进行何种离散化 以消除变换中的冗余 在实际中 常取Zkja k b jj 2 1 2 这时 kttt jj kba jj 22 2 2 2 1 常简写为 t kj 变换形式为 kj jj f f k WT 2 2 1 为了能重构信号 tf 要求 Zkj kj 是 RL2的 Riesz 基 定义定义 一个函数 RL2 称为一个R函数 如果 Zkj kj 在下述意义上是一个Risez基 Zkj kj 的线性张成在 RL2中是稠密的 并且存在正常数 A 与 B BA0 使 2 2 2 2 22 l kj jk kjkj l kj cBccA 对所有二重双无限平方可和序列 kj c 成立 即对于 2 2 2 jk kj l kj cc的 kj c 成立 假定 是一个 R 函数 那么存在 RL2的一个唯一的 Riesz 基 Zkj kj 它在意义 Zmlkj mklj ml kj 上与 kj 对偶 这时 每个 RLtf 2 有如式 8 2 6 的唯一级数表示 jk kj kj tftf 特别地 若 Zkj kj 构成 RL2的规范正交基时 有 kj kj 重构公式为 tftf j kj k kj 需要强调的是 离散小波所分析的信号仍然是连续时间信号 只是尺度参数和时间平移 参数离散化而已 这和离散傅立叶变换是不同的 希望不要因为名称上的类似而产生概念上 的混淆 另外也不要因为正交展开式在数学形式上的类似 把离散小波变换和傅立叶级数在 物理上混淆起来 傅立叶级数是对周期性信号的频谱分析 而离散小波变换并不要求信号是 周期性的 三三 小波分析在地球物理学中应用小波分析在地球物理学中应用 研究地球的内部构造 求取上地幔物性参数是目前最重要的地球物理问题之一 而有效 可靠的方法主要有地震 重力和大地电磁法等 重力方法提供了地壳和地幔中质量分布的概 念 能够推断出地球内部的组成成分 但重力异常是由不同密度 形态以及埋藏深度不同的 复杂物质共同作用形成的 如果不采用有效的分解方法 我们就无法从杂乱无章的数据中找 到有用的信息 所以探求各种重力异常的分解方法 把实测的重力数据分解成不同的因素所 引起的异常 为刻画地球内部的结构有重要意义 小波变换可以将信号分解成各种不同的频 率成分或尺度成分 利用其数学显微镜的特点进行伸缩 平移聚焦到信号的任一细节加以分 析 小波分析的这些特点决定了它是地球物理数值分析的有效工具 利用小波对重力异常进 行划分 可以得到各种尺意义下的异常分解 应用小波技术对重力异常进行分析 可采用具有正则性和紧支撑的正交小波以及二维多 尺度分析方法对布格重力异常进行分解 从中划分出有意义的剩余重力异常 候遵泽 杨文 采等运用小波技术对中国布格重力异常进行分解 反演各种尺度意义下中国大陆地壳密度差 异 给出其空间分布 并利用小波变换分解重力异常的细节 依据小波细节功率谱确定场源 的埋采用二进小波变换 可以构造了位场小波 建立小波变换的理论模型 进而分析位场信 号小波分解与重构的物理实质 我们还可利用小波来分解磁场 研究重磁异常沿不同尺度的 小波展开 分析所得结果的物理特性 利用小波变换可以对重磁异常进行高精度的分离 地震观测信号是了解地球内部最重要的手段之一 由于地震信号不可避免的含有噪声 并且由于地震强度的原因 我们获得的信号可能非常微弱 不清晰 提高地震信号的信噪比 和分辨率一直是地球物理工作者和数据处理工作者追求的目标 传统的 Fourier 分析对压制 噪声 提高分辨率有一定的作用 但远不能满足实际工作的要求 小波变换可将信号分解成 不同的频率成分 时间和空间域中随频率的大小而调节 高频者精密 低频者粗疏 可以按 Mal2lat 分解算法信号分解 再根据具体问题的先验知识就能区分有效的噪声 将与噪声对 应的系数修正 重构后即得到消除噪声的信号 随着尺度的加大 其滤波的效果就会越好 利用小波换的多分辨特性和过零点特性 提高信号分辨率和信噪比已为很多地球物理 地震 和地质等领域的工作者所探讨 并取得了一些可操作的成果 地下物质分布的奇性对地球物理勘探具有特殊的意义 在这方面 小波分析也可以发挥 相应的作用 例如断层会使重力异常产生阶跃 地震波的传播在地壳介质的分界面处会产生 