随机信号习题及答案.pdf

101 第一章 1 二进制无记忆不对称信道 如图所示 传输 0 1 分别以 A0和 A1代表发送 0 和 1 以 B0和 B1代表接收 0 和 1 码 两个正确的转移概率分别为 6 5 00 ABP 4 3 11 ABP 两个错误的转移概率分别为 6 1 01 ABP 4 1 10 ABP 且先验概率相等 即 2 1 10 APAP 求 B端接收到0码及1码的概率 0 BP及 1 BP 当分别收到 0和1码后 判断原来发送的是什么码的概率 即求 01 BAP 11 BAP 00 BAP 和 10 BAP 2 随机变量X的分布律为 7 01 02 0 210 P X 求 X的分布函数 xF 5 0 XP 5 11 11 10 00 2 x xkx x xFX 求 系数k X落在区间 0 3 0 7 内的概率 随机变量X的概率密度函数 4 设二维随机变量 X Y 的概率密度为 其它0 0 0 21 21 21 21 xxe xxf xx XX 新的二维随机变量 21 YY是 21 XX的函数 满足关系 2 21 1 XX Y 2 21 2 XX Y 求 二维随机变量 21 YY的联合概率密度 21 21 yyf YY 边缘密度 1 1 yfY和 2 2 yfY 说明 1 Y与 2 Y是否相互独立 9 已知随机变量X服从 0 1 的均匀分布 随机变量Y服从 X 1 的均匀分布 求 条件数学期望 xXYE 条件数学期望 XYE 10 已知随机变量 cosX和 sinY 式中 是在 2 0 上均匀分布的随机变量 讨论X 和Y的相关性及独立性 11 已知随机变量X的均值3 X m 方差2 2 X 且另一随机变量226 XY 讨论X和 Y的相关性和正交性 12 设随机变量Y和X之间为线性关系baXY a b为常数 且0 a 已知随机变量X 为正态分布 即 2 exp 2 1 2 2 X X X X mx xf 求 随机变量的概率密度 第二章 随机过程 一 填空题 1 一个严平稳过程只要均方值有界 则它必定是 反之则 一个广义平稳的 正态过程必定是 2 广义遍历的信号 是 不是 不一定是 广义平稳随机信号 反之 广义平稳的随机信号 是 不是 不一定是 广义遍历的随机信号 3 任意维的概率密度函数为高斯分布的噪声称为 而如果一个随机过程的功率谱密度是 常数 则称它为 4 若对应任意两个时刻 t1 t2 均有 2121 tmtmtYtXE YX 则随机过程 tX与 tY 不相关 独立 正交 若联合平稳过程 tX和 tY的互相关函数 0 21 ttRXY 则 tX与 tY 不相关 独立 正交 若 2121 tyftxfttyxf YXXY 则 tX与 103 tY 5 已知平稳过程 tX的自相关函数为 51 1 16 X R 则其均值为 方差 为 6 若一高斯过程是宽平稳的 则必定是 若一个高斯过程不同时刻状态间是互不相关 的 则必定是 的 独立 不独立 不一定 7 若线性系统输入为高斯过程 则该系统输出仍为 二 简答题 1 请给出随机过程为宽平稳随机过程满足的条件 2 若平稳随机过程是信号电压 试说明其数字期望 均方值 方差的物理意义 3 给出平稳过程的自相关函数的性质 4 写出随机过程的两个定义 5 随机过程有那两个变化特性 如何理解其随机性 6 叙述 狭义平稳 的定义 如何理解这个定义在实际应用中的困难 7 a 随机过程的遍历性与平稳性的关系是什么 b 简述 狭义遍历 与 宽遍历 的关系 三 计算题 1 设随机振幅信号为 0 sinX tVt 其中 0 为常数 V是标准正态随机变量 求该随机信号的均值 方差 相关函数和协方差函数 2 设随机过程 cos sin X tAtBtt 其中A B为两个互不相关的随机变量 且 1E A 2E B 2 3E A 2 4D B 求过程 X t的均值 相关函数 3 设随机过程 Y t和常数a 试以 Y t的自相关函数表示出另一随机过程 X tY taY t 的自 相关函数 4 设随机过程 0 cosX tAt 0 sinY tBt 而其中A B为相互独立的随机过程 且它们均值 为零 方差皆为 2 证明 Z tX tY t 是宽平稳的随机过程 5 设随机过程 0 cos Y tat 其中a 0 为常数 随机相位 均匀分布于 0 2 上 求过程 Y t 的均值 方差 自相关函数及协方差 6 设随机过程 0 cos X tat 其中a 0 为常数 随机相位 均匀分布于 0 2 上 判断 X t 是否为平稳随机过程 给出理由 7 设随机过程 Z tX tY 其中 X t是一平稳过程 Y是与 