2013年高考数学试题精编：8.4轨迹方程.pdf

第八章 圆锥曲线方程 四 轨迹方程 第八章 圆锥曲线方程 四 轨迹方程 考点阐述 曲线与方程的概念 由已知条件列出曲线方程 考试要求 4 了解圆锥曲线的初步应用 5 了解解析几何的基本思想 了解坐标法 考题分类 一 填空题 共 1 题 1 上海卷理 3 文 8 动点P到点 2 0 F 的距离与它到直线 20 x 的距离相等 则P的 轨迹方程为 答案 y2 8x 命题立意 考查抛物线定义及标准方程 解析 定义知P的轨迹是以 2 0 F 为焦点的抛物线 p 2 所以其方程为 y2 8x 二 解答题 共 6 题 1 北京卷理 19 在平面直角坐标系 xOy 中 点 B 与点 A 1 1 关于原点 O 对称 P 是动 点 且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 1 3 求动点 P 的轨迹方程 设直线 AP 和 BP 分别与直线 x 3 交于点 M N 问 是否存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的 面积相等 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 说明理由 解 1 因点 B 与 1 1 关于原点对称 得 B 点坐标为 1 1 设 P 点坐标为 x y 则 11 11 APBP yy kk xx 由题意得 111 113 yy xx 化简得 22 34 1 xyx 即 P 点轨迹为 22 34 1 xyx 2 因 180APBMPN 可得sinsinAPBMPN 又 11 sin sin 22 APBMPN SPA PBAPB SPM PNMPN 若 APBMPN SS 则有 PA PBPM PN 即 PAPN PMPB 设 P 点坐标为 00 xy 则有 00 00 13 31 xx xx 解得 0 5 3 x 又因 22 00 34xy 解得 0 33 9 y 故存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等 此时 P 点坐标为 533 39 或 533 39 2 湖北卷理 19 文 20 已知一条曲线 C 在 y 轴右边 C 上没一点到点 F 1 0 的距离减去它 到 y 轴距离的差是 1 求曲线 C 的方程 是否存在正数m 对于过点M m 0 且与曲线C有连个交点A B的任一直线 都有FA FB uuu ruuu r 0 若存在 求出 m 的取值范围 若不存在 请说明理由 3 湖南卷理 19 为了考察冰川的融化状况 一支科考队在某冰川上相距 8km 的 A B 两点 各建一个考察基地 视冰川面为平面形 以过 A B 两点的直线为 x 轴 线段 AB 的垂直平 分线为 y 轴建立平面直角坐标系 图 6 在直线 2x 的右侧 考察范围为到点 B的距离 不超过 6 5 5 km 的区域 在直线 2x 的左侧 考察范围为到 A B 两点的距离之和不超过 4 5km 的区域 求考察区域边界曲线的方程 如图 6 所示 设线段 12 PP 23 P P 是冰川的部分边界线 不考虑其他边界 当冰川 融化时 边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动 第一年移动 0 2km 以后每年移动 的距离为前一年的 2 倍 求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间 解析 设边界曲线上点 P 的坐标为 x y 当 x 2 时 由题意知 22 36 4 5 xy 当 2PAPB5PA B4 5x 时 由 4知 点 在以焦点 长轴长为2a 22 2 5 42b 的椭圆上 此时短半轴长 因而其方程为 22 1 204 xy 故考察区域边界曲线 如图 的方程为 2222 12 3636 4 2 4 2 55 Cxyxxyx 和C 设过点 P1 P2 的直线为 l1 点 P2 P3 的直线为 l2 则直线 l1 l2 的方程分别为 314 6yxy 命题意图 本题以应用题为背景 考查考察考生数学建模能力 考查圆的方程 椭圆的定 义与方程 直线与圆锥曲线的位置关系 等比 数列求和 本题属难题 4 湖南卷文 19 为了考察冰川的融化状况 一支科考队在某冰川山上相距 8Km 的 A B 两 点各建一个考察基地 视冰川面为平面形 以 过 A B 两点的直线为 x 轴 线段 AB 的垂直平 分线为 y 轴建立平面直角坐标系 图 4 考 察范围到 A B 两点的距离之和不超过 10Km 的 区域 求考察区域边界曲线的方程 如图 4 所示 设线段 12 PP 是冰川的部分边界线 不考虑其他边界 当冰川融化时 边界 线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动 第一年移动 0 2km 以后每年移动的距离为前一 年的 2 倍 问 经过多长时间 点 A 恰好在冰川边界线上 5 四川卷理 20 已知定点 A 1 0 F 2 0 定直线 l x 1 2 不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 2 倍 设点 P 的轨迹为 E 过点 F 的直线交 E 于 B C 两 点 直线 AB AC 分别交 l 于点 M N 求 E 的方程 试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F 并说明理由 6 上海春卷 22 在平面上 给定非零向量b 对任意向量a 定义 b b ba aa 2 2 1 若 3 1 3 2 ba 求 a 2 若 1 2 b 证明 若位置向量a的终点在直线 0 CByAx 上 则