高等数学1.5极限运算法则.pdf

第一章 函数与极限 第五节 极限运算法则 第一章 函数与极限 第五节 极限运算法则 一 极限运算法则一 极限运算法则 二 求极限方法举例二 求极限方法举例 1 无穷小的运算性质 无穷小的运算性质 定理定理1 证证 0 X取取xX 极限为零的函数称为无穷小极限为零的函数称为无穷小 1 0 X 2 0 X 使得 使得 1 xX 当时当时 2 xX 当时当时 12 max XX 2 2 22 在同一过程中在同一过程中 的代数和有限个无穷小仍是无穷小的代数和有限个无穷小仍是无穷小 x 设时的无穷小是 要证 有有 当 时有 设时的无穷小是 要证 有有 当 时有 注意 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 1 无穷小的运算性质 无穷小的运算性质 定理定理1 在同一过程中在同一过程中 有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小 例如例如 n 其结果不是无穷小其结果不是无穷小 222 12 lim n n nnn 时 是无限多个无穷小之和 时 是无限多个无穷小之和 定理定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小 定理定理2 证证 0 1 无穷小的运算性质 无穷小的运算性质 u 01 0 xx 0 M 02 0 xx 定理定理1 在同一过程中在同一过程中 有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小 M u设设 2 0 M 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小 当时当时 0 01 U x 在内有界在内有界 有 有 又设是当时的无穷小 有 有 又设是当时的无穷小 0 xx 使得当时使得当时 取取 12 min 当当 02 0 xx 时有时有 定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证证 u M M 0 xx u u 是无穷小是无穷小 u 01 0 xx 0 M u设设 M 时时 0 01 U x 在内有界在内有界 有有 又设是当时的无穷小又设是当时的无穷小 0 xx 当当 0 02 0 xx M 2 0 有 使得当时 有 使得当时 取取 12 min 当当 02 0 xx 时有 当时 时有 当时 推论推论1 推论推论2 1 sin x x都是无穷小都是无穷小 1 无穷小的运算性质 无穷小的运算性质 定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小 0 时当例如 时当例如 x x x 1 arctan 2 定理定理1 在同一过程中在同一过程中 有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小 常数与无穷小的乘积是 有限个无穷小的乘积 无穷小常数与无穷小的乘积是 有限个无穷小的乘积 无穷小 也是无穷小也是无穷小 极限运算法则极限运算法则 定理定理3则设则设 lim limBxgAxf 5 极限运算法则极限运算法则 lim 1 xgxf lim 3 xg xf BA BA lim 2 xgxf 0 B B A 其中其中 定理定理3则设则设 lim limBxgAxf 证证 lim f xA f x 由无穷小运算法则由无穷小运算法则 得得 lim 1 xgxf BA 其中其中 f xg x 0 1 成立成立 g x A B 0 AB f xg xAB 分析 要证分析 要证 0 lim g xB 定理1定理1Axf xx lim 0 x 0 xx 其中是当时的无穷小其中是当时的无穷小 f x Ax 推论1推论1lim f x 常数因子可以提到极限记号外面 常数因子可以提到极限记号外面 lim nf x 推论2推论2 lim cf x 如果存在 C为常数 则如果存在 C为常数 则 lim cf x n为正整数 则为正整数 则 lim n f x lim f x如果存在 如果存在 1 无穷小的运算性质 1 无穷小的运算性质 nn xy nn nn limxA limyB nn n lim xy nn n limxy AB n y0 n1 2 B0 A B A B 定理定理4 设有数列 如果 则有 设有数列如果 则有 n n n x lim y lim x a 而 而 x x ab b x lim 定理定理5 1 无穷小的运算性质 1 无穷小的运算性质 则有则有 nn xy nn nn limxA limyB nn n lim xy nn n limxy AB n y0 n1 2 B0 A B A B 定理定理4 设有数列 如果 则有 设有数列如果 则有 n n n x lim y 二 求极限方法举例求极限方法举例 lim lim nn f xf x 例1例1 3 2 2 1 lim 35 x x xx 求 求 解解 2 lim x 2 2 lim x x 2 2 lim x x 2 2 3 53 1 lim 2 3 2 xx x x 2 2 lim 35 x xx 3 7 3 12 3 lim 0 0 xx xx 证明证明 0 2 35 xx 2 lim3 x x 2 lim5 x 2 3lim x x 2 lim5 x 3 2 5 3 22 limlim1 xx x 小结 小结 1 0 lim xx f x n nn axaxa 1 0100 0 xf 2 0 lim xx f x 0 0 xQ xP 0 xf 0 0 Q x lim 0 0 xx xx 证明证明 00 1 01 lim lim nn n xxxx axaxa 0 0 lim lim xx xx P x Q x 如果商的法则不能用如果商的法则不能用 f x设设 1 01 nn n a xa xa f x 设设 P x Q x 0 0 Q x 且且则有则有 解解 32 lim 2 1 xx x 0 商的法则不能用商的法则不能用 1 lim 41 x x 又 又 3 14 32 lim 2 1 x xx x 3 0 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系P41 例2例2 32 14 lim 2 1 xx x x 求求 32 14 lim 2 1 xx x x 0 0 1 lim0 0 lim 2 00 xf xfxf x xx x xx 且且 解 例3 解 例3 32 1 lim 2 2 1 