X t无关的随机变量 试讨论过程 Z t 的遍历性 8 如果随机过程 ttVtX 4cos 式中V是随机变量 其均值为 1 方差为 3 求 随机过 程 tX的均值 方差 相关函数和协方差函数 104 9 若两个随机过程 ttAtXcos 和 ttBtYsin 都是非平稳过程 其中 tA和 tB为相互独立 且 各自平稳的随机过程 它们的均值为 0 自相关函数 RRR BA 试证这两个过程之和 tYtXtZ 是宽平稳的 10 设随机信号 twAtX 0 cos 式中A和 为统计独立的随机变量 且 在 2 0上均匀分 布 试问该信号是否具有平稳性 证明之 第三章 平稳随机过程的谱分析 一 简答题 1 给出平稳过程的功率谱密度的性质 2 简述功率谱密度与自相关函数的关系 写出相互转换的数学关系表达式 3 简述互功率谱密度与互相关函数的关系 写出相互转换的数学关系表达式 4 简述功率谱密度的采样定理 5 什么是理想白噪声 6 什么是带限白噪声 7 色噪声的定义 二 计算题 1 平稳过程 X t 的双边功率谱密度为 16 32 2 X S 求 1 该过程的平均功率 在 1 欧负载上 2 取值范围为 4 4 的平均功率 2 设平稳过程 X t 的功率谱密度为 1 8 8 0 X S 其他 求该过程的均方值 3 在下列函数中 试确定哪些函数是功率谱密度 哪些不是 并说明原因 2 6222 2 cos31 1 2 3 4 33112 1 3 4 设 A 和 B 为随机变量 我们构成随机过程tBtAtX 00 sincos 式中 0 为一常数 1 证明 若 A 和 B 具有零均值及相同的方差 2 且不相关 则 X t 为 宽 平稳过程 2 求 X t 的自相 关函数 3 求该过程的功率谱密度 5 已知平稳过程 X t 的自相关函数如下 0 1 cos X Re 2 3 2 2 X Rbe 分别求过程 X t 的功率谱密度 6 已 知 平 稳 过 程X t 的 自 相 关 函 数 如 下 1 4coscos3 X Re 24 2 168 X Ree 分别求过程 X t 的功率谱密度 7 已知平稳过程的自相关函数 32 54cos 2 x Re 求其功率谱密度 105 8 若系统的输入 X t 为平稳随机过程 系统的输出为 Y t X t X t T 试着证过程 Y t 的功率谱密度 为 2 1cos YX SST 9 设随机过程 0 sinY taX tt 其中 0 a 皆为常数 X t为具有功率谱密度 X S 的平稳过程 求过程 Y t的功率谱密度 10 平稳随机过程 X t和 Y t的互功率谱密度函数为 10 45 XY S j 求对应的互功率谱密度函数 YX S 第四章 4 1 设确定性随机信号为 tBMtX20cos其中 M B 是随机变量 将 tX输入到单位冲 激响应为 tUeth t10 10 的系统的输入端 求系统输出随机信号的表达式 4 2 已知系统的单位冲激响应 tUeth t3 5 设其输入随机信号为 a 4 5 设输入随机信号 20cos tBMtX 式中M是均值为 5 方差为 64 的高斯随机变量 B是 均方值为 32 的瑞利随机变量 是 2 0上均匀分布的随机变量 这三个随机变量相互独立 若系统的 单位冲激响应 tUetth t10 10 试求其输出的均值和均方值 4 6 设线性系统的单位冲激响应 tUeth t 3 3 其输入是自相关函数 4 2 eRX的随机信号 试求 输出自相关函数 Y R 互相关函数 XY R和 YX R分别在0 5 0 1 时的值 延迟 T X t Y t X t X t T X t T 第 7 题的图 106 4 7 设有限时间积分器的单位冲激响应 5 0 tUtUth 它的输入是功率谱密度为HzV 10 2 的 白噪声 试求系统输出的均值 均方值 方差和输入输出互相关函数 4 8 若输入平稳随机信号的自相关函数为 2 16 eRX 重做题 4 6 4 9 电路如图 1 所示 输入白噪声的功率谱密度为 2 0 N 试求输出的功率谱密度和自相关函数 tX tY L R 图 1 4 10 若电路图如图 2 所示 重做题 4 11 tX tYR C 图 2 4 11 如图所示的低通 RC 电路 已知输入信号 tX是宽平稳的双侧信号 其均值为 X m 求输出均值 tX tY R C 4 12 若上例中 tX是自相关函数为 2 0 N 的白噪声 求 1 输出的自相关函数 2 输出的平均功率 3 输入与输出间的互相关函数 XY R和 YX R 4 13 在 4 12 中 假设 tX的自相关函数为 e N RX 