平面极坐标系在高中物理竞赛中的应用.pdf

Vo 1 3 5 No 4 2O1 4 物 理教 师 PH Y SI CS T EA CH ER 第 3 5卷第 4期 2 01 4 生 平面极坐标 系在 高中 物理竞赛 中的应用 殷正徐 江苏省沐 阳高级 中学 江苏 沐阳 2 2 3 6 0 0 摘 要 利用极坐标 系是解决平面 内绕定点转动 问题 的 通法 本 文介 绍 了平 面极坐标 系及 物体在极 坐标 系 中 的描述 以竞赛 中常见的拉船模 型 天体运 动和平 面追 击问题 为例 介绍极坐标 系的具体应用 关键词 极坐标系 天体运 动 定轴转动 犬狼追 击 1 极坐 标 系简介 为 了描述 质点 平 面运 动 可 以在该 平 面 建立 极 坐 标 系 如 图 1 所 示 在参 考系上 取点 0 引有 刻度 的射线 O x 称 为极轴 即构成 极 坐 标 系 设 质 点 运动 至 A 点 引O A r O A称为质点 的矢 径 质 点位 置矢量与 极轴所 夹的角 称 为质点的幅角 通 常规定 自极轴逆 时针 转至位 置矢量 的 幅角为正 反之 为 负 r和 与 平面 上质 点 的位 置 一一 对 应 称 为质 点的极 坐标 在极坐标 系 中亦 可 对矢 量 进行 正 交分 解 质 点在 A 处 沿位 置矢量方 向称 为径 向 沿此 方 向所 引单位 矢量 叫 径 向单位矢量 记作 r 与此方 向垂直 指向 增加 的方向称 为横 向 沿 此方向的单位矢量叫横向单位矢量 记作 D D 图 1 图 2 2 质 点在极 坐标 系 中运动 的描述 1 质点的运动方程 r r f 一 2 质点的轨迹方程 r r 3 质 点 的 位 置 矢 量 r r r 如 图 2 质点在 时间发生一段 位移 A r 速度 的变化 量 为 移 4 质点的速度 一l i m A r 其 中径 向速度 一 一V C O S 横 向速 度 一r 一v s i n a 为矢径 方向到速 度方向的角度 5 质点的加速度 一l i m 一 其 中径 向加速度 n 一r r a c o 横 向加速度 一2 r a s i n fl J 9 为矢径方向到加速度方 向的角度 3 极坐标系在高中物理竞赛中的应用 3 1 绕定点转动 例 1 如图 3所示 拖 车 A 在水 平的河 岸上 通过定 滑 轮拖动河中的船 B 当拖车 A 的速度达到 7d 时 它 的加速 度 为 a n 此时 O B绳与水平方向的夹角为 0 B到0 的距离 一 94一 为 L 求 此时船 B的速度 及加速度 a 图 3 解析 如 图 4 所示 以 O点 为极 点 水平 向左方 向建立 极坐标系 O x 小船 B的运 动可看成两个分运 动的合成 一 是 B沿 绳方 向靠 近 0 点的分运 动 即径 向运动 另一个 是 垂直于 O B绳方 向的运 动 即横 向运动 B 的径 向运 动应与 拖车的运动有相同大小 的各个运动量 A 图 4 将 B的运动沿径 向和横向分解可知 一 c s 一 得 对加速 度 如 图 5所 示 B 沿绳 方 向的分运动 的加速度 a 一 一r j2 由两 部分 组成 其 中 r一 表 示 物 U 体沿径 向运动产生的加速度 等 于沿 绳方 向的加速度 a 而一r 表示 由 于矢 径 的转 动所 产 生 的加 速 度 与 2 A方 向相 同 得 一 7 一 图 5 B s i n 0 VAt a n O 一 一 十 一 由矢量运算法则可知 n 一 C Or I SU 一 CO SU COSU L 在求 本题加速度时有一种典 型 的错 误解 法 认 为船 B 沿绳 方 向的加 速 