文献翻译.doc

金融统计中的信息几何第一章微分几何基础 微分几何基础是曲线和曲面几何的入门知识，主要内容包括欧氏空间上的积分、帧场、欧氏几何、曲面积分、形状算子、曲面几何、黎曼几何、曲面上的球面结构等。修订版扩展了一些主题，更加强调拓扑性质、测地线的性质、向量场的奇异性等1.1微分流形 微分流形（differentiable manifold），也称为光滑流形（smooth manifold），是拓扑学和几何学中一类重要的空间，是带有微分结构的拓扑流形。 微分流形是微分几何与微分拓扑的主要研究对象，是三维欧式空间中曲线和曲面概念的推广，可以有更高的维数，而不必有距离和度量的概念。设M是一个豪斯多夫拓扑空间。U是M的开集,h是U到n维欧氏空间R的开集(常取为单位球内部或立方体内部等等)上的一个同胚映射,则(U，h)称为一个坐标图,U称为其中点的一个坐标邻域。设M为开集系U所覆盖,则(U,h)的集合称为M的一个坐标图册。如果M的坐标图册中任何两个坐标图都是C相关的,则称M有C微分结构,又称M为n维的C微分流形。C相关是指流形M上同一点的不同坐标之间的变换关系是C可微分的(k=0,1,或)，依通常记号C表示解析函数。具体来说, 如pUU,(x,）(x)(i=1,n)分别是p在两个坐标图(U,h)，(U,h)下的(局部)坐标,即那么它们之间的关系式可表为 1而关于x（j=1,2，n）具有直到k次的连续导数。k=0时,M是拓扑流形；k0时,就是微分流形；k=时，是解析流形。C流形又常称为光滑流形。 2如果微分流形M是一个仿紧或紧致拓扑空间，则称M为仿紧或紧致微分流形。如果可选取坐标图册使微分流形M中各个坐标邻域之间的坐标变换的雅可比行列式都大于零，则称这个流形是可定向的。球面是可定向的，麦比乌斯带是不可定向的。同一拓扑流形可以具有本质上不同的微分结构。米尔诺（John Milnor）首先发现作为一个拓扑流形，七维球面上可有不同于标准微分结构的怪异微分结构。后来弗里德曼（Michael Freedman）等得出如下的重要结果:四维欧氏空间中也有多种微分结构，这与其他维数的欧氏空间只有惟一的微分结构有着重大区别。1.11可微映射和子流形 可微映射 设是从C流形M到C流形N 的连续映射,如果对于N上的任意Cr函数,M上的函数。总是Cr的,则称是Cr可微映射，或简称Cr映射。如果是从M到N上的同胚，而且和都是C的，则称为微分同胚，此时也称M与N是微分同胚的微分流形。映射的微分设是从M到N的C映射。对M上点p的切向量x可以如下地定义N在点(p)处的切向量这个对应xx用dP表示,称为在点p处的微分。微分dP是从切空间TP(M)到 (N)的线性映射,有时也称为在切空间的诱导映射, 常用*P或*表示。利用对偶性，也自然地诱导了从余切空间 到T坝的线性映射，常记为(dP)或坝或。由张量积运算，还可以诱导对应点之间某些张量空间之间的线性映射。子流形设M和N是两个C流形，：MN是C映射。如果微分dP在M的每一点都是单射,则称是浸入，而(M)称为N 的浸入子流形。如果浸入还是单射,则称为嵌入，此时(M)称为N的嵌入子流形。光滑函数流形M上的实数值连续函数f:M R是一个光滑函数，如果对每一个相容的坐标卡：UM, f():UR是一个U上的光滑函数。因为坐标卡之间的坐标变换是光滑映射，这是一个良好的定义。特别的，光滑函数可以看成一种0阶张量场。向量场设pM,M在点p处的一个切向量是指从F（M）到R的一个线性映射x，使得对于任意的，gF(M)，满足： 对于在p点的切向量x1,x2和实数1,2,定义1x1+2x2如下： 那么,点p处的切向量全体构成一个n维的实线性空间TP，TP称为在p处M的切空间或切向量空间(也记为TP(M)。如果（x，x，x）为点p处 的局部坐标系，则由 定义的n个独立的切向量，构成TP的一组基，称为自然标架（或坐标标架）。M的切向量全体构成以M为底空间的向量丛（见纤维丛），称为M的切向量丛，简称切丛。M的切丛的一个截面称为M上的一个向量场。在局部坐标系中，向量场可表成 的形式，式中(x)是坐标(x)的C函数。 TP的对偶空间称为M在点p处的余切空间，记为T坝。T坝中的元素称为余切向量,也称协变向量。M的余切向量全体构成M的余切向量丛，简称余切丛，它的截面称为M上的一次微分形式。 “1=2”微分形式在微分流形上还可以定义外微分形式（见外微分形式）。p次外微分形式 (2)是一些微分的外积的线性组合，这些微分的外积是反对称的,即 是p阶反对称协变张量,M上p次外微分形式的全体构成一个实数域上的无限维向量空间E。对外微分形式可以进行加法运算（同次外微分形式可以相加）,外积运算（p次外微分形式与q次外微分形式的外积是一个(p+q)次外微分形式），还可以进行外微分运算及积分运算。在局部坐标下，外微分运算为(3)设E且d =0,则称为闭形式。M上p次闭形式的全体构成E的一个子空间记为Z。设E,且=d(E，则称为正合形式。正合形式一定是闭形式。M上p次正合形式的全体也构成E的一个子空间记为B，B嶅Z。商空间 (4)称为p次德拉姆上同调群（de Rham cohomology group）。1.2切向量和切空间切向量曲线在一点处的切向量可以理解为该点的切线（带个方向箭头）。 