4 0 式中b 求输出的自相关函数 第五章 一 填空 1 希尔伯特变换是一种 因此把它作为一个 来处理 2 一个随机信号的功率谱密度 只要分布在高频载波 0 附近的一个窄带范围 内 在此范围以外为零 即满足 0 则称之为 其数学表达式为 107 3 窄带随机过程的莱斯 Rice 表示式 4 ta tb的性质 5 窄带随机过程表示为准正弦振荡形式 其中 0 是窄带随机过程 的 6 窄带高斯随机过程的包络和相位的一维概率密度分别为 和 且二者在同一时刻是 随机变量 但不是两个统计独立的 二 计算 1 求 0 cosx tAt 的希尔伯特变换 2 求窄带信号 0 cos x tA ttt 的希尔伯特变换 3 设低频信号 a t的频谱为 2 0 A A 时有 00 00 cos sin sin cos H a tta tt H a tta tt 4 利用 Hilbert 变换的性质求 X t 0 cos at 0 sin bt 所对应的 Y t H X t 其中 a b 为常数 5 对于零均值 2 方差的窄带平稳高斯过程 000 cos sin cos X ta ttb ttA ttt 求证 包络 A t在任意时刻所给出的随机变量 t A的均值和方差分别为 2 2 2 2 t tA E A 6 对于窄带平稳随机过程 00 cos sinX ta ttb tt 若其均值为零 功率谱为 00 00 cos 2 cos 2 0 x P SP 其他 式中 0 P 以及都是实常数 试求 1 X t的平均功率 2 a t的功率谱密度 3 互相关函数 ab R 或互谱密度 ab S 4 a t与 b t是否正交或不相关 第一章 答案 1 解 利用全概率公式 24 13 4 1 2 1 6 5 2 1 1010000 ABPAPABPAPBP 24 11 6 1 2 1 4 3 2 1 0101111 ABPAPABPAPBP 利用后验概率公式 108 13 10 24 13 6 5 2 1 0 000 00 BP ABPAP BAP 13 3 13 10 1 24 13 4 1 2 1 0 101 01 BP ABPAP BAP 11 9 24 11 4 3 2 1 1 111 11 BP ABPAP BAP 11 2 24 11 6 1 2 1 1 010 10 BP ABPAP BAP 2 解 由概率的有限可加性得 X 的分布函数为 当 X 0 时 00 XPxXPxF 当10 X时 2 001 XPXPxXPxF 当21 X时 3 0102 XPXPXPxXPxF 当2 X时 1210 XPXPXPxXPxF 归纳为 2 1 21 3 0 10 2 0 0 0 x x x x xXPxF 由分布函数可知 2 0 5 0 5 0 FXP 03 03 0 1 5 1 5 11 FFXP 1 03 03 01 1 5 1 5 11 XPFFXP 随机变量 Y 的分布律为 7 01 02 0 741 P Y 109 同理可得 Y 的分布函数为 7 1 74 3 0 41 2 0 1 0 y y y y yYPyF 3 解 由随机变量 X 的分布函数可知 X 为连续型随机变量 取值范围是实轴上 0 1 一段区间 由题 意和概率的规范性可知 取 x 1 1110 2 kXP 则 k 1 4 0 3 0 7 0 7 03 0 FFXP 概率密度函数为 x xx xf 其它0 102 4 解 分布函数 其它 其它 0 0 0 1 1 0 0 0 00 yxee yxdudvvuf dudvvufyxF yx yx yx XY X Y 落在三角形区域内的概率 2642 021 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 edyee dxdyeedydxee dxdyedxdyyxfGyxP y yy y xy y yx G 5 解 已知联合分布函数 yxFXY的表达式 则边缘分布函数 其它其它 0 0 1 0 0 1 1 xexee xFxF xx XYX 同理 其它0 0 1 xe yFxF y XYY 边缘概率密度 其它 其它 0 0 0 0 0 xe xdye dyyxfxf x yx XYX 同理 其它0 0 ye dxyxfyf y XYY 6 解 条件分布函数 110 yxFX 其它 其它 0 01 0 0 0 xe x e dxe yf dxyxf x y x yx Y x XY 同理 xyFY 其它0 01ye y 条件概率密度 yxfX 其它 其它 0 0 0 0 xe x e e yf