度就 是拖 车 A 的加 速 度 即 a 一n 得 第 3 5卷第 4 期 2 Ol 4年 物 理教师 PH Y SI CS T EA CH ER Vo 3 5 NO 4 2 Ol 4 一n c o s 0 错误原因就是死记拉船模型 中船速度应该沿 绳和沿绳垂直 的方 向分解的结论 而不清 楚这样 分解是 依 据极 坐标 系 并且想当然地认 为加速度 的分解应 该与速 度 相 同 于是犯 了上述错误 例 2 2 O 1 1年华 约 第 2题 如 图 6所 示 纸 面 内 两根 足 够 长 的 杆 AB C D 都穿 过 小 环 M 杆 AB两 端 固定 杆 C D 可以在纸 面一 内绕过 D 点并与纸面垂直 的固定轴转动 若杆 C D从 图示 位 置 开 始 按 照 图 中 箭头 所 示 的 方 向 以均 匀 角速 度转 动 则小 环 M 的 加 速 度 A 逐渐增加 C 先增加后减小 图 6 B 逐渐减小 D 先减小后增加 鬈 X AlB 以 D点 为极点 D 为极 轴建立平面极坐标 系 设 Dc r 一 与 D 所成角度为 则小环 Jl l M 的极角为 l I 2 3 根据矢量 的合成与分解法则得 一 whc o s p 4 t a n L一 SI N 其 中一 为矢径 r到速度 的角度 小环 M 的加速度 n分解 为径 向加速 度 a 和横 向加速 度 n 只需求 出两者中的任意一个就可 以求 出小环 M 的加 速度 由极坐标加速度公式 n 一 一 2 可 以看 出本题求解 a 一2 r 相对简单 由 4 式 得 一 里 5 由 3 式对时间求导得 0 由 3 5 6 式 得 6 z 卜 r 一 z 面o2h c o scF 一 篡 由加速度 的合成与分解得 n 2 0 h s i n a 9 c s 詈 由于 图中 变小 n变大 故正确答案是 A 选项 本题 的常见解 法是 先根 据运 动的合 成 与分解 求 出小 环 的速 然删 速度 公 式 一 一 A t求 解 虽说得出相同结果 却 过分 依赖数 学 缺 少必要 的物理 过程分析 不利于学生解题能力 的提升 这道题也可 以先求解 径向加速度 n 然 后进 行合 成 读 者 可 以试 试 3 2星体绕中心天体运动 例 3 已知行 星绕太 阳沿椭圆轨道运动 开普 勒第 一定 律 试证 明行星所受太 阳引力必定 与距 离平方成 反比 解析 行星绕太 阳作椭 圆运 动 时 在 极 坐标 系 中其 轨 迹方程 为 r 一再 P 1 其 中 p为半正焦 弦 e 为离心率 是两个 常量 由 1 式对时间 求导 得 带 一 2 一 j 行 星角 动量 L r i l l 为恒量 一 代人 2 式得 斗2 r m 再 次对 时间 f 求导 得 e 1 e l l L2 e c o s p 一 一 叩 一 极 坐标 系中径 向加速 度 n 为 L c Os L 0 r 一 一 7 2 F2 一 一 一 专 一 得 一 一1 3 一 一 r2 根据 牛顿第 二定 律 行星所受 的径 向力 即引力 为 F一 n 4 将 3 式代入 4 式得行星所受太阳的引力为 F 对 于固定的行星椭 圆轨 道 L和 均为 常量 故 引力 与距离 平方成反 比 讨论 引力 问题 选用 极坐 标系 时原 点选 在不 动 的引力 源上 运动物体受 的力均通过原 点 是 有心力 在 极坐标 中 只有径 向力 没有横 向力 另外 天体 在万 有引力作 用下 的 轨道是圆锥 曲线 用极 坐标 系表示 轨迹 形式 统一 简单 计 算比较容易 例 4 第 2 8届复赛题 如 图 8所示 哈雷 彗星绕太阳 s 沿椭 