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考试时间：2005年6月11日(星期六) 上午9：0011：30华侨大学2005年高等数学竞赛试题(A卷)标准答案及评分标准 各题的第N步得分题分得分百分比一、填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1、，； 2、 ； 3、 ；4、 ； 5、； 6、； 7、 ； 8、；9、.二、(本题满分7分) 解：（法一）由交换积分顺序得 (50%) (80%) (100%)（法二） (30%) = (80%) (100%) 三、(本题满分12分) 解： （1），故当时，在连续. （25%）（2）当时， （40%）,.（75%）（3）由于，故在处连续. .（100%） 四、(本题满分10分) 解： ； （40%）由， ；又由， ，解得 ， （80%）故 . （100%）五、(本题满分10分) 解：补平面，方向向下，记，和所围成的立体为.则由高斯公式和三重积分的奇偶性有 (20%) (40%) (70%) (100%)六、(本题满分9分)解： 从而收敛域为 ； （33%）设，则，所以所求的和函数为 （90%）令，则 . （100%）七、(本题满分8分) 解:（法一）令，则化原式为 （25%） .（37.5%） .（62.5%）又为偶函数，故所求极限为 .（75%） .（100%）（法二）考虑左右极限八、(本题满分8分) 证明：（法一）令，显然，由在有界闭区间上连续且满足知：且, （37.5%） 故， .（62.5%）显然在有界闭区间上连续，故在上恒为零或变号，因此至少有一个零点，记为，那么由及，只需对分别在区间及上应用罗尔定理，即得所证. （100%）（法二）由在有界闭区间上连续且满足知在上恒为零或变号，因此至少有一个零点，记为，若在上只有一个零点，则不妨假定在上恒负，在上恒正 .（50%）令，则在上恒成立且只有当时，故， .（75%）
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