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一叶落而知秋之至 解析几何综合题案例分析纵观高考题，不难发现解析几何题悄然成了许多省份的压轴题之一解析几何横跨代数和几何，一道解析几何题目，涉及众多，很大程度上考察了学生的思维和运算能力解析几何是用代数方法研究几何图形的一门学科，因此它的基本特征就是数形结合基本方法是建立方程（组），通过方程来研究几何性质因此从几何入手，从代数着力，是它的基本方向。建立方程，解方程就需要做好引参，用参，消参工作解析几何解题思路或从几何关系入手，或把几何关系坐标化，方程化，从代数入手，可以说它的方法是几何法和代数法以下通过一个例子具体来谈：案例 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为,已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P（i）若，求直线的斜率；（ii）求证：是定值解法一：（1）分析：把两点代人，利用三个量的基本关系易得，注意消元和化归由题设知，由点在椭圆上，得，故由点在椭圆上，得故椭圆的方程为（2）分析一：第二问和三问几何特征是直线与椭圆相交，所以一定要联立方程组思路一要求与，需要点的坐标，利用求根公式分别求出的坐标，即可求出值解法一：由（1）得，又因为直线与直线平行，所以设，的方程分别为， 由（求根公式真功） 故 同理，（i）由得，。解得注意到 因此直线的斜率为（ii）分析：想求出点坐标，难于上青天，如果看到图形中的两个三角形相似，不难想到利用相似，结合定义进行转化，可谓柳暗花明又一村，问道于几何证明：因为直线与直线平行，所以 ， 故又由点在椭圆上知，所以，同理 由得，所以，从而是定值分析二：一定要分别求出点的坐标呢？能不能运用韦达定理，设而不求，从整体上去考虑呢？解法二：当直线斜率不存在时，易知不符合题设，因此可设直线为，其中 ，直线与椭圆另一交点记为由 得故因为直线与直线平行，可设直线为，其中，直线与椭圆另一交点记为由 得则易见+=0，=（）而，得故，分别代入（），得，所以，于是即=3，解得点评：韦达定理功效不亚于双剑合璧，而且深刻地揭示了问题的代数特征（ii）设，因为，所以，则，可得，同理所以= 点评：在上述两种解法中，可见判别式，求根公式，韦达定理是我们处理直线与椭圆位置关系的基本工具，另外深刻地体现了解析几何运算中
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