曲面的切向量可视为切平面中的向量。对更一般的流形M，M在点P处的切向量， 就是M中通过P点的曲线在P处的切向量。切向量的概念是个几何概念，亦即它的定义和坐标选取无关。因而是几何量。这是微分几何中最基本的概念切空间切空间是在某一点所有的切向量组成的线性空间。向量（切向量）存在多种定义。直观的讲，如果所研究的流形是一个三维空间中的曲面，则在每一点的切向量，就是和该曲面相切的向量，切空间就是和该曲面相切的平面。通常情形下，因为所有流形可以嵌入欧几里得空间，切空间也可以理解为在该点和流形相切的欧几里得空间的仿射子空间。切空间更好的定义不依赖于这种嵌入，例如，切向量可以定义为通过该点的曲线的等价类，或者是对光滑函数在该点的在某个方向上的求导。但所有这些定义都是等价的。设M是可微的流形，p是M上一点， p处所有切向量全体张成的线性空间称为M在p处的切空间， 记为T_p(M). 如果p是光滑点，则T_p(M)的维数就是流形M的维数。1.3矢量和张量场矢量：既有大小又有方向的量。一般来说，在物理学中称作矢量，在数学中称作向量。在计算机中，矢量图可以无限放大永不变形。三维几何学解释就是根据物体的几何性质而确定的一种定位方法.主要通过线性相关和线性变换解释几何问题代数学解释在有限维向量空间中,也与线性相关与线性变换密切相关,但无需限制于三维组.同时假定有理运算能够施行(这个极大地影响了计算机科学发展),讨论域为任意域,并且要将基本数系的可交换性除去.无限维向量空间(任意维),涉及Zorn引理、基数理论、拓扑等较深的数学概念,在这里建议网友对抽象代数学有一定基础时自己理解。矢量（英语：Vector）是数学、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念，指一个同时具有大小和方向的几何对象，因常常以箭头符号标示以区别于其它量而得名。直观上，矢量通常被标示为一个带箭头的线段（如右图）。线段的长度可以表示矢量的大小，而矢量的方向也就是箭头所指的方向。物理学中的位移、速度、力、动量、磁矩、电流密度等，都是矢量。与矢量概念相对的是只有大小而没有方向的标量。在数学中，矢量也常称为向量，即有方向的量。并采用更为抽象的矢量空间（也称为线性空间）来定义，而定义具有物理意义上的大小和方向的向量概念则需要引进了范数和内积的欧几里得空间。物理术语矢量（vector quantity）和标量（scalar quantity）的定义简单的理解：“矢量和标量的定义如下：（到大学物理中会详细研究）（1）定义或解释：有些物理量，既要有数值大小(包括有关的单位)，又要有方向才能完全确定。这些量之间的运算并不遵循一般的代数法则，而遵循特殊的运算法则。比如说位移这样的物理量，这样的量叫做物理矢量。有些物理量，只具有数值大小(包括有关的单位)，而不具有方向性。这些量之间的运算遵循一般的代数法则。例如温度、质量这些物理量，这样的量叫做物理标量。（2）说明：矢量之间的运算要遵循特殊的法则。矢量加法一般可用平行四边形法则。由平行四边形法则可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等。矢量减法是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量。A-B=A+(-B)。矢量的乘法。矢量和标量的乘积仍为矢量。矢量和矢量的乘积，可以构成新的标量，矢量间这样的乘积叫标积；也可构成新的矢量，矢量间这样的乘积叫矢积。例如，物理学中，功、功率等的计算是采用两个矢量的标积。W=FS，P=Fv，物理学中，力矩、洛伦兹力等的计算是采用两个矢量的矢积。M=rF，F=qvB。物理定律的矢量表达跟坐标的选择无关，矢量符号为表述物理定律提供了简单明了的形式，且使这些定律的推导简单化，因此矢量是学习物理学的有用工具。”（3）矢量有两种，一种为只有大小与方向的物理量，譬如速度，我们称之为“奇矢量”；另外一种不但有大小与方向的物理量，而且还在矢量间作用产生效果所需时间的一个量，譬如力，我们称之为“偶矢量”或“极限矢量（即时、有上限）”，因为它们在矢量间作用产生效果所需的时间是即时与光速的。矢量的大小比较一般来说，矢量只有在同方向上才可比较大小，不同方向上的矢量一般不能比较大小。个人的理解：矢量规律的总结，基于人们对空间广义的对称性的理解。矢量所根据的对平移与转动的对称性（不变性）。对迄今发现的所有规律均有效。使用矢量分析方法，叫数学分析，相当于知道结论推过程，十分方便。这种方法具有极大的创造性，对物理研究或许有所启发。张量场是物理学中场的一种。假如一个空间中的每一点的属性都可以以一个张量来代表的话，那么这个场就是一个张量场。最常见的张量场有广义相对论的应力能张量场（Stress-energy tensor field）。在数学，物理和工程上，张量场(tensor field)是一个的非常一般化的几何变量的概念。它被用在微分几何和流形的理论中，在代数几何中，在广义相对论中，在材料的应力和应变的分析中，和在物理科学和工程的无数应用中。它是向量场的想法的一般化，而向量场可以视为从点到点会变化的向量。必须注意到很多不严格