拉格朗日形式与物理学.pdf

收稿日期 1999 09 06 作者 女 1975 年生 硕士研究生 拉格朗日形式与物理学 吴志梅 南昌大学物理学系 南昌 330047 摘 要 物理学中的拉格朗日形式是一种数学形式化语言 它成功地表达了许多重要领域的物理 理论 例如 力学 经典场论 量子场论 规范场论等 它不仅能精确表达理论 而且揭示了物理定 律与空间 时间属性之间的关系 很可能也是统一场论和处理束缚体系的表达方式 关键词 拉格朗日形式 物理理论 空间 时间 对称性 守恒律 分类号 O411 引 言 象其它科学理论一样 物理理论包括由多种概念 原理 推论所联系起来的逻辑结构及用 来描述物理对象的有效方法 由基本概念 基本原理 科学推论所组成的逻辑结构是具有原理 演绎式的结构 如果采用的是数学化的演绎 则逻辑结构更理想 更纯粹 物理理论正是如此 物理学不仅用数学方法处理实验数据 而且更多的是用于探索新的规律 建立起用数学形式化 语言表达的理论 因此 物理学具有高度精确性 有效性和预见性 成为了现代科学的基础 最小作用量原理是现代物理理论的一个重要源头 从最小作用量原理出发 采用拉格朗 日形式 可以将力学 经典场论 量子场论 规范场论贯穿起来 并伸向物理学的未来 拉格朗 日形式是一种数学化形式 它包罗并表达了如此丰富的物理内容是很值得人们深思的 本文 探讨并力图展现拉格朗日形式在物理学中的主动脉作用 概述它包含的丰富信息和它的新发 展 1 哈密顿原理和最小作用量 力学体系都具有确定的动能 动能是体系中质点的速度和位置坐标的函数 此外 如果体 系是保守系 则它还有势能 势能是质点的位置坐标的函数 设体系的动能为 T 势能为 V 定义 L T V 1 L 也是体系中质点的速度和位置坐标的函数 哈密顿于 1824 年提出如下原理 体系在任何两 时刻 t0和 t1之间所发生的运动是使积分 t1 t0L dt 2 的数值比这体系在时间 t0和 t1内作任何别的可能运动的积分数值都要小 或者都要大 由于 第 23 卷第 4 期 1999年 12 月 南昌大学学报 理科版 Journal of Nanchang University Natural Science Vol 23 No 4 Dec 1999 对所有可能的运动 初态和终态分别都是相同的 因此 换句话说 这个积分对于实际的运动有 一驻定值 这个原理也叫做最小值原理 应用时只用到驻定性 被积函数 L 称为拉格朗日函数 或动势 积分称为作用量 在变分学中 驻定条件由变分等于零来表达 即 t1 t0L dt 0 3 具体施以变分之后就可以得到体系的运动方程 关于哈密顿原理 也可以如下陈述 动能的时间平均和势能的时间平均的差有一驻定值 也就是说 对于实际的运动 比起对于同一时间同样两状态间的其它可能的运动来 真实运动 的平均动能或者更接近于平均势能 或者差得更大 物理上出现的情况通常是平均动能更接近 于平均势能 2 广义坐标和拉格朗日方法 哈密顿原理为力学提供了理论基础 但力学都是采用规定质点位置的通常的空间坐标来 讨论问题 这就大大妨碍了人们在处理一般物理问题时推广力学的方法 因为大多数物理现 象 例如光 声 电 基本粒子等现象不能直接观察到质点的运动 在这些物理现象中 我们尚未 明了的质点运动实际上支配着体系的物理状态 而物理状态是由某些可以测量的参数来表征 的 知道了参数随时间的变化关系就知道了体系每一时刻的状态 不妨把表征物理体系的参数 叫做广义坐标 并沿用力学的方法来描述体系 若 n 个广义坐标能确定体系在某一时刻的状 态 我们就说这体系有 n 个自由度 并以 q1 q2 qn表示之 当然 这些 q 中的任何一个都是 由该体系中的质点的运动决定的 反过来说 质点位置的空间坐标也应该可以由 q 来表达 对 于第 j 个质点可以写成 x j i xji q1 q2 qn x1 x x2 y x3 z i 1 2 3 4 于是 这个体系的动能可以表为 T q q 势能表为 V q 拉格朗日函数表为 L q q T q q V q 对 L 施以变分可以得到 n 个方程式 d dt L q j L qj 0 5 其中j 1 2 n 这是关于这个物理体系的拉格朗日方程 亦即由广义坐标 q1 q2 qn表 达的体系的运动方程 3 经典场论的拉格朗日形式 上述关于力学的拉格朗日方法只适用于宏观 低速的物理现象 对于高速运动体系还必须 考虑由相对论引起的修正 对于微观粒子还要考虑量子效应 经典场 如电磁场 是高速运动 的物理体系 有关经典场的理论形式应该满足相对论的严格的不变性的要求 设场物理量是 x 1 2 n 其中 x 是 x1 x2 x3 x4 的简写 x1 x2 x3代表空间坐标 x4代表 时间坐标 c 表示光速 n 代表在每一时空点上场物理量的数目 场是连续体系 我们应当认 定拉格朗日函数 L 是由拉格朗日函数密度 L的坐标空间积分所组成 假定拉格朗日函数密度 385 第 4 期吴志梅 拉格朗日形式与物理学 是 x 和 x 的函数 即 L L x 1 2 3 4 则作用量为 I L d4x 6 其中 d4x dx1dx2dx3dt 对 I 施以变分即可得到场的运动方程 L x L x 0 7 1 2 n 共 n 个方程 方程中重复指标 表示对 要从 1到 4 求和 电磁场的达朗伯方 程就是这种形式 4 拉格朗日函数中包含的物理信息 物理体系的运动为什么会遵守一定的定律 动量守恒 能量守恒等守恒定律是怎么造成 的 现代理论物理研究令人信服地证明了 物理定律是由物理体系所赖以存在的空间 时间属 性所决定的 