免费预览已结束，剩余1页可下载查看
下载本文档
版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领
文档简介
1 二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 . （1）为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度，做转轴（反时针方向转轴） （2）把方程（1）化成标准方程.在二次曲面的研究中也有类似的情况. （1）的左端是一个二次齐次多项式.从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，是他只含有平方项.二次齐次多项式不但在几何中出现，而且在数学的其他分支及物理、力学中也常常会碰到.这一章就是来介绍它的一些最基本的性质. 设p是一数域，一个系数在数域p中的的二次齐次多项式称为数域p上的一个n元二次型，或者，在不致引起混淆是简称二次型.例如 就是有理数域上的一个三元二次型.为了以后讨论上的方便，在（3）中，（ij）的系数写成，而不简单的写成. 和在几何中一样，在处理许多其他问题时也常常希望通过变量的线性替换来简化有关的二次型.为此，我们引入 定义 1 设是两组文字，系数在数域p中的一组关系式 （4） 称为由到的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式 ，那么线性替换（4）就成为非退化的.如果把（2）看作线性替换，那么他就是非退化的，因为 .不难看出，如果把（4）代入（3），那么得到的的多项式仍然是二次齐次的.换句话说，线性替换把二次型变成二次型.研究二次型在非退化的线性替换下的变化情况就是本章的主要目的. 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此我先把二次型与线性替换用矩阵来表示. 令 ij.由于 ，所以二次型(3)可以写成 = 把（5）的系数排成一个矩阵 A=， （6） 它就称为二次型（5）的矩阵.因为所以 =.我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的.令 X=.于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来： = =.故 应该看到，二次型（3）的矩阵A的元素，当时正是它的项的系数的一半，而是项的系数，因此二次型和它的矩阵是唯一决定的.由此还能得到，若二次型 且,则A=B. 令 C，Y.于是线性替换（4）可以写成 或者 X=CY.我们知道，经过一个退化的线性替换，二次型还是变成二次型.现在就来看一下，替换后的二次型
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
评论
0/150
提交评论