打开量子世界大门的金钥匙——数学方法.pdf

l 9 9 4年 第 l期 松 辽 学 刊 自然 科 学 版 S o n g l i a o J o u r n a l Na t u r a l S c q e n c e E d i t i o n 1 l 994 打开量子 世界大门 的金钥匙 数学 方法 童 查 整 四平 师范学 院 四 平一 中 L l 摘 要车文 昔朗克公式的建 立为线索 以量子沦的诞生为背景 说叫数学方法在 度 詈 艘矗 关 键 词 墼 兰 堡 竺 塑 坌 堕 里 壁 里 至 季 量 1 引言 数学 方 法是 以 数学概 念 为 思维 细胞 运 甩 简洁精 确的 形式 化 语言 在 遵 守形 式 逻 辑 基本法 则的 前提 下 通 过抽 象概 括 和 推 理等 方法 来反 映 自然科 学 中 各种 量 最 的 关 系 虽 的变 化等 内容 从 而 使 科 学 定 性 的描 述 进 入 到 定 量 f I 匀 分析 和 计 算 的 基 本方 法 数 学方 法是 抽 象 思维 的 有教 形 式 这种方 法在 自然科学中的应用 几乎是 无 所 不在 的 它 除 了具有逻 辑推 理 和 证 明 的 作 用 之 外 还 可 以 作 出 重大 的 科 学 街 见 帮助 人 们把 握超 出感 性经 验 以外 的客 观 世 界 本 文 以 普 朗 克 公 式 的 建 立 为 线 索 以 量子 论的 诞 生 为背 景 说 明 数学 方 法在 物理 学发 展中所起 的重大 作用 2 普朗 克黑 体辐射 公式 的产生 8 9 5年 德 国的 卢默 尔和 维 恩提 出 了 空 腔 辐 射 和 黑体 辐 射 等 同原 理 于 是 卢 默 尔和 另 一位 实验 物 理 学 家 普 林 斯 海姆 用 空腔 辐 射来研 究黑 体辐 射 的性 质 他 们 用 实验 首 先 验 证 了斯 忒 藩 一玻 尔兹 曼定 律 随 后 卢默 尔和 普 林 斯 海 姆 对 辐 射 能 量在 给定 温度 下 与波 长 变化 关 系这 个更 收 弃日期I 9 3 0 9 0 3 复 杂的 问题 进行 丁研 究 其测 量结 果 如附 图所示 这 里 3 7 此 图 表 明 了不同 温度下的 辐 射能 密 度 与披 长 的 曲线 琏系 为 了探 求 P与 的 函 数 关系 维恩 根 据斯忒藩一玻尔兹曼定律 位移定律盟麦 克斯 韦速度 分 布律 并 借 助 于 一些 特 殊的 假 设 推 导 出 个 分 布 规 律 一A t 或将此 式写 成频 率 皂 系 p P 一 n e 1 公 式 1 J 的 均 为常 敬 1 式就 是 维恩 辐射定 律 的表达 式 其推 导过 程从 经 典物 理的 角度 来说 是 无懈 可击 的 但 是 l 8 9 7 年 默尔与普林斯海姆对空腔的能 维普资讯 量 分布 的 测 量 发现 维 恩辐 射定 律 在波 长 较 短 温 度 较 低 时 才 实 验 结 相 符 而 在 长波 区域 则系 统地低 r实 验值 具有 很 大 的 偏 差 1 g 9 0年 初 英 国物理 学 家瑞 利和金 斯 假 定 空腔 内 的 电磁 辐射 形 成 一 切 可能 的 驻 波 根 据 经 媳的 能 量 均 分 定 理 推 得 了 被 称为瑞 利 一金斯 的 定律 一 胛 2 式 中 在 长 波 范 围 内 与耍 验 结 槊 相 符 而 在短 波 范 围内却 与实验 结 果 不 一致 并 且 随 着频率 的 增大 而单 调地 增 大 在高 频 部 分 出现 无穷 大 即所 的 紫外灾难 因此 无 论 是 维 恩 辐 射 定律 还 足 瑞 利 一金 斯定 律 他 们都 没 有 完整地 解 释黑 件 辐射 的 嗣题 为 了得 U 与实验 结 果 相 符 的 理 论公 式 德 国物理学 家 普 朗克 在 引八 与经 理 论极 不相 同的 慨念 的 同 时 运用 数学 内插 方 法 构 建 了普 朗克公 式 普 朗克 运 用 经 典 电磁 理 论研 