高三新课标总复习专题八：统计.doc

北 京 四 中撰稿:牟庆生 审稿:赵云洁 责编:马风忠高三新课标总复习专题八：统计一高考考点与要求 （1）随机抽样 理解随机抽样的必要性和重要性 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法（2）总体估计 了解分布的意义和作用，会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；理解用样本估计总体的思想频率分布和数字特征的随机性 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题 （3）变量的相关性 会作两个有关联变量的数据作出散点图，会利用散点图直观认识变量间的相关关系 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程例：某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况： 7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； 5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； 11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； 30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ D ） A、都不能为系统抽样 B、都不能为分层抽样 C、都可能为系统抽样 D、都可能为分层抽样例：为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a, b的值分别为（ A ） A0.27, 78 B0.27, 83 C2.7, 78 D2.7, 83二.经典例题 例1某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则xy的值为（） A.1 B.2 C.3 D.4分析与解答：本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法.由题意可得：x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出，设x=10+t, y=10-t, ，选（D）例2设离散性随机变量可能取的值为.又 的数学期望 ，则（）A. B. C. D.解：设离散性随机变量可能取的值为，所以，即，又的数学期望，则，即，, .选（B）例3 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. （）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； （）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）解：设三门考试课程考试通过的事件分别为A，B，C，相应的概率为a，b，c（1）考试三门课程，至少有两门及格的事件可表示为ABACBCABC，设其概率为P1，则P1ab（1c）a（1b）c（1a）bcabcabacbc2abc设在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格的概率为P2，则P2abacbc（2）P1P2（abacbc2abc）（abacbc）abacbc2abc（abacbc3abc）ab（1-c）ac（1b）bc（1a）0则P1P2，即用方案一的概率大于用方案二的概率.例4现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为,对乙项目每投资十万元, 取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.(I) 求、的概率分布和数学期望、; (II) 当时,求的取值范围.【解析】(I)解法1: 的概率分布为1.2 1.18 1.17 PE=1.2+1.18+1.17=1.18.由题设得,则的概率分布为0 1 2 P 故的概率分布为1.3 1.25 0.2 P 所以的数学期望为E=+=.解法2: 的概率分布为1.2 1.18 1.17 P E=1.2+1.18+1.17=1.18.设表示事件”第i次调整,价格下降”(i=1,2),则P(=0)= ;P(=1)=;P(=2)=故的概率分布为1.3 1.25 0.2 P 所以的数学期望为E=+=.(II) 由,得: 因0p1,所以时,p的取值范围是0p0.3.【点评】本小题考查二项分布、分布列、数学期望、方差等基础知识,考查同学们运用概率知识解决实际问题的能力.三.高考真题1（06全国II）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如右图）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在2500，3000（元）月收入段应抽出人 解析:由直方图可得 （元）月收入段共有 人按分层抽样应抽出 人2（06四川卷）设离散型随机变量 可能取的值为1，2，3，4。 （ 1，2，3，4）。又的数学期望 ，则;解：设离散性随机变量 可能取的值为 ，所以 ，即 ，又 的数学期望 ，则 ，即， ， 点评：从认知集合切入，适时化生为熟，乃是解决集合问题的基本方略.3某运动员射击一次所得环数的分布如下：6 7 8 9 10 0 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.(I)求该运动员两次都命中7环的概率 (II)求的分布列解：()求该运动员两次都命中7环的概率为；() 的可能取值为7、8、9、10 分布列为 7 8 9 10 P 0.04 0.21 0.39 0.36 () 的数学希望为.4（06湖北年卷）某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组。在参加活动的职工中，青年人占42.5，中年人占47.5，老年人占10。登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50，中年人占40，老年人占10。为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本。试确定（）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；（）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。本小题主要考查分层抽样的概念和运算，以及运用统计知识解决实际问题的能力。解：（）设登山组人数为，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，则有，解得b=50%,c=10%.故a=100%50%10%=40%,即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40、50、10。（）游泳组中，抽取的青年人数为（人）；抽取的中年人数为5075（人）；抽取的老年人数为1015（人）。5（06上海春）同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列 满足 ，则 （结论用数学式子表示）.解：如果在有限数列 中，按顺序去掉一些高分 ，那么有不等关系 ； 如果在有限数列 中，按顺序去掉一些低分 ，那么有不等关系从而应填，与 6（06湖北年卷）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。（）、试问此次参赛学生总数约为多少人？（）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1 0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821 0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826 0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830 0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834 0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838 0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842 0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846 0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850 0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854 0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857 解：（）设参赛学生的分数为 ，因为 N(70，100)，由条件知，P( 90)1P（ 90）1F(90)1 1 (2)10.97720.228.这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28，因此，参赛总人数约为 526（人）。（）假定设奖的分数线为x分，则P( x)1P（ x）1F(x)1 0.0951，即 0.9049，查表得 1.31，解得x83.1.故设奖得分数线约为83.1分。点评：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力。四、巩固练习：1、随机变量所有可能值的集合2，0,3，5，且P(=-2)=1/4,P(=3)=1/2,P(=5)=1/12,则P(=0)的值为（）A.0 B.1/4 C.1/6 D.1/82、袋中有大小相同的只钢球，分别标有1,2，3,4，5五个号码，现有放回的依次取两个球，设两次取到球的号码和为随机变量，则的所有可能值的个数是（）A.5 B.9 C.10 D.25 3、设随机变量的分布列为P(=k)=.k=1,2,3,4,则E的值为（）A 2.5 B. 3.5 C. 0.25 D. 24、设随机变量服从二项分布B（，/3），则D的值为（）A 4/3 B 8/3 C 8/9 D 1/9 5、某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则xy的值为（）A.1 B.2 C.3 D.46、甲校有3600名学生，乙校有5400 名学生，丙校有1800 名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90 人的样本，应在这三校分别抽取学生（）A.人，人，人 B.人，人，人 C.人，人，人 D.人，人，人 7、(06重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在56.5,64.5的学生人数是（）A.20 B.30 C.40 D.508.一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是9. 某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是分.巩固练习参考答案： 一、选择题 1、P(=-2)P(=3)P(=5)P(=0)1 答案：（C）2、答案：（B）3、解析：E（1234）P()2.5 答案：（B）4、解析：二项分布B（，/3），答案：（C）5、本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法.由题意可得：x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出，设x=10+t, y=10-t, ，选（D）6、解析：甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为人的样本，应在这三校分