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高等数学测试题（十）微分方程部分（答案）一、 选择题（每小题4分，共20分）1、若 是方程 的两个特解，要使 也是解，则 与 应满足的关系是（ D ）A B C D 2、下列方程中为全微分方程的是（ C ）A B C D 3、设 为实常数，方程 的通解是（ D ）A B C D 4、方程 的特解 形式为（ B ）A B C D 5、已知 ，则函数 的表达式为（ D ）A B C D 二、填空题（每小题4分，共20分）1、 方程 的通解是 2、 方程 的通解是 3、 以 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为 4、 已知方程 的积分曲线在点 处与直线 相切，则该积分曲线的方程为 5、 方程 的一个只含有 的积分因子为 三、（共60分）1、（8分）求方程 的通解解：令 ，则 ，代入原方程得 即 ，两边积分得，代回原方程，得通解2、（6分）求方程 的通解解：方程改写为 ，则通解为3、（8分）求微分方程 的通解解：设 有 ，则原方程为全微分方程，于是故 原方程的通解为 4、（10分）求解 解：此方程不含，令 ，则 ，原方程化为此方程为贝努力方程，令 ，上述方程化为 则 ，即 ，由初始条件 得 ，于是，方程化为 ，或 由初始条件应取 ，即 ，积分得，再由初始条件得 ，所以原方程的特解为 或 5、（6分）求方程 的通解解：特征方程为 ，特征根为 方程的通解为 6、（10分）求方程 的通解解：对应的齐次方程为 ，其特征方程为 特征根为 ，齐次方程的通解为 因 是特征方程的单根，所以非齐次方程的特解形式为 代入原方程，比较系数得 ，于是得到一个特解，所求方程的通解为 7、（12分）求满足条件 且具有二阶连续导数的函数，使方程 是全微分方程。并求出全微分方程经过点 的一条积分曲线。解：由全微分方程的条件知：，即，对应的齐次方程的特征根为 齐次方程的通解为 。因为不是特征根，则方程的特解形式为 ，代入方程解得，故 ，方程的通解为 ，代入初始条件，得 ，因此，所求函数为 将其代入原方程中，得全微分方
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