yxf x y yx Y XY 同理 xyfY 其它0 0ye y 7 解 随机变量 X 和 Y 之间的反函数关系为 YYhX 其反函数导数的绝对值为 ydy dx yhyh 2 1 21 当 y 0 时 yX 2 为不可能事件 所以 0 2 yXP 得0 yFY 因此当 y0 时 反函数为YYhX 是双值变换 已知变量 X 服从标准高斯分布 则 22 2 2 2211 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 yy yy XXY e y e y ee y yhfyhyhfyhyf 综合 可得 00 0 2 2 2 y ye y yf y Y 8 解 由函数关系 可以找出唯一的反函数 212122 212111 yyyyhx yyyyhx 111 则其雅可比行列式为 其它0 02 2 21 2 2121 21221121 1 yye yyyyf yyhyyhfJyyf y X xY 其边缘分布为 0 42 1 2 12 2 2211 1 1 1 1 1 1 yeyydeydyyfyf y y y y y y YY 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 0 2 0 2 ye yeyde yeyde yf y y y y y y y Y 由于 2121 2121 yfyfyyf YYYY 所以 1 Y与 2 Y不是相互独立的 9 解 根据已知条件 在给定条件 xX 下 随机变量 Y 的概率密度的表达式为 其它 0 1 1 1 yx x xXyfY 条件数学期望 1 2 1 1 x Y x dy x y dyxyyfxXYE 由上可以看出条件数学期望 xXYE 是关于给定值 x 的函数 用随机变量 X 替换给定值 x 则数学期望 2 1 X XYE 是随机变量 X 的函数 也是个随机变量 因 为随机变量 X 服从 0 1 的均匀分布 函数 1 X 服从 1 2 的均匀分布 则其函数 2 1X 也服从 1 2 1 的均匀分布 即 XYE服从 1 2 1 的均匀分布 10 解 因为 是在 2 0 上均匀分布的随机变量 其概率密度为 其它 0 20 2 1 f 即 0cos 2 1 cosE X 2 0 ddf 0sin 2 1 sE Y 2 0 ddfin 0 2 sin 2 1 sin cosE XY EE 0E XY m Ym E XC YXXY 即相关系数0 XY 表明 X 和 Y 互不相关的 112 由于随机变量 X 和 Y 存在1 22 YX 非线性相关 Y 的取值依赖于 X 的取值 所以随机变量 X 和 Y 之间相互不独立 11 解 由题意可知 X 的均值3 X m 所以 Y 的均值为 422 6 226 XEXEmY X 和 Y 的互相关为 022 6 22 6 226 22 22 XXX XY mm XEXEXXEXYER 可见 X 和 Y 是正交的 由于2 2 X且72 186 222 XEmYE YY 所以相关系数为 1 144 12 22 YX yXXY XY mmR 这说明 X 和 Y 又是线性相关 12 解 先找出随机变量 X 和 Y 之间的反函数关系 a bY YhX 并求 a yh 1 则 22 2 2 exp 2 11 X X X XXY a bamy aaa by fyhyhfyf 上式说明 正态分布的随机变量 X 的线性函数 Y 也是正态分布的随机变量 Y 的均值为bamX 方差 为 22 X a 第二章 答案 一 填空 1 广义平稳 不一定成立 严平稳 2 是 不一定是 3 高斯噪声 白噪声 4 不相关 正交 独立 5 4 16 严平稳 独立 7 高斯过程 二 简答题 1 随机过程 tX的数学期望为一常数 其相关函数只与时间间隔 12 tt 有关 且它的均方值有限 即满足 tXE RtXtXEttR mtXE XX X 2 2121 2 均值其物理意义是 电压的瞬时统计平均值 随机过程 tX的所有样本函数在各个时刻摆动的中心 113 均方值其物理意义是 消耗在单位电阻上的瞬时功率的统计平均值 方差其物理意义是 消耗在单位电阻上的瞬时交流功率的统计平均值 3 00 22 XX tXER XX RR XX KK XX RR 0 XXX KK 2 0 对于周期平稳过程 TtXtX T为过程的周期 有 TRR XX 若平稳过程 tX含有一个周期分量 则 X R也含有一个同周期的周期分量 若平稳过程中不含有任何周期分量 则有 2 lim XXX mRR 0lim XX KK 