圆轨道逆时针方 向运动 其周期 T为 7 6 1 年 1 9 8 6年 它过近 日点 P 时与太 阳 S的距离 一0 5 9 0 A U A U 是天 文单位 它等于地球 与太 阳的平均距 离 经 过一段 时间 彗 星到达轨道上 的 P点 S P与 S P 0的夹角 一7 2 0 已知 l A U l 5 O 1 0 m 引 力 常 量 G一 6 6 7 1 0 1 N m2 k 太阳质量 似 一1 9 9 1 0 k g 试求 P到太 阳 S的 距离 r P及彗星过 P点 时速度的大小及方 向 用速度方 向与 S 的夹角表示 Vo1 3 5 NO 4 2 O1 4 物 理教 师 PH Y SI CS TE AC H ER 第 3 5 卷第 4期 2 O1 4年 Po 图 8 解析 取极 坐标 极点位于 太阳 S所 在 的焦 点处 由 S 引向近 日点的射线 S x为极轴 极角为 0 取逆时针为正 向 用 r 表 示彗星的椭圆轨道方程为 r一 1 一 1 其 中 为椭 圆偏心率 户是 过焦点的半正焦弦 若椭 圆的半 长轴为 根据解析 几何可 知 P一 1一 P 2 将 2 式代 入 1 式得 一 3 1 e c o s 以 T c表示地球绕 太阳运动 的周期 则 T E 一1 0 0年 以 表示地球到 太阳 的距离 认 为地球 绕 太 阳作 圆周运 动 则 r 一1 AU 根据开普勒第三定律 1 6 3 一 4 E TF 在近 日点 口 一0 由 3 式得 一 1一 一 F o 5 将 的数据代人 3 式即得 r P一 0 8 95 AU 6 可 以证 明 彗星绕太 阳作椭 圆运动 的机 械能 E一 一 ff r y l i n S 7 一 n 0 式 中 m为彗星的质量 以 r表示 彗星 在 P 点时速 度 的大 小 根据机械能守恒定律有 1 I n V p 2 一 一 G TiqTn S 可 得 r 一 号 一 丢 c 代 入有 关数据得 P一 4 3 9 1 0 1T I S 1 0 图 9 设 P点速度方 向与极轴 的夹 角为 彗 星在近 日点 的 速度为 如 图 9 根据角 动量 守恒 定律有 r p P s i n 一 0 p 一 r 0 1 1 根据 8 式 同理可得 9 6一 2 1 1 2 由 6 1 0 1 1 1 2 式并代人其他有关数据 可得 1 2 7 解决天体运动问题常用两个守恒 方程 即机械能 守恒 如 8式 和角动量 守恒 如 1 1式 两式 中均 含有 星 体运 动半径 如本题 中 r 极 坐标系方 程 中正好 包含 此半 径 故可以方便地表示两个守恒方程 而若 应用直 角坐标 系来 表示就很麻烦 了 3 3 平 面内的追击 问题 例 5 犬狼追击题 1只狼沿半 径 为 R的 圆形 岛边缘 以逆时针方 向匀速跑动 如图 1 O所示 狼过 A点时 1 只猎 犬 以相 同 的速率 从 O 点 出发追 击狼 若 追击 过 程 中 狼 犬 0点始终在 同一条 直线 上 则猎 犬是 沿 什么 轨迹 运 动 的 在何 处追上了狼 解析 如 图 l l 以 O A 方向建立极坐 标系 设 某一时刻 猎犬和狼的位置分别为 B和 c 猎犬到圆心 O点距离为 r 幅角为 设此 时猎犬 速度 为 与 O B方 向的夹角为 a 图 1 0 图 1 1 由猎犬与狼绕 点角速度相 同 得 n s i n a 一 一 由上 式 得 U0 r u s i na 1 一 1 上式 两边对 时间求 导 二 c o s a d a 2 d 一t U 0 X i z 猎犬 的径向速度为 一 V 0 C OS 3 一 L 3 由 2 