究 j 封 闭 在 一个 具 有 理 想反 射 壁 腔 内的 电磁 辐 射 导 出 单位体 积和 单 位 频率 问隔 的 电 磁 辐射 能 p 与振 子平 均 能 的 关 系式 一 然 后 他 利 用 热 力 学 方 法 探 讨 了 f 的形 一方 面 两 参舒 的维 恩 公式 1 及相 应的热 力学 系式 4 d l 2 Hv l 作 为 一 个 扳 限 情 况 另一 方而 鲁 本 斯 和痒 尔 鲍 姆 的 实验 结 I果一 单 色辐 射 的强 度 在懿度 高 时与 温度 成正 比 以及相 应 的热 力学 关 系式 一 C 2 5 越 l 2 作 为 卜 种极 限t 况 综 台上述 种 情 普 朗克 天才 地 猜 想 内插 于 4 5 j 式 之 间的正 确的公式 形式应 为 一 而 f 6 j d 2 l f t t 将 6 式积分 并 考虑 到 一1 T 则 可 得 到 一 j 7 最终 于 1 9 9 0年 1 0月 1 9日 在 箍 围物理 学 会议 上提 出 了具有 两 常数 的普朗克 公式 p一 8 万 普 朗克 并 不满足 于这 个 侥 孛 揣测 出 来 的 内插 公 式 继 续 从 理 葩上 去 寻找 更 为完 善的解 决 问题 的方 法 他仿 效玻 尔 兹 曼把 能量 U 分 配 于 N 个 谐振 于上 这 里 一 一 P是 整数 为 能 蛀元 由组 合分 析 法则得到 配容 数 为 W J 1 一 1 略 去式 中的 l 利 用斯持 令公 式樽 由 于 K l n W 而 一 则 可直 接 导 出 单个振子 的熵 一 Kt I n qi n t h i t 1 0 又莓虑 到 f t y 他把 能最 元写 为 hy 1 1 1 1 式 I f 的 h是一个与振子特性 无戈的 常 数 后 柬 人 们 称它 为普 朗 克 常 数 由 熵 及上 A 提到 的热 力学方 法 普朗 克 叉得到 1 9 0 0年 1 2月 J 4丌向柏 林物 理 学 会提 交 的 公 l p y T 一 1 2 这 个 普 朗克公 式 i 实验结 果完全 相 符 合 当 r 时 即在短 波范 围 1 2 式 变 为 p 一 8 n h a e h 此式 即 为维恩公 式 1 的具 体形 式 当着 一 0时 即在 被 范围 1 2 式 即为 2 维普资讯 此 为瑞 利金 斯公 式 普 朗 克辐 射 定律 的 确 立 不 仅解 决 了物 理 学 l 的 所 渭 紫外 灾 难 问 题 同 时 也 统 一 了维 恩和 瑞 利一 金 斯 公式 更 重大 的意 义在 于提 出 r能 量 量子 化 的 概念 和 引进 了 一 个普 适 常 数 h 这 就 为舒 子 物理 的发 展 奠定 r基础 为量 子 学 的建 立提 供了 条件 从而 使物理 学 的 发展进 入 r一 个新 的 革 命时期 普 朗克 公式 1 2 之 所 以产 生 完全是 由于用 内捕 法 得 到 的 公 式 8 而 引起 的 然后 用统 计学 的方 法 进 行 了数 学上 的 推 导和 分 析 比较 提 出 了 一 这 种物 理 模 型 因此 可 以说 数 学方 法 是 打 开 量 子 世 界大 门 的金钥 匙 应该 强 涸 的是 贡献 大 的 焦 点在 h 的提 出 但 它 如果 没有 1 0 式 及对 一 的 比较 一 h y是 不 会诞 生的 所 以 1 0 式娃 一h y的 前提 而 1 0 就 是 由数 学方法 而获得 的 3 普朗 克定律 对物理 学 的影响 普 朗 克 本 人对 自 己能 量 元这 种 观 念 并 没有彻 底 的去考 察 是 爱 四斯 坦 第 1次 明确 地 揭 示 出 普朗 克 公 式 所 包 涵 的 深刻 含 义 自 1 9世纪初 起 人 们把 光和 诸 如衍 射和 干 涉这 些 现 象 中 表 现 出 的 波 动性 系起 来 但 是 l 9世 纪 末新 的现 象 被发现 著 名的 光 电效应就 是 一例 这些 新 的 实验 结 果很 