速度和方向的变化 判断出奇异性的大小和位置就可以对异常现象作出解释 Fourier 变换 一直是研究函数奇性的基本工具 由函数 f t 的 Fourier 变换象函数 F 趋于零的快慢可 以推断 f t 是否有奇性及奇性之强弱 但 Fourier 变换缺乏空间局部性 它只能确定函数 奇性的整体性质 而难以确定其奇点的空间分布情况 小波变换由于同时具有空间域与频率 域的局部性 因此是描述 检查函数奇性的局部性的有效工具 信号的奇异性往往是模糊的 当对函数进行适当的二进小波变换后 奇性位置可变得明显 突出 因而可具体的测定信号 的奇异度及奇性位置 1 小波分析在小波分析在地球地球重力重力场场学学中应用中应用 可以建立地球表层空间小波重力模型 地面上的重力测量都是在离散点上进行的 且不 同区域的重力点密度分布不均匀 内插与推估是由离散点数据获得地面上任一点数据的基本 方法 其实质是运用滤波方法建立反映离散点数据空间相关关系的最佳模型 运用模型求得 任一点的估值 重力异常是地球物理及重力场研究中的重要物理量 最小二乘内插与推估重力异常是以 重力异常协方差为唯一依据 有时考虑高程相关 而重力异常协方差是人为定义的 不可 能全面反映不同重力点重力异常的空间相关性 此外 由于重力异常是由重力观测值减去该 点的正常重力值求得的 而正常重力是由人为确定的椭球基准计算的 因此点与点之间重力 异常的局部空间相关性受椭球基准影响而被削弱 不如其重力观测值的空间相关性更能反 映重力的实际变化 总之 人为定义协方差和将重力观测值转化为重力异常 都会削弱重 力点之间的空间相关性 众所周知 重力点的空间相关性表现在不同点空间数据的变化之中 其强弱与否 是否反映实际直接关系到内插与推估的精度 这说明用最小二乘法内插与推估 未知点的重力异常比将空间相关性隐藏在重力观测值的变化之中而先内插与推估未知点的 重力值再求得该点的重力异常的精度低 在地球物理及其勘探中 究地壳运动规律或资源 引起重力变化的机制时都需要研究表层空间的重力变化特征 因而建立表层空间 近地 表 地球上表层 重力模型对物理大地测量及地球物理有关问题的研究都是十分重要的 而用小 波基能用线性方法展开表层空间重力 从而表达任意复杂的空间相关性 小波变换的时频局部化分析方法使得表层空间小波重力模型具有一系列优越的性能 如 局部误差抑制能力 有较准确的谱性能 能表达任意复杂的空间相关性等 能将空间任意点 重力之间的任意复杂程度的相关关系用小波基展开而作线性化处理因而能很好地表达非线 性 非平稳等复杂的空间重力相关关系 从而克服了最小二乘内插与推估中须人为给定模型 的形式及定义协方差的重大缺限 任意方向的方向小波容易构造等等 因此表层空间重力 小波模型本质地表达了表层空间的全部有用信息 因而推估准确可靠 此外 运用模型的奇 异性检测和多分辨分析的功能可以分析局部地形对重力的影响和地球浅层密度不均匀分布 的存在性等信息 显然 表层空间重力小波模型可很好用于地形改正 4 2 小波分析在研究地球内部结构中的应用小波分析在研究地球内部结构中的应用 小波变换的时频局部化功能决定了小波分析能用来分析引潮力随时随地的变化特征 小波分解可将引潮力位分解成分潮波 这种分解具有多尺度分辨能力和奇异性监测功能 分析潮汐的小波结构有可能得到地球内部构造运动的信息及固体地球 包含大气圈 水 圈 固体地球与地核 从陆地和海洋地壳直到下地幔底部都属于固体地球 对日 月和其 它星体引力的内部反响的信息 将地球引力场用小波级数展开从而分析重力场在不同尺度下的空间结构 有可能得到 关于地球内部密度结构在不同尺度下的信息 运用小波分析的奇异性定位与数值测定方法 有可能得到一些引力场源分布与重力异常成因的信息 研究垂线偏差的小波结构有可能得到 一些近地面构造和地壳均衡等信息 而空间异常的小波结构可能提供全球性深部构造的信 息 布格异常的小波结构可能提供区域性和局部性浅构造的信息 研究地表重力的小波分量 可由表层空间小波重力模型得到 与对应的大地水准面高波分量 可由引力场的小波分量求 得 之间的关系 有可能会改善地壳均衡模式 可望通过假设而根据上述关系间接计算地壳 