若平稳过程含有平均分量 均值 X m 则有 2 XXX mKR 又若该过程中不含任何周期分 量 则有 XXX RR0 2 平稳过程的自相关函数必须满足 0 d eR jw X 4 定义 1 设随机试验E的样本空间 S 若对于每个元素S 总有一个确知的时间函数 TttX 与它相对应 这样 对于所有的S 就可得到一族时间t的函数 称它为随机过程 族 中的每一个函数称为该过程的样本函数 定义 2 若对于每个特定的时间 2 1 iti i tX都是随机变量 则称 tX为随机过程 5 随时间的变化与状态的随机性 每个固定时刻为满足一定分布特性的随机变量 6 答 狭义平稳 是用随机过程的任意n阶分布特性来定义的 在实际中要验证一个随机过程是 狭义 平稳 几乎是不可能的 7 a 具有遍历性的随机过程一定是平稳的 b 所谓具有 狭义 遍历性的随机过程 是要求其 各种时间平均 以概率 1 收敛于对应 状态平均 这实际上要验证任意各阶分布函数所对应的概率积分与对应阶时间统计量的概率 1 收敛性 而 宽遍历 只要验证一阶统计量和二阶统计量与对应阶分布函数所对应的概率积分的概率 1 收敛性 三 计算题 1 00 sin sin 0 x m tE X tE VttE V 222 000 sin sin sin x tD X tD VttD Vt 2 12120 10 20 10 2 sinsin sinsin x R t tE X t X ttt E Vtt 12120 10 2 sinsin xx C t tR t ttt 2 cos2sinE X tttt 114 22 1212121 21212 coscossinsin3coscos4sinsin x R t ttt EAtt EBt ttttt 3 2 xyyy RRRaRa 4 00 cossin 0E X tE AtBt 2 0 cos x R t tE X tX t 22 0 xx E XtR t tR 5 2 00 0 cos 0 x m tE X tE atacostd 2222 0 222 0 cos cos 2 222 xx D X tE X tm tE at aaa Et 2 1212021 cos 2 x a R t tE X t X ttt 12112212 2 12021 cos 2 xxx x C t tE X tm tX tm tE X t X t a R t ttt 6 是宽平稳随机过程 理由 2 00 0 cos 0 x m tE X tE atacostd 22 12120210 cos cos 22 x aa R t tE X t X ttt 2 2 0 2 xx a E XtRt tR 7 z xy m tE Z tE X tYE X tE Y mm 常数 2 2 R 2 z xxyz t tE Z t Z tE X tYX tY E X t X tE X t E YE X tE YE Y Rm mE YR 22 0 2 Zxy E ZtRm mE Y 故过程 Z t为宽平稳的 然而 由于 11 lim lim 22 TT TTTT AZ tX tY dtX t dtY TT 115 其中第一项 1 lim 2 T TT X t dt T 不管是随机变量 还是常数 第二项Y总是个随机变量 因此 AZ t 也是随机变量 即 AZ t E Z t 所以 Z t不是宽遍历过程 8 ttmX4cos t X 4cos3 22 2121 4cos4cos4 ttttRX 21212121 4cos4cos3 tttmtmttRttK XXXX 9 0 tmZ cosRRZ 0 2 Z RtZE 10 平稳性 0 tXE 0 2 cos 2 1 wAEttRX 22 0AERtXE X 第三章 答案 一 简答题 1 非负 实函数 偶函数 可积 2 互为傅里叶变换对关系 j xx SRed 1 2 j xx RSed 3 互为傅里叶变换对关系 j xyxy SARt ted 1 2 j xyxy RSed 4 离散随机过程 X n的功率谱密度为 S 与连续过程 X t的功率谱密度 c S 之间的关系为 1 2 cq n SSn T 说明 S 等于 c S 及 c S 的所有各位移之和 这就是功率谱密度的采 样定理 5 功率谱密度在整个频域范围内都是一个常数 这样的噪声为理想白噪声 6 功率谱密度在某一个频域范围内是一个常数 这样的噪声为带限白噪声 7 除了白噪声以外的所有噪声都称为色噪声 二 计算题 1 4 2QQ 8 2 8 08 80 11 2 1 228 11 1 1 4 