3.函数奇偶性与周期性.doc

第三讲：函数的奇偶性、周期性一.奇偶性1.定义：若函数定义域关于原点对称，则对于定义域内的任意x，都有f(x) f(-x)=0成立 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；f对于定义域内的任意x，都有(x)+f(-x)=0成立 f(x) =f(-x) f(x)为奇函数。2.判别方法：定义法，图像法，复合函数法3.性质：（0）f(x)与f(x)有相同的奇偶性；有相同的奇偶性；奇奇奇；偶偶偶；奇奇偶；偶偶偶；若f(x)是偶函数，则只要(x)具有奇偶性，f(x)都是偶函数；若(x)是偶函数，则不论f(x)有没有奇偶性，f(x)都是偶函数；若f(x)和(x)都是奇函数，则f(x)是奇函数；奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；若奇函数f(x)在x=0时有意义，则f(0)=0,；奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数相反；若奇函数在区间（a，b）上的值域为（m，M），则其在（-b，-a）上的值域必为（-M,-m）；若偶函数奇函数在区间（a，b）上的值域为（m，M），则其在（-b，-a）上的值域也为（m，M）；若奇函数在区间（a，b）上的最大值为M，则其在（-b，-a）上的最小值必为-M；若偶函数奇函数在区间（a，b）上的最大值为M，则其在（-b，-a）上的最大值也为M；奇函数（偶函数）在对称区间上的零点的个数相同。二.周期性1.定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)f(x),则T为函数f(x)的周期。其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)f(xa),则2a为函数f(x)的周期.2.性质：若对任意的x，f(x)f(x)（），则2；若对任意的x，则2；若对任意的x，则4；若f(x)的图像关于x和对称，则2；若f(x)的图像关于（a，0）和（b，0）对称，则2；若f(x)的图像关于x和（b，0）对称，则4。三.函数图像的对称性问题：定理1若对于任意x都有f（）（x），则函数f（x）的图像关于直线x对称。特别的，若对于任意x都有f（）（x）（或者f（）（2x），则函数f（x）的图像关于直线x对称。定理2若若对于任意x都有f（）+（ax）2b（或者，则函数f（x）的图像关于点对称。特别的，若对于任意x都有f（）+（x）2b（或者f（2）+（x）2b），则函数f（x）的图像关于点对称。五.练习:1判断下列函数的奇偶性：（1）函数定义域为R， ， f(x)为偶函数； （另解）先化简：，显然为偶函数； 从这可以看出，化简后再解决要容易得多.（2）须要分两段讨论：设设当x=0时f(x)=0，也满足f (x)=f (x)；由、知，对xR有f (x) =f (x)， f (x)为奇函数；（3），函数的定义域为，f(x)=log21=0(x=1) ，即f(x)的图象由两个点 A（1，0）与B（1，0）组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，f(x)既是奇函数，又是偶函数；2.函数是 ( D )A奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数3.已知是偶函数，定义域为.则_， 04.若是奇函数，则 解析 解法15.设函数是奇函数. 若,则 .-3 6.已知函数是定义在上的偶函数. 当时，则当时， -x-x4.7.已知函数为上的奇函数，当时，.若，则实数 . 8.若函数，则下列结论正确的是（ ）A.，在上是增函数 B.，在上是减函数C.，是偶函数 D.，是奇函数9已知偶函数在区间单调增加，则满足的x 取值范围是( A )（A）（，） B.，） C.（，） D.，）10.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，则的值为（ C ）A B C D11.已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则（ D ）A. B. C. D. 12.函数对于任意实数满足条件，若则_ -_。13.定义在上的函数是奇函数又是以为周期的周期函数,则等于( B )A.-1 B.0 C.1 D.414.设f(x)是定义在R上的函数，且在(-，+)上是增函数，又F(x)=f(x)-f(-x)，那