《随机过程》试题A卷.pdf

西 南 交 通 大 学 本科生考试试卷本科生考试试卷 A 课程名称 随 机 过 程 随 机 过 程 二零零二年二零零三年第一学期 考试日期 2003 1 6 班级 学号 姓名 成绩 一10 分设质点M在一直线上移动每单位时间移动一次且只能在整数点 上移动质点M的移动是随机的试建立描述这一随机现象的随机过程 二20 分试写出随机过程 sin ttAtX 的任意两个样本函数并画出其图形 1若A是上均匀分布的随机变量 1 1 均为常数 2若 服从 0 2 上的均匀分布A 为常数 三10 分试求随机过程的一维分布函数 cos RttAtX 一维概率 密度函数自相关函数与协方差函数其中A服从标准正态分布N 0 1 四20 分设在 0 t 时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是3 人 分的泊松过程试求 1在 5 分钟内有 7 位乘客到达售票处的概率 2第 3 位乘客在 3 分钟内到达售票处的概率 五10 分设 sin cos ttBtAtX 为常数为一 随 机 过程其中A与B是互不相关随机变量且 0 BEAE 2 BDAD试问此随机过程是否平稳过程为什么 六20 分设在每次试验中事件 A 发生的概率为 10 pp现将这项试 验独立地重复进行多次以 X n 表示到第 n 次为止事件 A 发生的次数 1试问 是何种随机过程 2 1 L nnX 1 2试写出 的一维概率分布 2 1 L nnX 七10 分一只老鼠放在迷宫内见下图每隔单位时间老鼠在迷宫中移动 一次随机地通过格子也就是说如果有R条通路供离开那么选取其中任 一条通路的概率为 R 1 试用马氏链描述老鼠的移动规律给出它的状态空间 和一步转移矩阵 1 2 3 4 6 5 7 8 9 2 参考解答参考解答 一10 分设质点 M 在一直线上移动每单位时间移动一次且只能在整数 点上移动质点 M 的移动是随机的试建立描述这一随机现象的随机过程 解答 设Y 为第n个单位时刻质点M 所在位置 而令随机变量 n 向左移动一个整数单位质点 向右移动一个整数单位质点 M M Xi 1 1 L 2 1 i 由于质点 M 的移动是随机的 故 2 1 1 1 XPXP 则在时刻 t n 时 质点所在的位置为M 1 n ni i YX 易知参数集为状态集为 因此 1 nnT 2 1 0 L E 1 n Y n 成为描述上述随机现象的随机过程 二试写出 1 若 A 是 1 1 上均匀分布 为常数 解答 sin X tAttR 的任意两个样本函数 1 Xt 2 X t 图 1 取 1 2 A 得随机过程的两个样 本函数图形如图 1 1 1 sin xt 2 2 1 sin 2 t x tt 见图 1 2 若 服为常 从 0 2 UA 数 解答 1 2 2 sin cos 2 sin sin X tAtAt XtAtAt 取 见图 2 2 2 图 2 3 cos X tAttR 是一常数三 试求随机过程的一维分布函数 一维概率 其中 A 服从标准正态分布 N 0 1 密度函数 自相关函数与自协方差函数 解答在一个给定时刻t0随机变量X t 为A的性函数 0 线而A服从标准正态分布 N 0 1 由概率论知 tX 0 服从正态分布 0 0 cos Nt 2 故一维率密度函数为概 一维分布函数为 自相关函数为 12 R X tX t 2 12 coscosE Att ttDAA 2 12 coscos E 因为 所以 自协方差函数 1 0 DAEA 12 coscostt 12121 2 XX C X tX tR X tX tmt mt 0 所以 Co 2 tX 2 因为 X tR mt v 1 tX 1 ttcoscos 四设在 0 t 时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是3 人 分的泊 松过程试求 1在 5 分钟内有 7 位乘客到达售票处的概率 2第 3 位乘在客3 分钟内到达售票处的概率 解答设 N t 为 0t内到达的乘客数 则 N t 1 3 t 77 3 515 35 5 7N 15 7 7 Pee 15 3 3 15 3 3 3 n k k n PP Ne k 表第 个乘客到达的时间 2 100 00 1 cos t0 cos 2 cos 2 x tt 11 expf x t 2 0 00 1 exp cos t0 cos 2 cos 2 x dx tt 10 11 x F x t 2 4 15 2 1515 12 15 151 eee 15 2 12 15 151 1e99996 0 5 1281 15 e 五设 sin cos ttBtAtX 为常数为一随机过 程 其中A与B是互不相关随机变量 且 0 BEAE 2 BDAD 试问此随机过程是否平稳过程为什么 解答1 cossinEX ttEAtEB 0 2 22222 222 sincos sin2tt 2 cossin2sincos EXtE AtBtABtt t EA EB 3 121122 22 1212 1212 2 21 cossin cossin coscossinsin sincoscossin cos EX t X tE AtBtAtBt E AttBtt ABtttt tt 故此随机过程是宽平稳过程 六设在每次试验中事件 A 发生的概率为 10 pp现将这项试验独立地 重复进行多次以 X n 表示到第 n 次为止事件 A 发生的次数 1试问 2 1 L nnX是何种随机过程 2试写出的一维概率分布 2 1 L nnX 解答令L 1 i A Y 发生 2 0 1 Ai i i 不发生次试验第 次试验第 由题意知它们是相互独 立的此时 X n 表示为 n i i YnX 1 L 2 1 n 4321 nnnn 1 因为增量 2 1 1 12 n ni i YnXnX 表示在第次与第次 之间事件 A 发生的次数 1 n 2 n 增量表示在第次与第次之 间事件 A 发生的次数 4 3 1 12 n ni i YnXnX 3 n 4 n 由于的独立性可知 1 iYi 1 2 X n n L 是独立增 5 量过程 2 又因为 X n 表示到第 n 次为止事件 A 发生的次数 易知 1 2 X n n L 亦是二阶矩过程因为 i的概率分布为 Y X 0 1 pi1 p p 其特征函数为 1 1 0 itititY Y peppepeeEt i i 于是 X n 的特征函数为 Yit nitX nX pEEeEt n i i 1 1 1 n k 0 由概率分布与特征函数的一一对应得的一维概率分布律为 nit n i itY e i pee knk n k k n itk ppCe 1 0 kitk n ppeC 1 kn 1 2 X n n L 1 0 1 2 kkn k n P X nkC ppkn L 七 一只老鼠放在迷宫内见下图每隔单位时间老鼠在迷宫中移动一次随 机地通过格子也就是说如果有R条通路供离开那么选取其中任一条通路 的概率为 R 1 试用马氏链描述老鼠的移动规律给出它的状态空间和一步转 移矩阵 解答记 X n 为第 n 时刻时老鼠所在的格子号数则 X n 为一随机变量其可 能取值为1 2 3 9 故其状态集为 E 1 2 3 4 5 6 7 8 9 参数集为 nnT 1因此 1 nnX为一个随机过程 又老在 鼠第k 1时刻的位置X k 1 的取值只与第k时刻的位置X k 的取值 有关而与 k