2828 x ExtSdd dd 3 根据功率普密度的四个性质 a 非负性 b 实函数 c 偶函数 d 功率谱密度可积 1 是 2 不是 不恒非负 3 不是 非偶函数 4 不是 不是绝对可积的 4 1 证明 满足三个条件的即为宽平稳 2 2 0 cos x R 116 3 2 00 x S 5 2222 00 X aa S aa 22 2 2 a X Sabe 6 22 44 3 3 1 1 X S 42 768 2064 7 解 3332 54cos 2 522cos4 x Reee 222 1266 10 99 4 9 4 X S 8 证明 提示 先求过程的自相关然后进行傅里叶变换 即可证明 9 2 000 coscos 2 2 Yx a R t tRt 显然 Y t是非平稳的 j YY SA R t ted 而 2 0 cos 2 Yx a AR t tR 所以 2 00 4 Yxx a SSS 10 YX S 10 45j 第四章 答案 4 1 解 tt B M duuBMeduuXuthtXthtY t ut t 20sin220cos 5 20cos10 10 4 2 解 3 333 3333 54cos 2 54cos 2 23 54sin 2cos 2 31313 520 2sin 23cos 2 313 tt t u tt tuu tttt Y th tX th tu X u dueMudu ee Mdueudu M eeetet Mtt 4 3 解 可以证明 tX的均值5 X m 117 方法 1 510 0 10 0 X t XXY mdtemdtthmm 方法 2 jw wH 10 10 5 010 10 0 XXXY m j mHmm 4 4 解 222 xx mRabea x ma a 为正常数 1 H w jw 1 0H 0 Yx a mm H 4 5 解 2 2 2 2 0 t B t ftet 1 cos 20cos 205E xE MBtE ME B EtE M 1 1 10 1010 jw H w jwjw 10 010 10 H 05 00 yx mm H 22 22 22 2 cos 20cos 20 cos 20cos 20cos 20cos 20 11 cos20cos 20 22 22 1 cos20642 2 x RE X t X tEMBtMBt E MMBtMBtBtt E ME BEt D MEME B 1 532cos2089 16cos20 2 89 2162020 x Swwww 2 2 22 10 w H w w 2 2 22 89 2162020 10 yx w SwSwH wwww w ii 2 2 22 2 22 1 2 1 89 2162020 210 120 16212 8 21020 y E YtSw dw w wwwdw w i 4 6 解 0 XYXX RRhh u Ru du 118 0 YXXX RRhh u Ru du 0 YXX RRhhh u h v Ruv dudv 444333 00 447 0 44734 1 3266 66 148 61606 77 uuuuuu XY uu Reedueedueedu ee dueedu eeeeee iii 48 060 8571 7 XY R 1 52 48 0 560 7180 7 XY Ree 34 48 160 2317 7 XY Ree 444333 00 447 0 44734 2 3266 66 148 616060 77 uuuuuu YX uu Reedueedueedu ee dueedu eeeeee i 6 00 8571 7 YX R 2 6 0 50 1160 7 YX Re 4 6 10 0157 7 YX Re 443333 0000 44333 00 4437 00 33218 18 18 u vu vuvuv YX u u vu vuvv u u uuuvv u Reeedudvedueedu edueedveedv edue edveedv ii 4473 0 3433 0 34334 0 1 1810 7 1 18 7 82418 18 777 uuuuu uuuu uuu edu eeee eeeedu eeeduee i i 2418 00 8571 77 Y R 1 52 2418 0 50 4170 77 Y Ree 34 2418 10 1236 77 Y Ree 4 7 解 2 1 1 jw H wwe jw 119 1 0 10 2 N N Sw 