物理规律常常具有一定的对称性 这种对称性在数学形式上表现为运动方程对于 一定的数学变换具有不变性 而其根源乃是拉格朗日函数对于一定的数学变换具有不变性 一 种不变性必存在着一种守恒定律 例如 拉格朗日函数的规范不变性导致电荷守恒定律 拉格 朗日函数对于空时坐标移动的不变性导致动量定恒和能量守恒定律 对于空间转动的不变性 导致角动量守恒定律 对于空间坐标反射具有不变性导致宇称守恒定律等等 这说明 空间和 时间的均匀性导致动量守恒和能量守恒 空间的各向同性导致角动量守恒 空间的反射对称性 导致宇称守恒 等等 由此可见 拉格朗日形式揭示了空间 时间的属性与物理运动的规律之 间所存在的密切联系 其意义极深刻 其内容极丰富 5 规范场论和弱电与强相互作用的统一 自然界存在着四种相互作用 电磁作用 弱作用 强作用 万有引力 已有相应的理论对这 四种相互作用进行描述 并构成了物理学的各个分支 但是从爱因斯坦起 物理学家们一直在 想着如何把这四种相互作用统一地处理 至今 人们在多方面做了巨大的努力 并取得了辉煌 的成就 基本粒子的理论研究为此提供了可能 基本粒子通常被分为四类 轻子 重子 介子和光 子 这四类粒子其实质都是场 因而可用拉格朗日方法处理 粒子场论中最成功的都属规范场 这是因为 基本粒子实际上还有另一种更深层次的分类法 即分成三类粒子 实粒子 规范粒子 和Higgs 粒子 实粒子包括轻子和夸克 是基本的费米子 重子和介子是由夸克组成的复合粒 子 规范粒子是传递相互作用的矢量粒子 这包括光子 中间玻色子和胶子 还可能包括导致质 子衰变的 X Y 粒子 Higgs粒子是以物理学家Higgs命名的一种性质奇异的粒子 它起着使其 它粒子获得质量的作用 而Higgs 粒子本身的质量可以是虚的也可以是实的 当在内部空间反 射变换下拉格朗日密度是对称的 真空是破缺的时 Higgs粒子的质量是虚的 当在内部人间反 射变换下真空是对称的 拉格朗日密度是破缺的时 Higgs 粒子的质量是实的 Higgs 粒子质量 的这种两面性以及它的某些特性是颇为令人费解的 但当人们把规范场和 Higgs 场一起考虑 时就会出现奇妙的性质 从而突破规范场论中的一大难关 使理论得以继续发展 实粒子 规范 386 南昌大学学报 理科版 1999 年 粒子大都已在实验中观察到 Higgs 粒子尚未发现 但理论上的确不可少 在拉格朗日形式的规范场论框架下 电磁相互作用由拉格朗日形式的电磁场论描述 它是 一种完好的群规范场论 1979 年格拉肖 温伯格和萨拉姆共同建立了统一描述弱作用与电弱 作用的理论 即 SU 2 U 1 群规范场论 这一理论获得了诺贝尔物理学奖 描述强相互作 用的理论称为 量子色动力学 是一种 SUc 3 群规范场论 所以 我们很自然地把 S Uc 3 S U 2 U 1 群作为标准模型并以此为基础建立弱电与强相互作用的统一理论 值得注意 的是 正如上述各种群所表明的 对称理论是基本粒子理论的不可或缺的重要内容 而对称性 正是规范场论中的拉格朗日泛函所具有的 这就是为什么拉格朗日形式自始至终贯穿着粒子 场论 并正在统一场论中发挥着作用 6 结 语 如上所述 在物理学的许多重要领域 拉格朗日形式是理论的一种基本表达方式 随着物 理学研究的深入 物理理论用来描述物理对象的方式 手段也更成熟 更科学 更数学化 拉格 朗日形式的发展就是一个例证 拉格朗日形式已不仅用于表述自由物理体系 而且已开始用于 表述受缚的物理系统 在处理束缚系统时作用量被推广为广义作用量 变分被推广为广义变 分 束缚系统被转化为自由系统 这种推广的拉格朗日形式已经成功地描述了力学和场论中的 若干束缚系统 令人信服地解释了此前无法解释的一些实验结果 修正了一些运动方程 可以 预料 推广的拉格朗日形式将成为物理学的广泛适用的方法结构 参考文献 1 R B 林赛 H 马根脑 物理学的基础 许良英译 上海 上海商务印书馆 1964 155 190 2 朱洪元 量子场论 北京 科学出版社 1965 11 25 3 李政道 场论与粒子物理 北京 科学出版社 1980 112 119 4 胡瑶光 规范场论 上海 华东师范大学出版社 1984 14 32 373 405 5 李子平 约束系统的变换性质 物理学报 1981 30 12 1 659 1 671 6 Liu Xinya Some Properties of Electromagnetic Waves near the Interface of Dielectric Media J Phys A Math Gen 1991 24 7 L323 L327 LAGRANGE FORMALISM AND PHYSICS Wu Zhimei Department of Physics Nanchang University Nanchang 330047 Abstract The Lagrange formalism in physics is a formalization language of methematics which successfully express the theoriesof the principal branches in physics for example dynamics classi cal field theory quantum field theory and guage field theory and reveals the relations between the physical laws and the properties o