xx x x 求求 1x 1x 2 2 1 1 lim 23 x x xx 3 1 lim 1 x x x 2 1 0 0 型型 消去零因子法消去零因子法 二 求极限方法举例求极限方法举例 1 1 1 lim 3 1 x xx xx 时 分子分母的极限都是零 先约去不为零的无穷小因子 先后再求极限 时 分子分母的极限都是零 先约去不为零的无穷小因子 先后再求极限 例4例4 147 532 lim 23 23 xx xx x 求求 解解x 型型 3 x 32 32 235 lim 741 x xx xx 7 2 二 求极限方法举例 3 3 35 2 lim 41 7 x xx xx 时 分子分母的极限都是无穷大 先用去除分子分母 分出无穷小 再求极限 时 分子分母的极限都是无穷大 先用去除分子分母 分出无穷小 再求极限 小结 小结 00 0 0 ab 1 01 1 01 lim mm m nn x n a xa xa b xb xb 无穷小分出法 无穷小分出法 0 0 a b 0 二 求极限方法举例 以分母中自变量的最高次幂除分子 分母 以分出无穷小 然后再求极限 二 求极限方法举例 以分母中自变量的最高次幂除分子 分母 以分出无穷小 然后再求极限 nm nm nm 当当m和和n为非负整数时有为非负整数时有 例5例5 222 12 lim n n nnn 求 求 解解 n 222 12 lim n n nnn 2 1 2 1 lim n nn n 1 1 2 1 lim n n 2 1 先变形再求极限 二 求极限方法举例 先变形再求极限 二 求极限方法举例 2 12 lim n n n 时 是无限多个无穷小之和时 是无限多个无穷小之和 例6例6 sin lim x x x 求求 解解 sin x x x x sin lim x x y sin 0 sin lim1 x x x 1 sin lim 0 x x x 0 0 二 求极限方法举例求极限方法举例 x时 当时 当 1 x 是无穷小 是有界函数 是无穷小 是有界函数 例7例7 lim 0 1 0 1 0 2 xf xx xx xf x 求设 求设 y ox 1 xy 1 1 2 xy 解 解 0 x 0 lim x f x 1 0 lim x f x 1 左右极限存在且相等 左右极限存在且相等 0 lim x f x 故故 二 求极限方法举例求极限方法举例 0 lim 1 x x 2 0 lim 1 x x 1 是函数的分段点 两个单侧极限为是函数的分段点 两个单侧极限为 lim 0 xgf xx limuf au xgu 令令 0 xxu 有 意义 意义 f g xlim ua f u A 0 0 0 0 时使当时使当 xx f g xA 成立成立 有 分析 有 分析 2 2 sin lim 0 x x x u u u u sin lim 0 x 0 x u 有 有 a 0 lim xx u 定理4 复合函数的极限运算法则 设定理4 复合函数的极限运算法则 设 g x 0 lim xx g x x 且且 a g xu 0 o U x lim又 时 又 时 f uA ua lim 0 xx u a a 2 x 则有则有 证证 lim ua f uA 0 0 lim xx g xa 又 又 1 0 g xa 0 0ua f uA 0 01 0 xx 0 取取 g xa 有有 0 o xU x 0 取取 10 min 0 g xa 0 0 xx 有有 lim 0 xgf xx limuf au A 0 lim xx u 定理4 复合函数的极限运算法则 设定理4 复合函数的极限运算法则 设 g xu 0 lim xx g x x 且且 a g xua 0 o U x 又 时 又 时 lim ua f uA 有 则有 使当时 有成立 对于 当时 则 当时 有 则有 使当时 有成立 对于 当时 则 当时 证证lim ua f uA 0 0 lim xx g xa 又 又 0 0 0ua f uA 0 0 g xa 0 0 xx 有有 lim 0 xgf xx limuf au A 0 lim xx u 定理4 复合函数的极限运算法则 设定理4 复合函数的极限运算法则 设 g xu 0 lim xx g x x 且且 a g xua 0 o U x 又 时 又 时 lim ua f uA 则有 使当时 有成立 对于 则 当时 则有 使当时 有成立 对于 则 当时 f g xA 0 lim xx f g x lim ua f u A 例8例8 2 2 sin lim 0 x x x 求求 解解 0 sin lim x x x 0 sin 2 lim 2 x x x 2 x u 令 令 0 sin lim u u u 1 x u 1 lim 0 xgf xx limuf au A 0 lim xx u 定理4 复合函数的极限运算法则 设定理4 复合函数的极限运算法则 设 g xu 0 lim xx g x x 且且 a g xua 0 o U x 又 时 又 时 lim ua f uA 提示 1 提示 1 lim g xa 2 2 0 xx lim g xa a x 可为可为 则有则有 例9例9 解解 lim 0 xgf xx limuf au A 0 lim xx u 定理4 复合函数的极限运算法则 设定理4 复合函数的极限运算法则 设 g xu 0 lim xx g x x 且且 a g xua 0 o U x 又 时 又 时 lim ua f uA 提示 1 提示 1 lim g xa 2 2 0 xx lim g xa a x 可为可为 1 limsin x x x 求求 0 sin lim u u u u 1 x x u 0 1 1 limsin x x x 1 则有则有 lim 0 xgf xx limuf au A 0 lim xx u 定理4 复合函数的极限运算法则 设定理4 复合函数的极限运算法则 设 g xu 0 lim xx g x x 且且 a g xua 0 o U x 又 时 又 时 lim ua f uA x 1 limsin1 x x x y 0 4 0 2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 051015 y 则有则有 lim 0 xgf xx limuf au A 0 lim xx u 定理4 复合函数的极限运算法则 设定理4 复合函数的极限运算法则 设 g xu 0 lim xx g x x 且且 a g xua 0 o U x 又 时 又 时 lim ua f uA 1 limsin1 x x x y 0 4 0 2