2002年4月浙江省自考初等数论试题答案.doc

浙江省2002年4月高等教育自学考试初等数论试题参考答案课程代码：10021一、填空题(每小题4分，共40分)1. 819 962. 53. 4. x14， 47， 80(mod99)5. x=17+67t, y=5+28t, tZ6. 4997. 298.(x)9. 0，1，3，4，5，910. -1二、计算题(第1小题7分，第2，3小题各8分，共23分)1.等价于因(15，16)=1，(15，50)(144)，（16，50）（1410）故方程组有解，且等价于列表计算如下 mi Ci Mi Mi CiMiMi 3 1 400 1 400 16 10 75 3 2250 25 14 48 12 8064得解x1114（mod1200）2.显然是整数，设此数为k，则x=， kZ于是 =k故 -k=0从而 0-3k+810解得k， 于是k=0，1，2， x=, , 33.方程x3-2x+120（mod3）有一解x0(mod3)故x=3t1, f(x)=x3-2x+12, f(x)=3x2-2f(0)=12, f(0)=-2解12-23t10(mod32)， 得t12(mod3)t1=2+3t2， x=6+32t2f(6)=216,f(6)=106，解216+10632t20(mod33)t20(mod3)，故t2=3t3，x=6+33t3再解216+10633t30(mod34)即8+t30(mod3)得t31(mod3),故t3=1+3t4， x=33+34t4原方程的解为x33(mod81)三、论证题(第1、2题各8分，第3题10分，第4题11分，共37分)1.若n不是素数，则可设n=ab,a1， b1则2n-1=(2a)b-1, 记2a=c, 则c42n-1=cb-1, =(c-1)(cb-1+cb-2+c+1)显然c-11，而后一式中有b-11，故cb-1+c+1c+11这就表明2n-1可分解为两个大于1的整数之积此与2n-1是素数矛盾，故n必是素数2.欧拉定理：若(a,m)=1,则证：设 x1,x2,x (1)是模m的一个简化剩余系，则 ax1,ax2,a (2)也是模m的简化剩余系因而(2)的每一个数，与且仅与(1)中的一数关于模m同余，故 ax1ax2ax1x2 (mod m)即 x1x2x1x2（mod m）但(xi,m)=1, i=1,2,故(x1x2,m)=1于是可从同余式两边除去x1x2，得3.改写为2Z=x2y+1-1 =(x-1)(x2y+x+1)由原方程知x1, 2x,故x3，上面第二个因式x2y+x+1共有2y+1项，每项都是奇数，因而是一个大于1的奇数，于是产生了大于1的奇数整除2Z的矛盾，故方程无正整数解。4.已知20022002(211)2002=21311154(104)1694 =106774故20022002至多有6774位数字，于是f(20022002)96774=60984进而f(f(20022002)5+94=41f(f(f(20022002)3+9=12另一方面，由Euler定理得200220024200246333+4444(mod 9)而f(a)a(mod 9)，故f(f(f(20022002)f(f(20022002)f(20022002)20022002