均衡 3 对中国布格重力异常进行多尺度分解 不同阶次的小波代表有不同的意义 一阶小波细 节主要反映上地壳密度的不均匀性 二阶小波细节反映了上中地壳的密度不均匀性 三阶小 波细节对应中下地壳的密度不均匀性 四阶小波细节 在这种尺度上 除西藏与西康地区仍 反映下地壳外 其他地区的异常成分应主要反映最上地慢的密度不均匀性 6 3 小波分析在重力场资料的断裂分析中的应用小波分析在重力场资料的断裂分析中的应用 断裂分析是地球物理资料解释中的一个重要环节 以往人们根据断裂在地球物理场上所 产生的各种异常特征来进行定性和定量解释 并采用相关分析 水平一阶方向导数 垂向二 阶导数 总梯度模 希尔伯特变换等各种方法来推断解释断裂位置 产状及性质 为了分析 深层的断裂或判断断裂向下延深的情况 往往通过向上延拓的方法来分析 但是 随着延拓 高度增加 异常变得平坦光滑 即使再求水平一阶导数 其特征也变得模糊 不仅难以可靠 地分析断裂空间位置 而且异常的信息也大大降低 小波分析是近年来发展起来的一种新的 数学分析方法 它在地球物理数据信号处理中得到了广泛运用 利用小波分析方法对重力场 进行断裂分析 能得到较好的地质效果 小波分析的细节具有微分特征 不同阶次的小波能反映不同深度的场源特征 小波变换 可以成为重磁场断裂分析的工具 它比传统的水平求导方法相比具有以下优点 不必经向上 延拓 直接利用不同阶的小波细节就能分析不同深度的断裂 没有向上延拓的模糊化 异常 特征更清晰 断裂信息更丰富 7 4 小波分析在油气预测中的应用小波分析在油气预测中的应用 地球物理勘探中 寻求地壳物质物性参数的奇异性是非常有意义的 例如 断层会使重 力异常产生的较大变化在地壳介质的分界面处 地震波的传播会产生速度和方向的变化 这 些都是地球物理信号的奇异性 判断出奇异性的大小和位置就可以对异常现象做出解释 应 用中 通常是将分形几何理论和模式识别理论与小波变换的突变点原理相结合 通过确定表 征奇异性的 Lipschitz 指数检测地震道的奇异性 预测储层所在的位置 通过计算地震道的分 维数或提取小波变换域的地震特征参数 建立关联维数或地震的特征参数与含油气的关系 利用模式识别的原理确定油气井的位置 5 小波分析在地震勘探中的应用小波分析在地震勘探中的应用 1 去噪声 提高物探资料的信噪比和分辨率一直是物探资料处理所追求的目标 在资料的处理中 所遇到的噪声主要有规则干扰和随机干扰两大类 规则干扰与有效信号主要表现在空间位置 上的差异 这种差异在小波变换域仍然存在 因此利用这个差异在小波变换域压制规则干扰 非常容易 随机干扰分布在整个空间 利用小波变换时频两域都有局部化的特点 对信号进 行多尺度分解同样可有效地压制随机干扰 2 提高地震信号的分辨率 地震信号作小波变换 分解成不同的频带成分 对分频后的记录进行增益控制 使各频 带记录的振幅谱叠加结果逼近于一个标准子波例如雷克子波的振幅 这样可以达到增强有效 波 压制干扰 消除地层对地震波高频成分的吸收 恢复地震记录的理想状态 从而达到提 高地震记录分辨率和信噪比的目的 3 压缩地震数据 将地震记录作小波变换 变换后的结果做阑值量化 去除大量接近于零的值 用一定的 记录方式把结果存储起来 达到压缩的目的 当需要再利用这些地震数据时 作小波逆变换 恢复原来的地震记录 四四 小波分析在地球物理中应用的展望小波分析在地球物理中应用的展望 小波变换作为一种新兴的数学分析和数值计算工具 在地球物理和大地测量领域的应用 尚处于探索阶段 其应用价值需进一步拓展 在小波变换的数学理论已基本完善的今天 人 们对小波的认识也已经过了那种盲目推宠的 炙热期 更多的是扎扎实实地寻求小波理论 与本学科的结合点 以期充分发挥小波分析统一性 局部性的特点 使其能在专业研究和分 析中担当重要的角色 在地球物理中 地震信号是地球物理资料的主要来源 根据小波变换 的多尺度分析原理 可把地震信号分成不同的通道和频率来分析 进行数字滤波 数据压缩 边缘检测等方面 并可将分解的数据来进行地震反演 提高层析成像分辨率 小波变换的应 用将进一步拓展 在大地测量领域 建立合适的地球重力场模型还有很大的一部分工作