难 用传统 的光 的 波 动性 来 解释 爱 因斯 坦 假定 光 可 同时 是 波和 粒 r 井 假 定这 两 个方 面通 过 普朗 克常 数 关联 起 来 由此 而 解 决 r这 个谜 说 得 更 清 楚 些 要 一 束 光波 以其 频率 l硬其波 长 为特 征 h 使 我 们能从 颧 率和波 乇 走 能恬 和动 P这 样 的 力学 帚 一 方 面 琏 r和 z 码 方 面 足 和 P 这 两吉 之 间 的 系系 足 讴简 单 的 h 叭v I 3 l l 1 的 两 鄙J 有 h 2 0年 之后 路 易渐 德布 罗意把 这 个波 粒 二象 性 从光 推广 到物 质 他把 力 学 与光 学 作 r类 比 学 几 何 光 学 光的 微 粒说 l 物理光学 光的波动说 光 的波粒二 象性 f 传统 力学 粒 子说 力学 新 的 力学 波 动说 l 波动 力学 物 质 的波粒二 象性 通过 类 比 德 布 罗意 主张 建 立 种 新 的 力学 即波 动 力学 来和 物 理 光学 对 应 囡而 大 胆设 想 不 仅光 具有 波 动 和 粒子 象性 而 一 般 物 质 也 应 当 具 有 波 粒 二 象 性 从此 提 出 了物 质波 的概 念 仿 照 爱 田 渐 坦 的 思 想 粒子 的能 量 动 最 与 相 应 的 频 率 淀 长也 有 如 1 3 式 那样 的 德布 罗意 关 系 薛 定 谔与德布 罗意 一样 也 采 用 了类 比方法 他认 为经 婵 力学 与几 何 光学 的 一 些 规律 具有 完全 相似 的 数学 形式 把 波 动 力学 与物理 光学 相 对照 也 必 然 存 在一 个 物 质 渡的 波 动 方 程 与光 的 波 动 方 程相 娄 似 I 是 他仿 照 拉 普拉 斯 提 出的 光 的 波 动方程 形式 得 出了虽 于力学 的 薛 定谔方 程 m 等一 薛 定 谔 方 程 反 映 了 微 观 粒 子的 运 动 规律 它的正 确性 是 由在 各种 具 体情 况 下 从方 程得 出的 结 沦和 实验 结 相 比较 束 验 征的 总 之 普 朗克假 说对 近 代物理 学 产 牛 了极其 深远 的影 响 其作 用之 巨人完 全超 出 r本 文 所述 的 内 容 例 如 昔 朗 克常 数 h 强迫 我 圭修 正 经 力 学 的 坐 标和 动 概念 海森堡 的 不准 廷系 p 1 5 就 月显的 说 Ij J ri 羔 一 点 奉 l之仪 仪从 维普资讯 数 学 上 的 内插 法 汝及 普 朗克 对 量 子 力学 维 的一种 有效形式 创 立的 贡献 从 而 说 明数学 方法 确 实是 思 参考文献 广重 彻 丰醒 腔洋锄 学 史北 京 求 宴 出版 祉 9 8 8 王描 山近 代 锄理 学 止研究 二 17 海 复 旦大 学 出题 社 9 8 6 睬艟 菁 娜 诞 肃锄理 史 简 目 教程 北 京 师 范 学 出版社 9 8 6 自然 辩 证洼 讲 望 编 写蛆 自然 辩证 法讲 望 北 京 高 等教 育 出版 址 8 7 8年 8月 THE G OLD KEY TO OPEN I N G THE G ATE OF QUANTUM W ORLD MATHEMATI CAL METHOD 1 k a y W S i p i r Tmng ua n9 s i pir g mi d d l e h o a l A b s t r a c t Th e a u t h o r s e x p l ain t h at t h e m a t h e m at i c al m e t ho d p l ays a n i m p or t an t r o l e f n t h e d e ve op me n t o f ph y s i c s a n d t ak e t he f o un d a tio n o f P l a nk f x r m u a a s a c l u e i n t h e b a