2.3函数的连续性.doc

2.3函数的连续性2.3.1函数在处的连续性 教学重点函数连续的概念；教学难点 分析函数在某一点处的连续性 课时安排2课时教学过程新课导入连续性是自然界中各种物态连续变化的数学体现，这方面实例可以举出很多，如水的连续流动、身高的连续增长、气温的变化 、动植物的生长等等随着时间的变化而连续变化；几何学上，一笔画出的的曲线也是连续的。所有这些连续变化的现象的抽象就产生连续函数的概念。本节讨论连续函数的有关问题。可以先告诉大家，具有连续性的函数（或连续函数）的图形是一条不断裂的曲线（直线也看成是特殊的曲线） 函数的连续包括在一点连续和在区间连续两种情况。今天我们讲第一种情况函数在处的连续性。新课教学一. 函数在处的连续性定义下面我们来看几个图，并观察以下，它在处的连续情况：那么满足什么样的条件我们说函数连续呢？一般地，函数在点处连续必须满足下面三个条件：(1) 函数f(x)在点x=x0处有定义；(2) 函数点的极限存在；(3)则称在点处连续，点叫做函数的连续点。我们再来观察几个图，说出函数在x=a处是否连续：略二 。例题讲解例1 ，在处的图像是断裂的。无定义，也不存在。例2 在处的图像是连续的吗?答案是否定的。有定义， 因此不存在。例3 在处的图像是断裂的；有定义，并且例 4 ，在处的图像是连续的；有定义，并且三 . 课堂练习1. 证明函数在点处连续。证：因为（1）函数在处有定义： （2）所以函数在点处连续。2. 证明函数在x=0处连续。证（1）函数在处及左、右近旁有定义； （2） （3）所以函数在点处连续。3. 讨论函数在点处的连续性解：因为函数在点处没有定义，所以在点处不连续所以：函数在点左右连续，由定理1此函数在点处连续。 4. 设 ，分析点 处连续性。 解：（1）函数 在 处有定义。 ，所以 （3） 所以函数在点处连续。四 . 作业P30 习题 2-3 1、2、3在处的图像是连续的吗?答案是否定的。有定义， 因此不存在。（2）在处的图像是断裂的；有定义，如图2-6（）并且（3），在处的图像是连续的；有定义，如图2-7（）并且（4），在处的图像是断裂的。无定义，也不存在如图2-8（）小结一下，以上函数的图形分别属于下列四种情形：（1） 函数在处没有定义，函数在处不连续，如第4个函数；（2） 函数在处有定义，且的左、右极限存在，但两者不相等，即函数在处极限不存在，函数在处不连续，如第1个函数；（3） 函数在处有定义，且函数在处极限存在，但，函数在处不连续，如第2个函数；（4）函数在处有定义，并且在处存在，而且，函数在处连续，如第3个函数；由此引出函数在一点连续的定义：定义1 函数点处，如果满足（1） 函数点处及其左、右近旁有定义；（2） 函数点的极限存在；（3）则称在点处连续，点叫做函数的连续点。例1证明函数在点处连续证：因为（1）函数在处有定义： （2）所以函数在点处连续例2证明函数证（1）函数在处及左、右近旁有定义； （2） （3）所以函数在点处连续定理1函数在处连续的充分必要条件是：函数在处左右连续。例3 讨论函数在点的连续性解：所以：函数在点左右连续，由定理1此函数在点处连续。2函数在区间 内的连续性定义2 如果函数在区间内任意点都连续，则称在区间内连续，区间称为函数的连续区间。连续函数的图形是一