0 20N 0 1 10 2 N RN 0E n t 00 YX mm H 2 10 XN RE X t X tE n t n tR 10 X Sw 2 0 00 00 2 0 0 0 50 5 100 50 5 100 50 5101 YX E YtRh u h v Ruv dudv U uU uU vU vuv dudv U uU uduU vU vuv dv U uU uU uU ududu 0 5 0 5 3 22 5 Y D Y tE Ytm 00 4 0 510100 5 XYX Rh u Ru duU uU uu duU uU u i4 8 解 1 22 160 XX mRe 0 X m 2 1 1 jw H wwe jw 00H 00 YX mtmtH i 2 0 2 00 2 00 2 0 2 0 0 50 516 160 50 5 160 5 YX u v u v u u v E YtRh u h v Ruv dudv U uU uU vU vedudv U uU uduU vU vedv U uU uduedve i 0 5 2 0 0 5 2121221 00 1111 160 511618 2222 u v u uuuu dv U uU ueedueedue 3 221 8 Y D Y tE Ytme 0 0 5 22 00 0 5 22 0 4 0 51616 16 XYX uu uu Rh u Ru du U uU ueduedu eduedu i 当0 时 0 5 222 0 1681 u XY Ree duee 12 212 2 8 1 0 8 2 00 5 81 0 5 XY ee Ree ee 4 9 解 0 2 N N Sw Y wjwL H w X wRjwL 22 2 00 2222 2 2 1 222 YN R NNw LR L SwSwH w Rw LL R w L iii 0 22 R L Y NR Rte L i 4 10 解 0 2 N N Sw 1 1 Y wRjwRC H w X wjwRC R jwC 2 2 00 22 2 1 2 1 1 222 11 YN wRCNN RC SwSwH w RC wRC w RC iii 1 0 1 22 RC Y N Rte RC i 4 11 解 由电路知识可得此系统的冲激响应为 tUbeth bt 其中RCb 1 则其输出均值为 X bu X bu XY memdubemm 0 0 从物理概念分析此结果是正确的 因为此电路的直流增益为 1 4 12 解 1 由题意知 2 0 N RX 则输出自相关函数为 0 0 0 0 0 22 duuhuh N duvhvu N uhRY 上式表明当输入是白噪声时 输出信号的自相关函数正比于系统冲激响应的卷积 121 于是 duuUbeuUbe N R ubbu Y 0 0 2 上式分别按0 与0 两种情况求解 当0 时 有 bbub Y e bN duee bN R 42 0 0 2 2 0 由自相关函数的偶对称性 则当0 时有 b YY e bN RR 4 0 则输出的自相关函数 b Y e bN R 4 0 2 在上式中令0 即可得输出的平均功率为 4 0 0 2 bN RtYE Y 由于 b 是时间常数 RC 的倒数 因此也与电路的带宽f 有关 其中 22 1b RC f Hz 于是输出平均功率又可写成 f N tYE 2 0 2 由此可见 该电路的输出平均功率随着电路的带宽变宽而线性地增大 3 输入和输出的互相关函数为 0 2 0 0 22 0 0 0 0 h N Uh N duuhu N RYX 4 13 解 00 0 00 4 dudvbebee N dudvvhuhvuRR bvbu vu XY 当0 时 考虑到 u v 均在 0之间变化 故先对 v 积分较方便 b u u bvvubvvubu Y e b e b bN dudveedveee bN R 22 2 0 00 2 0 44 因为自 相关函数为 的偶函数 所以0 时的 Y R表达式能直接由0 时的表达式 Y R写出 综合可得 b Y e b e b Nb R 22 0 2 4 第五章 答案 一 填空题答案 122 1 线性变换 线性系统 2 窄带随机信号或窄带随机过程 其他 0 00ccX X S S 且带宽 c 2 3 ttbttatX 00 sincos 其中 ttXttXta 00 coscos ttXttXtb 00 cossin 4 ta和 tb都是实随机过程 0 tbEtaE ta tb各自广义平稳 且联合