大学概率论第七章答案.pdf

习题 7 1 习题 7 1 1 选择题 1 设总体X的均值 与方差 2都存在但未知 而为来自X的 样本 则均值 与方差 12 n XXXL 2的矩估计量分别是 A X和S2 B X和 2 1 1 n i i X n C 和 2 D X和 2 1 1 n i i XX n 解解 选 D 2 设 0 XU 其中 0 为未知参数 又为来自总体 X 的样本 则 的矩估计量是 12 n XXXL A X B 2X C 1 max i in X D 1 min i in X 解 解 选 B 2 设总体 X 的分布律为 X 2 1 5 P 3 14 其中 0 0 25 为未知参数 X1 X2 Xn为来自总体X的样本 试求 的矩估 计量 解 解 因为 E X 2 3 1 1 4 5 1 5 令15X 得到 的矩估 计量为 1 5 X 3 设总体X的概率密度为 1 01 0 xx f x 1 是未知参数 X1 X2 Xn 是来自X的容量为n的简单随机样本 求 1 的矩估计量 2 的极大似然估计量 解解 总体 X 的数学期望为 1 1 0 1 d 1 d 2 E Xxf xxxx 令 E XX 即 1 2 X 得参数 的矩估计量为 21 1 X X 设x1 x2 x n是相应于样本X1 X 2 X n的一组观测值 则似然函数为 1 1 01 0 n n ii i xx L 其它 当 0 xi0 且 n i i xnL 1 ln 1ln ln 令 1 dln ln d1 n i i Ln x 0 得 的极大似然估计值为 1 1 ln n i i n x 而 的极大似然估计量为 1 1 ln n i i n X 4 设总体X服从参数为 的指数分布 即X的概率密度为 e 0 0 0 x x f x x 其中0 为未知参数 X1 X2 Xn为来自总体X的样本 试求未知参数 的 矩估计量与极大似然估计量 解解 因为E X 1 X 所以 的矩估计量为 1 X 设x1 x2 x n是相 应于样本X1 X 2 X n的一组观测值 则似然函数 1 1 n i ii nx xnn i Lee 取对数 1 lnln n i i Lnx 令 1 dln 0 d n i i Ln x 得 的极大似然估计值为 1 x 的极大似 然估计量为 1 X 习题 7 2 习题 7 2 1 选 择 题 设 总 体X的 均 值 与 方 差 2 都 存 在 但 未 知 而 为 12 n XXXLX的样本 则无论总体X服从什么分布 是 和 2 的 无偏估计量 A 1 1 n i i X n 和 2 1 1 n i i XX n B 1 1 1 n i i X n 和 2 1 1 1 n i i XX n C 1 1 1 n i i X n 和 2 1 1 1 n i i X n D 1 1 n i i X n 和 2 1 1 n i i X n 解 解 选 D 2 若 为 来 自 总 体 1 X 2 X 3 X 2 XN 的 样 本 且 Y 123 11 34 XXkX 为 的无偏估计量 问k等于多少 解 解 要求 123 1111 3434 EXXkXk 解之 k 5 12 3 设总体X的均值为 0 方差 2 存在但未知 又为来自总体 1 XX2X的 样本 试证 2 12 1 XX 2 为 的无偏估计 2 证证 因为 22 121122 11 2 22 EXXE XX XX 2 2 22 1122 12 2 22 E XE X XE X 2 所以 2 12 1 XX 2 为 的无偏估计 2 习题 7 3 习题 7 3 1 选择题 1 总体未知参数 的置信水平为 0 95 的置信区间的意义是指 A 区间平均含总体 95 的值 B 区间平均含样本 95 的值 C 未知参数 有 95 的可靠程度落入此区间 D 区间有 95 的可靠程度含参数 的真值 解解 选 D 2 对于置信水平 1 0 1 关于置信区间的可靠程度与精确程度 下 列说法不正确的是 A 若可靠程度越高 则置信区间包含未知参数真值的可能性越大 B 如果 越小 则可靠程度越高 精确程度越低 C 如果 1 越小 则可靠程度越高 精确程度越低 D 若精确程度越高 则可靠程度越低 而 1 越小 解解 选 C 习题 7 4 习题 7 4 1 为调查某地旅游者的平均消费水平 随机访问了 40 名旅游者 算得平 均消费额为105 x元 样本标准差28 s元 设消费额服从正态分布 取置 信水平为 0 95 求该地旅游者的平均消费额的置信区间 解 解 计算可得105 x s2 282 对于 0 05 查表可得 0 025 2 1 39 2 0227tnt 所求 的置信区间为 22 2828 1 1 1052 0227 1052 0227 4040 ss xtnxtn nn 96 045 113 955 2 假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布 现随机抽取此种香烟 8 支 为一组样本 测得其尼古丁平均含量为18 6毫克 样本标准差s 2 4毫克 试求 此种香烟尼古丁含量的总体方差的置信水平为 0 99 的置信区间 解解 已知n 8 s2 2 42 0 01 查表可得 22 0 005 2 1 7 20 278n 22 0 995 1 2 1 7 0 989n 所以方差 2的置信区间为 22 22 1 22 1 1 1 1 nSnS nn 22 81 2 4 81 2 4 20 2780 989 1 988 40 768 3 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱 分别从两条流水线上抽取样 本 X1 X2 X12及Y1 Y2 Y17 算出 22 12 10 6g 9 5g 2 4 4 7xyss 假设 这两条流水线上装的番茄酱的重量都服从正态分布 且相互独立 其均值分别 为 12 又设两总体方差 2 1 2 2 求 12 置信水平为 0 95 的置信区间 并说明该置信区间的实际意义 解解 由题设 22 1212 10 6 9 5 2 4 4 7 12 17 xyssnn 22 22 1122 12 1 1 121 2 4 171 4 7 1 94 212172 w nsns s nn 120 025 2 2 27 2 05181 tnnt 所求置信区间为 12 122 1111 2 10 69 5 2 05181 1 94 1217 w xytnns nn 0 40 2 60 结论 21 的置信水平为 0 95 的置信区间是 0 40 2 60 的实际意义 是 在两总体方差相等时 第一个正态总体的均值 1 比第二个正态总体均值 2 大 0 40 2 60 此结论的可靠性达到 95 4 某商场为了了解居民对某种商品的需求 调查了 100 户 得出每户月平 均需求量为 10 公斤 方差为 9 如果这种商品供应 10000 户 取置信水平为 0 99 1 取置信度为 0 99 试对居民对此种商品的平均月需求量进行区间估计 2 问最少要准备多少这种商品才能以 99 的概率满足需要 解解 1 每户居民的需求量的置信区间为 222 1 1 99 102 575 102 575 9 2275 10 7725 100100 sss 2 s xtnxtnxzxz nnnn 10000 户居民对此种商品月需求量的置信度为 0 99 的置信区间为 92275 107725 2 最少要准备 92275 公斤商品才能以 99 的概率满足需要 总习题七 总习题七 1 设总体X的概率密度为 0 1 12 0 x f xx 1 其它 其中 0 1 是未知参数 X1 X2 Xn为来自总体的简单随机样本 记 N为样本值 12 n x x L x中小于 1 的个数 求 1 的矩估计量 2 的极大 似然估计量 解 解 1 12 01 3 d 1