高职高等数学 第一章 函数极限连续 第二节.pdf

沈阳工程学院 第二节极限 Limit 教学目的 第二节极限 Limit 教学目的 理解极限的概念 理解左右极限的概念 内容 内容 数列的极限 函数的极限 教学重点 教学重点 各种趋势下的极限定义 左右极限存在与极限存在的关系 教学难点 教学难点 极限概念的理解 教具 教具 多媒体课件 教学方法 教学方法 精讲 多练 教学过程 1 引人新课 教学过程 1 引人新课 在数列极限的概念基础上引出函数极限概念 2 教学内容 一 数列的极限 教学内容 一 数列的极限 1 数列的概念 按自然数 3 2 1编号依次排列的一列数 21n xxx 1 称为无穷数列 简称数列 其中的每个数称为数列的项 n x 称为通项 一般项 数列 1 记为 n x 例如 2 8 4 2 n 2 n 2 1 8 1 4 1 2 1 n 2 1 n 1 1 1 1 1 n 1 1 n 1 3 4 2 1 2 1 n n n 1 1 n n n 注意 注意 数列对应着数轴上一个点列 可看作一动点在数轴上依次取 数列是整标函数 nfxn 2 数列的极限 考察以两个数列 1 1 n u n 即数列 1 11 1 2 3n 1 x 2 x 3 x 4 x n x 沈阳工程学院 11 2 2 n n u 即数列 0 1 0 1 观察上述例子可以发现 当n无限增大时 数列 1 无限趋近于常数零 而数 列 2 的各项在 0 和 1 两数变动 不趋近于一个确定的常数 定义 1定义 1 对于数列 n u 当n无限增大时 通项 n u 无限趋近确定常数A 则 称该数列以A为极限 或称数列 n u收敛于A 记作 lim n n uA 或 n uAn 若数列 n u没有极限 则称该数列发散 例 1例 1观察下列数列的极限 1 n uC C为常数 2 1 n n u n 1 3 2 n n u 1 4 1 n n u 解解观察数列在n 时的变化趋势 得 1 lim n CC 2 lim1 1 n n n 1 3 lim0 2n n 1 4 lim 1 n n 不存在 如果数列 n u对于每一个正整数n 都有 1nn uu 则称数列 n u为单调递增数 列 如果数列 n u对于每一个正整数 都有 1nn uu 则称数列 n u为单调递减 数列 如果对于数列 n u 存在一个正的常数M 使得对于每一项 n u 都有 n uM 则称数列 n u为有界数列 定理定理 1 单调有界定理 单调有界数列必有极限 沈阳工程学院 二 函数的极限二 函数的极限 1 x 时函数 f x的极限 例 2例 2 考察当x 时函数 1 y x 的变化趋势 当x 时 包括 xx 函数趋近于 确定的常数 0 定义 2定义 2 设函数 f x当x大于某一正数时有定 义 如果x无限增大时 函数 f x无限趋近于 确定的常数A 则称A为x 时函数 f x的极 限 记作 lim x f xAf xA x 或 若只当x 时 或x 时 函数趋近于确定的常数A 记为 limlim xx f xAf xA 或 定理 2定理 2 lim x f xA 的充要条件是 limlim xx f xf xA 例 3例 3 观察下列函数的图像 并填空 1 lim0 x x e 2 lim x x e 3 limarctan 2 x x 4 lim arctan x x 解 从图上可以看出 1 lim0 x x e 2 lim0 x x e 3 lim arctan 2 x x 4 lim arctan 2 x x x ye x ye xyarctan o x y 1 1 x y 1 沈阳工程学院 2 0 xx 时 函数 f x的极限 邻域 设 是某个正数 称开区间 xx 为以x为中心 以 为半径的领 域 简称为点x的邻域 记为 U x 称区间 0000 xxx x 为点 0 x 的 去心邻域 记为 0 U x 例4例4考察当1x 时 函数 2 1 1 x y x 的变化趋势 当1x 时 函数 2 1 1 1 x yx x 可见当1x 时 2y 定义 3定义 3设函数 f x在 0 x 的某一去心邻域 0 U x 内有定义 当自变量x在 0 U x 内无限接近于 0 x 时 相应的函数值无限接近于确定的常数A 则称A为 0 xx 时函数 f x的极限 记作 0 lim xx f xA 或 0 f xA xx 定义4定义4如果 00 xxxx 时 函数 f x无限接近于一个确定的常数A 则称A为x趋近于 0 x 时函数 f x的右 左 极限 记作 00 limlim xxxx f xAf xA 或 00 00f xA f xA 定理 3定理 3 0 lim xx f xA 的充要条件是 00 limlim xxxx f xf xA 例5例5设 0 1 0 0 xx f xx xx 画出该函数的图像 并讨论 0 00 lim lim lim x xx f xf xf x 是否存在 解由图像可以看出 y O 1 1x 1 沈阳工程学院 00 lim0 lim0 xx f xf x 由定理 3 0 lim0 x f x 例 6例 6函数 0 0 0 1 0 1 x x x x x xf 当0 x时 xf的极限不存在 解 0 lim1 x f x 0 lim1 x f x 由定理 3 知 0 lim x f x 不存在 课堂练习 课堂练习 设函数 2 4 11 3 1 4 12 xx f xx xx 求 3 2 01 lim lim lim xxx f xfxf x 小结