3 式 解 得 一 7 90 4 一 R 又狼的角速度为 一 5 由 4 5 式得 d a d 积分得 a C 当 f 一0时 口 0 0 所 以 有 a 6 由 1 6 式得 r Rs i n 9 说 明 猎 犬 的 轨 迹 为 圆 周 其 圆 心 坐 标 为 R 詈 半 径 为 旦 2 当 一 R 即R R s i n 时猎犬追上狼 得 一 要 综 L 狼跑过 1 4圆后被猎犬追 上 猎犬追狼 问题足高 中物理竞赛 的一个经 典例题 该题 钉很多解法 但 有的解 法 比较 繁琐 高 中学生 易 理解 有 的解法看似简洁却 不够严 密 用极 坐标 解决 本题 思 路清 晰 过 程简洁 体现 出极坐 标系 在解 决平 面追击 类 问题 的 优势 例 6 如 图 l 2所 示 在 外 接 圆半 径 为 R 的 正 方 形 AB C D的 4个顶点分别站有 一个 人 这 4个人 同 时以相 同 的速率运动 此过程 中 从 A 点出发 者的速 度始终 指 向 从 B点 出发者 从 B点出发者的速度始终指向从 点 出发 者 从 点 f j 发者的速度 始终 指向从 D点 出发者 从 D点 出发者的速度始终指向从 A 点出发者 试求 4个人 的运 动 轨 迹 图 1 2 图 1 3 解析 如图 1 3所示 在某一时 刻 从 A B C D 4点 出 发的人分别运动到 A B D 点 根据对称性可知 四边 形 A B D 为正方形 以 O A 为极轴建立 坐标 系 则 A 点 的极坐标为 r 没从 A点 出发的运动 者运 动到 A 点 时 0 的速度为 矢径到速度 方向的角度为竿 径向速度为 0 n 横 向速 度 为 u 则 t a n 5 一 得 一 将 一 一 r 警 代 入 j二 式 并 化 简 得 一 一 d 对上式积分 得 r C c 其 中 C为积分 常数 将初始条件代人上式得 r Re 由上式可 以看 出 从 A 点出发的人的轨迹为一对 数螺 线 根据 对称性 其他 3个 人 的运 动轨迹 也 为 同样 的对 数 螺 线 例 5中物体是从极点 出发 例 6中物体是 最终到 达极 点 两个都 是平面 内追 击 问题 此 问题初 看起 来好 像无 法 下手 然 而利用极 坐标 系中径向速度 与横 向速 度的大 小关 系 不仅 可以十分方便 地解 决此 问题 而 且物 理 图像特 别 清晰 实际上 我们 可以将此问题 中的正方形推 广 到 F 边 形 的情况下 运动者的轨迹为 r Re 音 其 中 R 为正 边形的外接圆半径 4结语 上面 6道例题是物理竞赛 中的常 见题 型 题 L f 1 物体 的 共 同点都绕着某个 固定点运动 应用极 坐标 系是解决此 类 问题 的系 统 方 案 最 新 全 国 中 学 生 物 理 竞 赛 内 容 提 要 2 0 1 3年开始实行 已经 明确将极坐标纳入考 试范围 可见 其重要性和基础性 除 了增 加极 坐标 系之 外 内容 提要 还 增加 了初等 函数 的微分和 积分 这是非 常必要 的 没有 微积分 的相关数学基础就无法真正应用极坐标 系 参考文献 1 漆安慎 杜婵英 力学 M 北 京 高等教育出版社 9 9 9 2 程稼夫 中学 奥林 匹克竞赛物理教程 力学篇 M 合肥 中国 科学技术 大学出版社 2 0 1 2 3 舒幼生 物理 学难题 集萃 增 订本 M 北京 高 等教 育 出版 社 1 9 9 9 4 钟小平 高中物理竞赛解题方法 力学部分 M 杭州 浙 江大 学出版社 2 0 0 7 收 稿 日期 2 0 1 3 1 2 1 4 上接 第 7 O页 表 2 匀速直线运 动中的位移